矩陣特征值的最值與奇異性的衡量

矩陣特征值的最值與奇異性的衡量

1不對稱性與實際可異性分析在靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中，我們將涉及動態(tài)電壓矩陣的對稱問題，并相信動態(tài)矩陣是對應于它的矩陣。在文獻中，動態(tài)勢矩陣的界面越好，其提出的算法精度越高，但上述算法的精度越高。同時在靜態(tài)電壓穩(wěn)定性分析中，幾乎都涉及到潮流雅可比矩陣的奇異性問題，但并沒有對潮流雅可比矩陣及其降階矩陣的奇異程度作一定量的比較，也沒有對潮流雅可比矩陣的不對稱性和奇異性之間的關(guān)系進行分析。為此，本文將從數(shù)學角度出發(fā)根據(jù)實對稱陣的特征構(gòu)造不對稱性指標，并針對不對稱矩陣構(gòu)造出適用于矩陣接近奇異時新的奇異性指標，對潮流雅可比矩陣不對稱性和奇異性之間的聯(lián)系進行了分析，證明了潮流雅可比矩陣最大奇異值的有界性。最后，應用上述指標對IEEE30系統(tǒng)進行了分析，并得出了潮流雅可比矩陣及其相應的降階矩陣的譜條件數(shù)排序取決于相應的矩陣最小奇異值排序的結(jié)論。2矩陣中的不對稱指數(shù)2.1基于pfi的異質(zhì)矩陣式中是雅可比子矩陣，分別表示有功P和無功Q對電壓角度θ和電壓幅值V的偏導數(shù)。令?P=0和?Q=0，得到相應的降階矩陣為證明1若潮流雅可比矩陣J為對稱陣，且其奇異值分解形式為對任一奇異值，有式中非零向量ui和vi分別稱為矩陣J的對應于奇異值σi的左、右奇異向量。式(4)、(5)可用矩陣表示為由J=JT，得U=V，即對應于奇異值σi的左、右奇異向量完全相同，由式(6)得J=UΣU-1，形式上與特征值分析完全相同。另一方面，因為矩陣U為正交矩陣，所以J=UΣUT，并且UTU=I，上述結(jié)論對正交矩陣V同樣成立。由稱pfi為奇異參與因子，則對所有的變量j(j=1,2,(43),m)和所有的模態(tài)i(i=1,2,(43),n)，都證明2若潮流雅可比矩陣J為對稱陣，則降階矩陣Jr(θ)和Jr(V)也是對稱陣。當J=JT時，有同理可證Jr(V)=JrΤ(V)。證明3若潮流雅可比矩陣J可分解為J=JS+JAS，其中JS表示其對稱部分，JAS表示其反對稱部分，則有由2.2稱陣還是稱陣若矩陣J具有對稱性，即J=JT，則J具有以下特點：對正規(guī)矩陣，均有σi(J)=λi(J)成立，對稱陣和反對稱陣都是正規(guī)矩陣，但潮流雅可比矩陣J不是反對稱陣，因為若J=-JT，必有對角元素Jii=0，而事實上Jii≠0，所以J≠-JΤ。(3),適用于非奇異正規(guī)陣。其中,稱為矩陣的譜條件數(shù)。(4)，對稱陣和反對稱陣都成立。(5)，可用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)或∞—范數(shù)表示。2.3增加充要條件對應地，若矩陣J具有不對稱性，即J≠JΤ，則其成立的充要條件如下：事實上，根據(jù)矩陣J與JS的關(guān)系可生成新的充要條件，如，或。另外，只是矩陣J不對稱的充分條件，即是矩陣J對稱的必要條件。3新的非對稱矩陣性能3.1潮流雅分析的h子矩陣矩陣條件數(shù)趨于無窮大的原因是矩陣的最大奇異值趨于無窮大和（或）最小奇異值趨于零。