《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教案 第七章 位移法

PAGEPAGE2第七章位移法（4學(xué)時）主要內(nèi)容7-1等截面桿件的形常數(shù)和載常數(shù)7-2位移法的基本概念7-3無側(cè)移剛架的計算7-4有側(cè)移剛架的計算7-5對稱結(jié)構(gòu)的計算知識點7-1等截面桿件的形常數(shù)和載常數(shù)等截面梁的形常數(shù)、載常數(shù)。7-2位移法的基本概念整體分析、桿件分析、位移法的基本原理、解題步驟。7-3無側(cè)移剛架的計算無側(cè)移剛架的特點、計算方法。7-4有側(cè)移剛架的計算有側(cè)移剛架的特點、有側(cè)移剛架的計算方法。7-5對稱結(jié)構(gòu)的計算對稱結(jié)構(gòu)的特點；奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)（對稱荷載、反對稱荷載）；偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)（對稱荷載、反對稱荷載）。重點難點7-1等截面桿件的形常數(shù)和載常數(shù)重點：記憶等截面梁的形常數(shù)和載常數(shù)。7-2位移法的基本概念重點：掌握位移法解題的基本過程。7-3無側(cè)移剛架的計算重點：掌握位移法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。7-4有側(cè)移剛架的計算重點：掌握位移法計算有側(cè)移剛架的內(nèi)力。難點：與線位移相關(guān)的方程的建立。7-5對稱結(jié)構(gòu)的計算重點：對稱性的應(yīng)用。難點：半結(jié)構(gòu)的選取。第七章位移法PAGE257.1等截面桿件的形常數(shù)和載常數(shù)知識點等截面梁的形常數(shù)、載常數(shù)。重點記憶等截面梁的形常數(shù)和載常數(shù)。知識點：形常數(shù)桿端位移引起的桿端內(nèi)力稱為形常數(shù)，見表7.1。i=EI/l為線剛度。表7.1形常數(shù)知識點：載常數(shù)荷載或溫度作用下引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)。7.2位移法的基本概念知識點整體分析、桿件分析、位移法的基本原理、解題步驟。重點難點掌握位移法解題的基本過程。知識點：位移法的基本原理（整體分析、桿件分析）位移法的基本未知量：結(jié)點位移（線位移和角位移）。位移法解題思路：拆了再合（桿件分析、整體分析）。即將結(jié)構(gòu)拆成桿件，對每個桿件進(jìn)行求解；再將每個桿件合成為結(jié)構(gòu)，利用平衡條件求出位移。例：圖7.1a兩跨梁，求桿端彎矩。EI為常數(shù)，忽略桿件的軸向變形。圖7.1a圖7.1b圖7.1c解：（1）整體分析：結(jié)點位移θB（2）桿件分析：圖7.1b（3）整體分析：結(jié)點平衡方程，圖7.1c（4）桿件分析：求桿端彎矩知識點：位移法的解題步驟（1）結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點位移（2）結(jié)構(gòu)拆成桿件，做桿件分析（3）平衡方程，求解（4）回代，求桿端彎矩實例：圖7.2兩跨梁，求桿端彎矩。EI為常數(shù)，忽略桿件的軸向變形。圖7.2解：（1）結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點位移θB，假定：順時針（2）結(jié)構(gòu)拆成桿件，做桿件分析：桿端彎矩取決于荷常數(shù)和形常數(shù)（3）平衡方程，求解（4）回代，求桿端彎矩

7.3無側(cè)移剛架的計算知識點無側(cè)移剛架的特點、計算方法。重點掌握位移法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。知識點：無側(cè)移剛架的特點剛架各節(jié)點（不含支座）只有角位移而沒有線位移。連續(xù)梁屬于這類問題。知識點：無側(cè)移剛架的計算方法（1）結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點位移（角位移）（2）結(jié)構(gòu)拆成桿件，做桿件分析（3）平衡方程，求解（4）回代，求桿端彎矩實例：（1）超靜定梁例1：用位移法計算圖7.3a結(jié)構(gòu)，并繪結(jié)構(gòu)的彎矩圖，EI常數(shù)。圖7.3解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端彎矩（3）平衡方程求解，作彎矩圖（圖7.3b）（2）超靜定無側(cè)移剛架無側(cè)移剛架：剛架的各結(jié)點（不包括支座）只有角位移而沒有線位移。例2：用位移法計算圖7.4a結(jié)構(gòu)，并繪結(jié)構(gòu)的彎矩圖，EI常數(shù)。圖7.4a解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端彎矩（i=EI/4）（3）平衡方程求解，作彎矩圖（圖7.4b）例3：用位移法計算圖7.5a結(jié)構(gòu)，并繪結(jié)構(gòu)的彎矩圖，EI常數(shù)。圖7.5a圖7.5b解：（1）基本未知量B、C（2）固端彎矩：各桿剛度取相對值計算，設(shè)EI0=1，則（3）桿端彎矩（4）建立位移法基本方程（4）求出基本未知量（5）求出各桿最終桿端彎矩（6）作彎矩圖，圖7.5b。

