二重積分論文(年度)

淺談二重積分的計(jì)算方法劉曉蕾（數(shù)學(xué)學(xué)院09級(jí)漢本二班09041100316）摘要：解決許多幾何、物理以及其他實(shí)際問(wèn)題，不僅需要一元函數(shù)的積分，而且還需要各種不同的多元實(shí)值函數(shù)的積分。二重積分是數(shù)學(xué)分析中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而學(xué)習(xí)好二重積分的計(jì)算是關(guān)鍵，本文主要介紹了幾種二重積分的計(jì)算方法以及如何將積分區(qū)域用不等式組表示出來(lái)。關(guān)鍵詞：二重積分積分區(qū)域積分次序積分限二重積分的概念設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R有定義。用任意分法T將R分成n個(gè)小區(qū)域:，設(shè)它們的面積分別是。在小區(qū)域上任取一點(diǎn)（k=1,2,…..,n），作和，稱(chēng)為二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域R的積分和。令=max定義設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R有定義。若當(dāng)0時(shí)，二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域R的積分和存在極限I（數(shù)I與分法T無(wú)關(guān)，也與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)），記為即，有則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在R可積，I是二元函數(shù)f(x,y)在R的二重積分，記為或例題按照二重積分的定義，求二重積分，其中。解：二元函數(shù)f(x,y)=xy是初等函數(shù)，則在上連續(xù)，所以f(x,y)=xy在上是可積的。有重積分的定義可知，對(duì)于某區(qū)域上的可積函數(shù)，其積分值不依賴于對(duì)區(qū)域具體的劃分及取值。下面采用特熟分法及取值。用兩族平行等距直線（i,k=0,1,2,….n-1）,將R劃分為個(gè)邊長(zhǎng)等于的正方形區(qū)域，則的面積為。在每個(gè)區(qū)域上取點(diǎn)（i,k=0,1,2,…,n-1）.作積分和為=當(dāng)時(shí)，對(duì)任意i,k=0,1,2,….n-1,有。所以得二重積分的性質(zhì)定理1函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R可積定理2若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R連續(xù)，則函數(shù)f(x,y)在R可積定理3若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R有界，間斷點(diǎn)只分布在有限條光滑曲線上，則函數(shù)f(x,y)在R可積。定理4若f(x,y)=1，則,其中表示R的面積。定理5若函數(shù)f在R可積，k是常數(shù)，則函數(shù)kf在R也可積，且定理6若函數(shù)與在R都可積，則函數(shù)在R也可積，且定理7若函數(shù)f在與都可積，則f在也可積，當(dāng)與沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)時(shí)，有定理8若函數(shù)與在R都可積，且，有，則定理9若函數(shù)f在有界閉區(qū)域R連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使其中表示R的面積。定理10若函數(shù)f(x,y)在閉矩形域R可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且定理11設(shè)有界閉區(qū)域R是x型區(qū)域，若函數(shù)f(x,y)在R可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且例題1證明：若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域R連續(xù)，且f(x,y)>0,則證明：由題設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域R上連續(xù)，有閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在R上取到最小值，記為，即對(duì)任意(x,y)R，有f(x,y)>0，所以。