對潮流雅可比矩陣而言，條件數(shù)趨于無窮大只是由最小奇異值趨于零引起的，下面給出證明。證明4潮流雅可比矩陣最大奇異值的有界性。證明過程如下：無功潮流方程為式中：Vi和Vj表示節(jié)點i和j的電壓幅值，δij表示節(jié)點i和j的電壓相位差，Gij和Bij表示節(jié)點i和j間的互電導和互電納，Gij和Bij表示節(jié)點i的自電導和自電納，n為系統(tǒng)中PQ節(jié)點數(shù)。由式(10)則有設(shè)潮流雅可比矩陣uf8fb，現(xiàn)僅以潮流雅可比矩陣J的H子矩陣表示有界性證明的過程。由式(10)、和得以上表明H子矩陣的每一項都是有界的,同理可證其他3個子矩陣的每一項也是有界的,即潮流雅可比矩陣J的每一項都是有界的,又由于潮流雅可比矩陣J是有限維的,故其每一列元素的絕對值之和是有界的。因此是有界的。設(shè),由于有限維矩陣的任何范數(shù)都是等價的,因此設(shè),其中αβ>≥0。由于,所以,從而使惟一確定。又由于，所以，因此也是一致的。3.2矩陣的獨特性若矩陣J具有奇異性，則矩陣J具有以下特點：(1)minσ=0或minλ=0。3.3新的矩陣性能指標2、3和12的構(gòu)成依據(jù)為：由式(9)得以保證指標始終不小于零。指標3和12的缺點為：在臨界狀態(tài)下，。4其他單次約束結(jié)構(gòu)的曲線特性應用IEEE30系統(tǒng)算例，假設(shè)全系統(tǒng)負荷以同一負荷因子k增加，kmax=1.86。表1給出了發(fā)電機節(jié)點PV-PQ轉(zhuǎn)換時負荷因子k的值。由表1可以看出：當k=1.62時，系統(tǒng)中所有PV節(jié)點都已轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點。從圖1可以看出：矩陣J的不對稱性明顯強于矩陣Jr(V)和Jr(θ)，且指標11的突變與PV-PQ的轉(zhuǎn)換密切相關(guān)。圖2是對圖1的局部放大，從圖2可以看出：矩陣Jr(θ)的不對稱性稍強于矩陣Jr(V)。圖1和圖2的最大不同在于：對指標11而言，矩陣J的變化趨勢與矩陣Jr(V)和Jr(θ)正好相反，且對矩陣J而言，指標11趨于1，這是因為矩陣J趨于奇異，同時趨于零的緣故。從圖3可以看出：對3個矩陣而言，minσ=f(k)是嚴格單調(diào)減函數(shù)，且在PV-PQ轉(zhuǎn)換時都不同程度地出現(xiàn)陡降現(xiàn)象，即使維數(shù)恒定的矩陣Jr(θ)也不例外,只是其降幅較小。以矩陣J為例，負荷因子k的增大使minσ(J)緩降，而PV-PQ轉(zhuǎn)換使minσ(J)陡降，這2方面原因使minσ(J)=f(k)成為嚴格單調(diào)減函數(shù)。另外，這3個矩陣是同時奇異的。從圖4可以看出：除矩陣Jr(V)的minσ在初始階段由于PV-PQ的轉(zhuǎn)換出現(xiàn)陡升現(xiàn)象外，其他矩陣、其余階段均不明顯，顯然符合矩陣增維后minσ不減的性質(zhì)，同時這也與minσ(J)形成鮮明對比，并且minσ=f(k)是(分段)嚴格單調(diào)減函數(shù)。以矩陣J為例，從圖5中可以看出：是分段單調(diào)減函數(shù)，曲線的陡升現(xiàn)象是PV-PQ轉(zhuǎn)換的結(jié)果。當k>1.62后，二者的差值越來越小，直至等于零。