7.4有側(cè)移剛架的計算知識點有側(cè)移剛架的特點、有側(cè)移剛架的計算方法。重點難點重點：掌握位移法計算有側(cè)移剛架的內(nèi)力。難點：與線位移相關(guān)的方程的建立。知識點：有側(cè)移剛架的特點與計算方法特點：剛架除有結(jié)點轉(zhuǎn)角外，還有結(jié)點線位移。計算方法：與無側(cè)移剛架基本相同，但增加：未知量有結(jié)點位移；桿件計算需考慮結(jié)點位移；基本方程增加與結(jié)點位移對應(yīng)的平衡方程?；疚粗康倪x取基本假設(shè)：結(jié)構(gòu)滿足變形連續(xù)條件；對彎曲直桿，只考慮彎曲變形，忽略軸向和剪切變形?；疚粗浚邯毩⒌慕Y(jié)點角位移和結(jié)點線位移。結(jié)點角位移：剛節(jié)點（包括半鉸聯(lián)接的剛節(jié)點），一個剛結(jié)點有一個角位移。結(jié)點線位移：支承點以外的結(jié)點所發(fā)生的線位移。受彎直桿兩端之間的距離在變形后不改變，即每一受彎直桿相當(dāng)于一個約束。圖7.6給出了某些結(jié)構(gòu)位移法的基本未知量（結(jié)點角位移用附加剛臂表示，結(jié)點線位移用附加鏈桿表示）。圖7.6實例：例1：計算圖7.7a所示的剛架，試求各桿端彎矩。圖7.7a圖7.7b（1）確定基本未知量，圖7.7b兩個未知量——剛結(jié)點B的轉(zhuǎn)角θB和橫梁BC的水平線位移Δ。（2）建立各桿的轉(zhuǎn)角位移方程（3）建立位移基本方程，求解基本未知量取結(jié)點B為隔離體（圖7.7c），列力矩平衡方程得：建立與獨立線位移相應(yīng)的平衡方程，取橫梁BC為隔離體（圖7.7d），列水平投影平衡方程：圖7.7c圖7.7d圖7.7e分別取AB、CD桿為隔離體（圖7.7e），求出FQBA和FQCD（4）解方程組（5）各桿最終桿端彎矩，代入（2）即得桿端彎矩。一般說來，在位移法的基本未知量中，每一個轉(zhuǎn)角有一個相應(yīng)的結(jié)點力矩平衡方程，每一個獨立結(jié)點線位移有一個相應(yīng)的截面平衡方程，平衡方程的個數(shù)與基本未知量的個數(shù)相等，正好全部求解基本未知量。例2：作圖7.8a剛架彎矩圖。忽略橫梁的軸向變形。圖7.8a圖7.8b圖7.8c解:（1）基本未知量：各柱頂水平位移相等，只有一個獨立線位移Δ，圖7.8b。（2）各柱的桿端彎矩和剪力（3）建立位移法基本方程：與橫梁水平位移對應(yīng)，取柱頂以上橫梁為隔離體，列出水平投影方程：（4）各柱最終桿端彎矩，畫彎矩圖（圖7.8d）：圖7.8d（5）各柱的剪力（6）討論——側(cè)移剛度荷載FP（=總剪力）按側(cè)移剛度分配給各柱，得各柱剪力，可畫彎矩圖?！袅Ψ峙浞?/p>

