矩陣論-線性空間

機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院陳建華矩陣論機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§0.1線性空間線性空間的定義基、維數(shù)與坐標(biāo)基變換與坐標(biāo)變換線性子空間子空間的交與和子空間的直和一.線性空間的定義線性空間概念集中體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大特征：集合論的思想（康托兒）

公理化方法（希爾伯特）它們的相互結(jié)合將數(shù)學(xué)的發(fā)展引向高度抽象的道路，并滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域之中，從而進(jìn)一步揭示了各個(gè)數(shù)學(xué)分支的內(nèi)在聯(lián)系。

直觀模型

PV

a

a

b

ab+

aa

l

注意8條算律中運(yùn)算的意義，要從習(xí)慣認(rèn)識(shí)的束縛中解脫出來。

機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常見的線性空間1.幾何向量空間2.矩陣空間3.多項(xiàng)式空間4.復(fù)數(shù)域空間5.連續(xù)函數(shù)空間6.正實(shí)數(shù)空間機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1證明：是一個(gè)線性空間。特別注意：該線性空間的零元及負(fù)元。機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意：

（1）線性空間不能離開某一數(shù)域來定義。實(shí)際上，對(duì)于不同數(shù)域，同一個(gè)集合構(gòu)成的線性空間會(huì)不同，甚至一種能成為線性空間而另一種不能成為線性空間。（2）兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)。數(shù)域P中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算，而V中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。

（3）除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運(yùn)算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域時(shí)，就稱V為實(shí)線性空間；數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù)域，就稱V為復(fù)線性空間。機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束線性空間的一般形式：（V，+，·，P），元素被統(tǒng)稱為向量：，，，線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)（共性）：

定理1.

（V，+，·，P）具有性質(zhì)：（1）V（F）中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的負(fù)元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)：

0=0，k0=0，k=0=0

或k=0（4）=（1）

數(shù)0向量0機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束任一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè)對(duì)V中元素x，存在兩個(gè)負(fù)元素y和z，則根據(jù)負(fù)元律有

x+y=o＝x+z

證明：y=y+o=y+(x+z)=(y+x)+z=o+z=z

[零元律][結(jié)合律][零元律]即y和z相同，故負(fù)元素唯一。①：設(shè)w=0x，則x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故w=o[恒等律,幺元]②：設(shè)w=(－1)x，則

x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=

o，故w=－x機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、基、維數(shù)與坐標(biāo)1.線性相關(guān)性

線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。

?線性組合：

稱為元素組的一個(gè)線性組合。?線性表示：線性空間V中某個(gè)元素x可表示為其中某個(gè)元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。

機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束?線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)極大線性無(wú)關(guān)組【線性相關(guān)性概念是個(gè)非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)】向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)：定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。有關(guān)性質(zhì)與定理和Rn中的結(jié)果一樣。例2

證明：C[0，1]空間中的向量組{ex，e2x，e3x}，x[0，1]線性無(wú)關(guān)。例3

設(shè)R22中向量組{Ai

}1.討論{Ai}的線性相關(guān)性;2.求向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組;3.把其余的向量表示成極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合.機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.線性空間的維數(shù)定義：線性空間中最大線性無(wú)關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為的維數(shù)，記為dimV。本課程只考慮有限維情況，對(duì)于無(wú)限維情況不涉及。例4.全體m×n階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間（對(duì)于矩陣加法和數(shù)對(duì)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算），求其維數(shù)。

Eij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)構(gòu)成了最大線性無(wú)關(guān)元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。注：零空間的維數(shù)定義為0.dimV＝0

V＝{0}在

n

維線性空間V中，n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量

，稱為V的一組基；下的坐標(biāo)，記為

坐標(biāo)設(shè)

為線性空間

V的一組基，

則數(shù)組，就稱為在基

若3.線性空間的基與坐標(biāo)基有時(shí)也形式地記作

注意：向量

的坐標(biāo)

是被向量

和基

唯一確定的．即向量

在基下的坐標(biāo)唯一的.