但這不能說明矩陣的對稱性增強，因為矩陣對稱是指對所有的i都有成立，并不單純指最小值，只是矩陣對稱的必要條件，但是可用表示矩陣的奇異性。同時也可以看到：矩陣J的數(shù)值大于矩陣Jr(V)和Jr(θ)的數(shù)值，但由于其數(shù)量級非常小，無法與圖6中的數(shù)值相比，因此對這3個矩陣而言，可認為。設(shè)矩陣的奇異值排序為maxσ=σ1≥σ2≥(43)≥σn=minσ，特征值排序為，因，此若（ε1、ε2均為非常小的正數(shù)），則可認為矩陣是對稱的，從圖5、6中可以看到，矩陣Jr(V)和Jr(θ)就是這種情況，對矩陣J而言，可認為是始終成立的，而是否成立應看作是矩陣不對稱性強弱的標志，因此從這個角度講，k=1.35時，矩陣J的對稱性是最強的，指標2、3可以衡量矩陣的不對稱性。由于相比是可以忽略的，因此可以認為矩陣不對稱性的變化趨勢是由決定的。由圖6可以看出：矩陣J的數(shù)值遠遠大于矩陣Jr(V)和Jr(θ)的數(shù)值，例如，當k>1.35后，這3條曲線都是單調(diào)上升的，且矩陣Jr(θ)的數(shù)值略大于矩陣Jr(V)的數(shù)值，因此可認為矩陣J、Jr(θ)和Jr(V)的不對稱性依次增強。由上知可用表示矩陣的不對稱程度，用表示矩陣的奇異程度。從圖7可以看出：k=1.05時，3個指標同時突變。從圖4可以看出：是嚴格單調(diào)減函數(shù)，從圖6可以看出：當k>1.35時，是單調(diào)增函數(shù)，因此maxuf8e6λ(J)uf8e6=f(k)也是單調(diào)減函數(shù)，由此可推出指標2是單調(diào)增函數(shù)，正如圖7中所示，當k<1.35時也可做類似分析。因此與指標2的曲線特性完全一致，這可通過對比圖6和圖7中相關(guān)曲線進行驗證。從圖7可以看出：指標2和3的變化趨勢始終一致，并且k=1.35時，指標2和3同時到達最小值。指標3的等價形式為。從圖5、6可以看到：由于相比要差2個數(shù)量級，因此可以認為，由此指標3近似等于。若是單調(diào)增函數(shù)，則是單調(diào)減函數(shù)，所以是單調(diào)增函數(shù)，同理，是單調(diào)增函數(shù)，所以也是單調(diào)增函數(shù)，若是單調(diào)減函數(shù)，也可得出相同的結(jié)論。因此指標2和3的變化趨勢一致是自然的，如圖7所示。指標2與指標3相比，可以看出指標2的曲線比較光滑，而指標3的曲線不可導點比較多，但指標3能反映PV-PQ轉(zhuǎn)換，兩指標都能反映矩陣不對稱性的變化趨勢。從圖7可看出：而指標3和12的突變點相同且與PV-PQ轉(zhuǎn)換點一致，在階段，指標12可作為衡量矩陣不對稱性的指標。在k∈(1.62,1.86]階段，指標12是負荷因子k的單調(diào)減函數(shù)，且都已非常小，因此仍作為矩陣不對稱性指標已不合適，這一點與指標11相同，但可作為衡量矩陣奇異性的指標。下面對指標2、3和12間的關(guān)系作一簡單說明。從圖5、圖6中也可以看到：當kmax=1.86時，取得最小值，而取得最大值。(1）指標2與指標3之差為在k=1.35及其附近，\時2指標之差為，當k=1.86時，，此時2指標之差為，即2指標之差出現(xiàn)了由負到正的轉(zhuǎn)折。