7.5對稱結(jié)構(gòu)的計算知識點對稱結(jié)構(gòu)的特點；奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)（對稱荷載、反對稱荷載）；偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)（對稱荷載、反對稱荷載）。重點難點重點：對稱性的應(yīng)用。難點：半結(jié)構(gòu)的選取。知識點：對稱結(jié)構(gòu)的特點對稱的連續(xù)梁和剛架結(jié)構(gòu)在工程中有廣泛的應(yīng)用。作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載，可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計算。在對稱荷載作用下：變形是對稱的；彎矩圖和軸力圖是對稱的；而剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下：變形是反對稱的；彎矩圖和軸力圖是反對稱的；而剪力圖是對稱的。知識點：奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)（1）對稱荷載圖7.9圖7.9a為一對稱荷載作用下的單跨剛架，在對稱軸上沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，只有豎向位移，因此在計算中取半剛架圖7.9b，C取為滑動支承端。（2）反對稱荷載圖7.10圖7.10a為一反對稱荷載作用下的單跨剛架，在對稱軸上沒有豎向位移，可有轉(zhuǎn)角和水平位移，因此在計算中取半剛架圖7.10b，C端取輥軸支座。奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)的簡化是在對稱軸上分別取滑動支座（對稱荷載）或輥軸支座（反對稱荷載)。知識點：偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)1.對稱荷載圖7.11圖7.11a為一對稱荷載作用下的雙跨剛架，在對稱軸上沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，柱CD沒有彎矩和剪力，不計軸向變形，因此在計算中取半剛架圖7.11b，C端為固定支座。2.反對稱荷載圖7.12圖7.12a為一反對稱荷載作用下的雙跨剛架，在對稱軸上沒有軸力和軸向變形，計算中取半剛架圖7.12b，對稱截面處的立柱的軸慣性矩取原來的一半I/2。雙跨結(jié)構(gòu)的簡化是在對稱軸上取不同的支座約束，同時在對稱荷載和反對稱荷載作用下的結(jié)構(gòu)也不相同。要注意區(qū)別。實例：例：計算圖7.13a剛架，試作M圖。圖7.13解：（1）半邊結(jié)構(gòu)（圖7.13b），基本未知量θA、θC。（2）桿端力的表達(dá)式（荷載+變形）。令（3）列位移方程，并求解。（4）求桿端力，繪彎矩圖。代入（2）即得桿端彎矩，彎矩圖見圖7.13c。

小結(jié)形常數(shù)：桿端位移引起的桿端內(nèi)力。載常數(shù)；荷載或溫度作用下引起的桿端內(nèi)力。位移法的解題步驟：（1）結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點位移（角位移、線位移）（2）結(jié)構(gòu)拆成桿件，做桿件分析（形常數(shù)、載常數(shù)）（3）平衡方程，求解每一個轉(zhuǎn)角有一個相應(yīng)的結(jié)點力矩平衡方程，每一個獨立結(jié)點線位移有一個相應(yīng)的截面平衡方程，平衡方程的個數(shù)與基本未知量的個數(shù)相等，正好全部求解基本未知量。（4）回代，求桿端彎矩?zé)o側(cè)移剛架與有側(cè)移剛架的主要區(qū)別在于是否有結(jié)點先位移。作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載，可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計算。在對稱荷載作用下：變形是對稱的；彎矩圖和軸力圖是對稱的；而剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下：變形是反對稱的；彎矩圖和軸力圖是反對稱的；而剪力圖是對稱的。

練習(xí)一、單項選擇題1.圖1結(jié)構(gòu)EI及桿長均為常數(shù)，（）A.MCB，MCA均上面受拉 B.MCB，MCA均下面受拉C.MCB上面受拉，MCA下面受拉 D.MCB下面受拉，MCA上面受拉圖12.圖2結(jié)構(gòu)在荷載P作用下各支座彎矩關(guān)系為（）A.|MA|＞|Mc|E.|MA|=|Mc|C.|MA|<|Mc|D.|MA|=0圖23.圖3結(jié)構(gòu)，EI=常數(shù)，欲使結(jié)點B的轉(zhuǎn)角為零，比值Pl／P2為（）圖3A.1.5B.2.0C.2.5D.3.04.圖4結(jié)構(gòu)，柱EI相同且為常數(shù)，橫梁剛度無窮大，其中結(jié)點B有水平線位移為（）A.B.C.D.圖45.圖5結(jié)構(gòu)中，nl，n2均為比例常數(shù)，當(dāng)nl＞n2時，則（）A.MA>MBB.MA<MBC.MA=MBD.不定圖5二、計算題1.位移法計算圖6超靜定結(jié)構(gòu)。各桿EI＝常數(shù)，忽略桿件的軸向變形。（1）判斷圖示結(jié)構(gòu)位移法的獨立基本未知量。（2）寫出桿端彎矩表達(dá)式。（3）列出位移法基本方程（不需求解）。圖62.位移法計算圖7超靜定結(jié)構(gòu)。各桿EI＝常數(shù)，忽略桿件的軸向變形。（1）判斷圖示結(jié)構(gòu)位移法的獨立基本未知量。（2）寫出桿端彎矩表達(dá)式。（3）列出位移法基本方程（不需求解）。圖7

練習(xí)答案一、單項選擇題1.B；無需考慮荷載P的影響，因為原結(jié)構(gòu)無側(cè)移，在結(jié)點荷載下無彎矩。2.A；內(nèi)力與剛度的相對值有