機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5：求R2

2中向量在基{Eij

}下的坐標(biāo)。?基正是V中最大線性無(wú)關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的個(gè)數(shù)。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個(gè)數(shù)相等。討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對(duì)象，不同空間的元素完全可以具有千差萬(wàn)別的類別及性質(zhì)。但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量?jī)H由數(shù)域中的數(shù)表示出來。

（2）更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對(duì)向量的數(shù)乘。

（3）顯然，同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)通常是不同的。

機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2實(shí)線性空間{1,i}（1）復(fù)數(shù)加法（2）實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘實(shí)數(shù)域R1復(fù)線性空間{1}（1）復(fù)數(shù)加法（2）復(fù)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘復(fù)數(shù)域C維數(shù)空間類型一般元素基兩種運(yùn)算數(shù)域考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C,分別關(guān)于實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域做成的線性空間機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、基變換與坐標(biāo)變換設(shè)和是n維線性空間V的兩組基向量。它們的關(guān)系描述為：

稱為由到的過渡矩陣。

1.基變換機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束過渡矩陣A的性質(zhì)：A為非奇異矩陣A

的第i列是β

i

在基{εi

}下的坐標(biāo)因此在處理一些問題是時(shí)，如何選擇適當(dāng)?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺?biāo)比較簡(jiǎn)單是一個(gè)實(shí)際的問題．機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.坐標(biāo)變換A例6已知空間R2×2

中兩組基（I）{Eij}（II）求從基（I）到基（II）的過渡矩陣A。求向量在基（II）的坐標(biāo)Y。機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7在討論基變換及坐標(biāo)變換。對(duì)數(shù)換底公式

1、線性子空間的定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對(duì)于V中的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間．注：①

線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個(gè)空間的維數(shù).有基與維數(shù)的概念.

四、線性子空間2、線性子空間的判定，若W對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即

則W是V的一個(gè)子空間．

定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合推論：V為數(shù)域

P上的線性空間,

則W是V的子空間稱為V的由生成的子空間，定義：V為數(shù)域P上的線性空間，

則子空間

，記作．稱為的一組生成元.（2)生成子空間3.幾類特殊的子空間（1）P[x]n是P[x]的的線性子空間．

的全部解向量所成集合W對(duì)于通常的向量加法和數(shù)

n元齊次線性方程組

(＊)

①(＊)的解空間W的維數(shù)＝n－秩(A)，；注②(＊)的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構(gòu)成的線性空間是

n維向量空間Pn的一個(gè)子為V的一組基．即在V中必定可找到

n－m個(gè)向量定理：設(shè)W為n維線性空間

V的一個(gè)

m維子空間，4.基擴(kuò)充定理為W的一組基，則這組向量必定可擴(kuò)充，使為V的一組基．?dāng)U基定理

證明：對(duì)n－m作數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)

n－m＝0時(shí)，即n＝m，定理成立．就是V的一組基.假設(shè)當(dāng)n－m＝k時(shí)結(jié)論成立.因

n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我們考慮

n－m＝k＋1的情形．必定是線性無(wú)關(guān)的．既然還不是V的一組基，它又是線性無(wú)關(guān)的，那么在V中必定有一個(gè)向量不能被線性表出，把它添加進(jìn)去，則由此可知，子空間

是m＋1維的．可以擴(kuò)充為整個(gè)空間V的一組基．由歸納原理得證.

由歸納假設(shè)，的基五、線性子空間交與和1、子空間的交2、子空間的和

3、維數(shù)公式也為V的子空間，設(shè)V1、V2為線性空間V的子空間，則集合1．子空間的交定義任取

則有

同時(shí)有

故為V的子空間.

事實(shí)上，

稱之為V1與V2的交空間.顯然有,推廣多個(gè)子空間的交為線性空間V的子空間，則集合也為V的子空間，稱為的交空間.

V的兩子空間的并集未必為V的子空間.例如