淺談比較兩個(gè)數(shù)大小的方法

探討兩個(gè)數(shù)比較大小問題陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)王仕林比較大小是數(shù)學(xué)及其生活中常常遇到的問題,也是每年高考考查的熱點(diǎn)之一。如何比較兩個(gè)數(shù)的大小，對(duì)于迎接高考或者解決現(xiàn)實(shí)生活都是最迫切的問題。本專題主要是針對(duì)高一年級(jí)學(xué)生對(duì)比較大小問題的迷茫和對(duì)比較兩個(gè)數(shù)大小方法的未知進(jìn)行探討。一、比較兩個(gè)數(shù)大小常用的方法：（1）單調(diào)性法；（2）圖象法；（3）引進(jìn)中間數(shù)法；（4）范圍比較法；（5）作差或作商法；(6)公式法；二、方法介紹及其例題精選：（1）單調(diào)性法：根據(jù)兩個(gè)數(shù)構(gòu)造一函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個(gè)數(shù)的大小，這種方法叫單調(diào)性法。例1、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①

和=2\*GB3②和

=3\*GB3③和=4\*GB3④和分析：=1\*GB3①

可構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性比較其大??；=2\*GB3②先把兩個(gè)數(shù)化成和，可構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性比較與大??；然后再利用函數(shù)的單調(diào)性比較和的大小。=3\*GB3③

可構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性比較其大??；=4\*GB3④可構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性比較其大小；例2、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①

與=2\*GB3②與分析：=1\*GB3①可構(gòu)造函數(shù)在上是單調(diào)遞增的；=2\*GB3②可構(gòu)造函數(shù)在上是單調(diào)遞減的；例3、=1\*GB3①定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，。則（）ABCD分析：由題意時(shí)，有可知函數(shù)在上遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)在R上是偶函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)。所以要比較的大小，只需要比較的大小即可。=2\*GB3②已知函數(shù)在區(qū)間上是減少的，試比較與的大小分析：由于，。根據(jù)題意：在區(qū)間上是減少的；同時(shí)，所以小結(jié)：?jiǎn)握{(diào)性法適用于兩個(gè)數(shù)中的底數(shù)或指數(shù)有一個(gè)相同，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個(gè)數(shù)的大小。（2）圖象法：把要比較的兩個(gè)數(shù)看成是某個(gè)函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)函數(shù)值；因此通過圖象比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，叫圖象法。例1、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①與=2\*GB3②與=3\*GB3③與

分析：=1\*GB3①可作函數(shù)與函數(shù)的圖象，并找到當(dāng)和時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。觀察兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小，從而即可比較兩個(gè)數(shù)的大小。=2\*GB3②可作函數(shù)與函數(shù)的圖象，并找到當(dāng)和時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。觀察兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小，從而即可比較兩個(gè)數(shù)的大小。=3\*GB3③可作函數(shù)與函數(shù)的圖象，并找到當(dāng)和時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。觀察兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小，從而即可比較兩個(gè)數(shù)的大小。例2、已知二次函數(shù)，滿足關(guān)系，試比較與的大小。分析：由于可知：是二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程。又，由圖象可知，>小結(jié)：圖像法主要是把要比較的兩個(gè)數(shù)分別看成某個(gè)函數(shù)圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可通過點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小來比較兩個(gè)數(shù)的大小。（3）引進(jìn)中間數(shù)法：為了比較兩個(gè)數(shù)的大小，需要引進(jìn)一個(gè)數(shù)，分別與要比較的兩個(gè)數(shù)都有一定的關(guān)系，然后分別比較這兩組數(shù)的大小，這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫引進(jìn)中間數(shù)法。例1、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①與=2\*GB3②與分析：=1\*GB3①引進(jìn)中間數(shù)或，然后分別比較與及與的大小，利用不等式的性質(zhì)，即可比較兩個(gè)數(shù)的大小。=2\*GB3②引進(jìn)中間數(shù)或，然后分別比較與及與的大小，利用不等式的性質(zhì)，即可比較兩個(gè)數(shù)的大小。小結(jié)：引進(jìn)中間數(shù)法主要利用不等式的傳遞性，通過引進(jìn)一個(gè)與兩個(gè)有關(guān)系的數(shù)，分別比較這兩個(gè)數(shù)與中間數(shù)的大小，然后利用不等式的傳遞性來比較這兩個(gè)數(shù)的大小。（4）范圍比較法：為了比較兩個(gè)數(shù)的大小，可先對(duì)這兩個(gè)數(shù)的值進(jìn)行估算，如果這兩個(gè)數(shù)分別在不同的范圍內(nèi)，那么可根據(jù)其不同的范圍就可對(duì)這兩個(gè)數(shù)的大小進(jìn)行判定，這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫范圍比較法。例5、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①與=2\*GB3②與=3\*GB3③與分析：=1\*GB3①由于的值大于零，而的值小于零，因此>=2\*GB3②由于的值大于零且小于1，而一定大于1，因此<.=3\*GB3③由于，但是，因此。例6、已知，則（）ABCD分析：由于,而,又因?yàn)橛纱丝芍?gt;>.選D練習(xí)：比較、及三個(gè)數(shù)的大小.

小結(jié)：范圍比較法主要通過圖像或觀察的方法，分別對(duì)這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行估算，估算的值分別落在不同的范圍內(nèi)，從而達(dá)到比較這兩個(gè)數(shù)大小的方法。（5）作差或作商法：要比較兩個(gè)數(shù)的大小，可以對(duì)這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行作差或作商，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判定其化簡(jiǎn)的值是大于零還是小于零，或者是大于1還是小于1.從而確定了這兩個(gè)數(shù)的大小，這種方法叫作差法或作商法。例6、比較下列各組中幾個(gè)數(shù)的大小.

=1\*GB3①與=2\*GB3②、和分析:=1\*GB3①由于-==>0,所以>=2\*GB3②由于==所以>,同理可解得：>.由此可知：>>小結(jié)：作差或作商法通過對(duì)要比較的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行作差或作商，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后與零或1進(jìn)行比較，從而達(dá)到比較兩個(gè)數(shù)大小的方法。通過以上對(duì)兩個(gè)數(shù)比較大小方法的探究，我們發(fā)現(xiàn)不管是選擇、填空題還是解答題，有些方法都可以運(yùn)用