再根據(jù)上述定理有，于是有例題2證明：若連續(xù)函數(shù)列在有界閉區(qū)域R上一致收斂于函數(shù)f(x,y)則證明：由題設(shè)連續(xù)函數(shù)列在有界閉區(qū)間R上一致收斂，即對(duì)任意，存在自然數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)n>,對(duì)任意，有。則（其中表示R的面積，為正實(shí)數(shù)）。即二重積分的計(jì)算1，計(jì)算步驟二重積分的計(jì)算有一定的方法和步驟,如按照步驟進(jìn)行分析和解題,就比較容易做題。在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟為:畫(huà)出積分區(qū)域草圖;確定積分區(qū)域是否為X-型區(qū)域或Y-型區(qū)域，若既不是X型也不是Y型區(qū)域，則要將區(qū)域劃分成幾個(gè)X型區(qū)域或Y型區(qū)域，并用不等式組表示幾個(gè)X型區(qū)域或Y型區(qū)域。用公式化二重積分為二次積分。計(jì)算二次積分的值。例題1計(jì)算，其中D：。解：做出積分區(qū)域D的圖1.由于D又是X型又是Y型，因此兩種積分次序都可以計(jì)算二重積分。在此把它看做X型區(qū)域。。例題2計(jì)算，其中D是由圍成的區(qū)域。解：由于積分區(qū)域是Y型區(qū)域，有=902.交換積分次序若給定的積分為二次積分，它不能用初等函數(shù)形式表示出來(lái)或者積分的計(jì)算量很大，可以考慮交換積分次序，其一般步驟：先根據(jù)給定的二次積分限，寫(xiě)出積分區(qū)域的不等式表達(dá)式，并依次做出區(qū)域圖形。再根據(jù)區(qū)域圖形，確定正規(guī)區(qū)域及積分限，化為另一種類(lèi)型的積分。例題交換積分次序解：由所給的二次積分，可得積分區(qū)域D為，改變積分次序，即先對(duì)x積分再對(duì)y積分，此時(shí)D可以表示為，所以有，3.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算二重積分時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，往往是可以事半功倍，如果選擇坐標(biāo)系不當(dāng)，計(jì)算過(guò)程就有可能非常繁難，甚至于無(wú)法計(jì)算。坐標(biāo)系的選擇，要從被積函數(shù)和積分區(qū)域兩方面考慮。一般情況下，積分區(qū)域是矩形或三角形區(qū)域，通常用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算；若被積函數(shù)為的形式，或者積分區(qū)域是圓域、環(huán)域、扇域及環(huán)扇域時(shí)，通常用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算。例如求積分，其中D是由x=0,y=0以及x+y=1所圍成的區(qū)域。因?yàn)榉e分與都不能用有限形式表示出來(lái)，所以在直角坐標(biāo)系下積分無(wú)法計(jì)算，但注意到為的形式，積分在極坐標(biāo)下有可能積出來(lái)。事實(shí)上，將直線x+y=1化為極坐標(biāo)方程：，積分區(qū)域D：則=例題計(jì)算其中D是由和與直線y=x,y=0所圍成的第一象限區(qū)域。解：在極坐標(biāo)系下D可表示為：?？傻茫?.在極坐標(biāo)下用二次積分計(jì)算二重積分的步驟（1）在一般情況下，積分區(qū)域是圓域或其一部分，或者D的邊界由極坐標(biāo)方程給出較為簡(jiǎn)單，或者被積函數(shù)含有等表達(dá)式時(shí)，用極坐標(biāo)比較簡(jiǎn)單。（2）作變量代換，，（a,b為常數(shù)，由被積函數(shù)或區(qū)域來(lái)確定）。（3）改變面積元素例題計(jì)算以圓域R：為底，R上的曲面是的曲頂柱體的體積。解：已知曲頂柱體的體積作極坐標(biāo)變換。它將圓域R：變換為矩形域，且。有=5.二重積分的一般變量替換的步驟在運(yùn)用前兩種方法比較困難時(shí)考慮一般變量替換。作變量替換或者改變面積元素區(qū)域D作了變量替換后變成區(qū)域，再按照前兩種方法進(jìn)行判斷和計(jì)算。掌握了以上解二重積分的技巧后，只要給出一個(gè)二重積分題，對(duì)癥下藥，問(wèn)題就迎刃而解了。例題計(jì)算曲線（a>0,b>0）與y=0所圍成區(qū)域R的面積。解：已知區(qū)域R的面積（被積函數(shù)）設(shè)或。這個(gè)函數(shù)組將xy平面上的區(qū)域R變換為平面上的區(qū)域，是曲線所圍成的區(qū)域。。有總結(jié)：通過(guò)本文的具體概括，對(duì)二重積分有了更深刻的理解，從這些例