2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第八章統(tǒng)計與統(tǒng)計分析第二講用樣本估計總體 課件（65張）

第二講用樣本估計總體課標(biāo)要求考情分析1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義1.考查平均數(shù)、方差的計算及頻率分布直方圖的簡單應(yīng)用.2.題型以選擇題、填空題為主，出現(xiàn)解答題時常與概率結(jié)合1.總體取值規(guī)律的估計(1)繪制頻率分布直方圖的步驟①求極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5～12極差組數(shù)組，組距＝

.

③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組. ④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.

將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組，每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率.頻率反映各個數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小.⑤畫頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一小長方形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得到一系列的長方形，每個長方形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個長方形的面積總和等于1.(2)不同統(tǒng)計圖的特點

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)性數(shù)據(jù).2.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)四分位數(shù)

25%，50%，75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).3.總體集中趨勢的估計(1)眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，4.總體離散程度的估計

(3)標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.【名師點睛】(1)頻率分布直方圖中的常見結(jié)論①眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo).②平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.③中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.(2)平均數(shù)、方差的公式推廣

考點一頻率分布直方圖

[例1](1)為了了解某校九年級

1600名學(xué)生的體能情況，隨機抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖8-2-1所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是()圖8-2-1A.該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B.該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C.該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D.該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32

解析：由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對應(yīng)的數(shù)值，是26.25；眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2，所以估計1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160.故選D.答案：D

(2)(2022年全國Ⅱ)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖8-2-2所示的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)圖8-2-2解：(1)由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為

x＝5×0.001×10＋15×0.002×10＋25×0.012×10＋35×0.017×10＋45×0.023×10＋55×0.020×10＋65×0.017×10＋75×0.006×10＋85×0.002×10＝47.9(歲).(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的頻率為(0.012＋0.017＋0.023＋0.020＋0.017)×10＝0.89，∴估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率為0.89.(3)設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間[40，50)為事件B，此人患這種疾病為事件C，【題后反思】頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點

(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆.(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023年梧州市期中)甲、乙兩組各八名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)如下 甲：9，16，25，18，24，x，27，24. 乙：8，17，y，13，24，28，20，22. 已知甲組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為14，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18.5，則x，y的值分別為()A.12，16B.12，18C.14，16D.14，18答案：A

2.(2022年天津)為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖8-2-3是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()圖8-2-3A.8B.12C.16D.18解析：志愿者的總?cè)藬?shù)為

20(0.24＋0.16)×1＝50，∴第3組的人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12(人).故選B.答案：B

考點二總體集中趨勢的估計1.(2023年南開區(qū)校級月考)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖)如圖8-2-4所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為(

圖8-2-4A.64B.65C.64.5D.66

解析：因為(0.03＋0.04)×10＝0.7＞0.5，所以中位數(shù)位于[60，70)之間，設(shè)中位數(shù)為x，則0.03×10＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，即中位數(shù)為65.故選B.答案：B

2.(多選題)(2021年全國Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為x，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為x＋c，m＋c，σ，t，因為c≠0，所以C，D正確，故選CD.答案：CD

3.(多選題)(2023年福州市期中)為推動學(xué)校體育運動發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強健康管理意識，某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機抽取了120名男生和80名女生，調(diào)查并分別繪制出男、女生每天在校平均體育活動時間的頻率分布直方圖(如圖8-2-5所示)，則()圖8-2-5A.a＝0.010B.該校男生每天在校平均體育活動時間中位數(shù)的估計值為75C.估計該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時D.估計該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為3∶1

解析：對于A，10a＋10×0.020＋10×0.035＋10×0.020＋10a＋10×0.005＝1，解得a＝0.010，正確；對于B，a＝0.010，前兩個小矩形面積之和為0.3，前三個小矩形面積之和為0.65，即中位估計值為65.7，錯誤；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為10×(0.035＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.700，人數(shù)為120×0.7＝84，女生中每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為10×(0.030＋0.010＋0.005)＝0.450，人數(shù)為80×0.450＝36，故學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為

＝0.6，故該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時，正確；對于D，男生中每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的頻率為10×(0.010＋0.005)＝0.15，人數(shù)為120×0.15＝18，女生中每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的頻率為10×0.005＝0.050，人數(shù)為80×0.050＝4，所以該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為18∶4＝9∶2，正確.故選AC.答案：AC【題后反思】(1)求平均數(shù)時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù)，不要重計或漏計.(2)求中位數(shù)時一定要先對數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).

(3)若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù).舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5考點三總體離散程度的估計考向1方差與標(biāo)準(zhǔn)差

[例2](2021年全國乙卷文科)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得【題后反思】利用樣本的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.考向2分層隨機抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

[例3](2022年深圳市高三月考)某學(xué)校統(tǒng)計教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數(shù)為50，其平均年齡為38歲，方差是2，高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數(shù)和方差.解：由已知條件可知高級職稱教師的平均年齡為【題后反思】計算分層隨機抽樣的方差的步驟【考法全練】1.(考向1)(2020年全國Ⅲ)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

)A.0.01B.0.1C.1D.10

解析：∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，∴樣本數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1，故選C.

答案：C

2.(考向2)某班成立了A，B兩個數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周的補習(xí)后進行了一次測試，在該測試中，A組的平均成績?yōu)?30分，方差為115，B組的平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全班學(xué)生的平均成績和方差.

⊙統(tǒng)計圖表及其應(yīng)用

[例4]已知某市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖8-2-6①和圖8-2-6②所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的戶主進行調(diào)查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()①A.240，18C.240，20

②圖8-2-6 B.200，20 D.200，18解析：樣本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.答案：A

[例5](2022年貴陽市模擬)某網(wǎng)站為了了解某“跑團”每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期間該“跑團”每月跑步的平均里程(單位：千米)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖)8-2-7所示的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是(

圖8-2-7A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月份D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

解析：由折線圖可知月跑步平均里程比6月份高的只有9，10，11，共3個月，比6月份低的有1，2，3，4，5，7，8，共7個月，故6月份對應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù)，因此A不正確；月跑步平均里程在1月到2月，6月到7月，7月到8月，10月到11月都是減少的，故不是逐月增加，因此B不正確；月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三個月，8月份是相對較低的，因此C不正確；從折線圖來看，1月至5月的跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確.答案：D

【高分訓(xùn)練】

1.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖8-2-8①和圖8-2-8②所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層隨機抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()圖8-2-8A.200，20C