(2）指標2與指標12之差為在k=1.35及其附近，，并且可認為，因此2指標之差小于零，而在k=.186及其附近時，，并且可認為，因此2指標之差大于零，即2指標之差也出現(xiàn)了由負到正的轉(zhuǎn)折，只是轉(zhuǎn)折點對應的k值不同。(3）指標3與指標12之差為即指標3與12之差始終不小于零。以上所述均可從圖7中得到驗證。對比圖7中指標12與圖5中關(guān)于矩陣J的曲線，可以看到2條曲線的突變點完全相同且與PV-PQ轉(zhuǎn)換點重合，并且變化趨勢一致。且圖7中指標2與圖6中關(guān)于矩陣J的曲線也存在類似情況。當k≥1.47后，從圖8可以看出不對稱性排序按矩陣J、Jr(θ)和Jr(V)依次增強。若，則矩陣J必不對稱，且越大，則矩陣J可能越不對稱。但，則矩陣J也不一定對稱。雖然都只與矩陣的某一特殊行或列有關(guān)，不能反映矩陣的整體特征，但此指標同時涉及到矩陣的2個范數(shù)，因此對潮流雅可比矩陣而言有一定的適用性。從圖9可以看出：指標5～7均小于指標8～10，這是由決定的。指標6顯著小于指標5和7，指標9顯著大于指標8和10，這是因為矩陣JS和JAS都屬于正規(guī)矩陣，而對于正規(guī)矩陣而言，有成立,并且矩陣J是準對稱的。同時可以看出：除指標6外，其他指標明顯偏大。不論指標5和7還是指標8和10，當k>1.62后，這2對指標的差距加大，因此盡管其變化趨勢都是下降的，但矩陣J的不對稱性是增強的。從圖10也可以得出矩陣Jr(θ)的不對稱性稍強于矩陣Jr(V)的結(jié)論，但從其數(shù)量級上可以認為矩陣Jr(θ)和Jr(V)都是對稱的。從圖9、10可以看出：矩陣J的不對稱性明顯強于矩陣Jr(θ)和Jr(V)。從圖11可以看出：對3個矩陣而言，k2=F(k)是嚴格單調(diào)增函數(shù)，且在PV-PQ轉(zhuǎn)換時都有不同程度的陡升現(xiàn)象，這與minσ=f(k2)曲線極為一致。從圖11還可以看出：雖然3個矩陣的條件數(shù)不同，但變化趨勢相同，且都反映同一客觀現(xiàn)象。對于任一k值，排序與minσ的排序始終相反，而與maxσ的排序無關(guān)，這說明k2主要由minσ決定。當k>1.62后，在這3個矩陣中，矩陣J的不對稱最強，奇異性也最強。對實矩陣而言，維數(shù)增加使maxσ不減少，minσ不增加，因此k2不減少。對潮流雅可比矩陣J而言，每一次PV-PQ轉(zhuǎn)換都使maxσ(J)不減少，minσ(J)陡降，因此k2(J)陡升。當矩陣奇異時，即負荷因子k=kmax時，k2=+∞，這說明d(minσ)/dk<d(maxσ)/dk，即maxσ的平均減少速率明顯小于minσ的平均減少速率。5不對稱性的度量就潮流雅可比矩陣J而言，其不對稱性由導納陣中電導Gij是否為零惟一確定，其奇異性由負荷因子k惟一確定。若J=JT，不對稱性與奇異性無關(guān)。若J≠JT，則二者間有一定的關(guān)聯(lián)，接近臨界點處，不對稱性與奇異性都在增強。maxσ-maxuf8e6λuf8e6表示不對稱程度，而minuf8e6λuf8e6-minσ表示奇異程度，同理，對應于最大奇異值的參與因子之和的大小也是表示對稱程度的一個量度，而對應于最小奇異值的參與因子之和的大小則是表示奇異程度的一個量度。以上說明，雖然潮流雅可比矩陣J是網(wǎng)絡拓撲和運行參數(shù)的函數(shù)，但網(wǎng)絡拓撲對其對稱性的影響是決定性的，由此導出的參與因子也是如此。譜條件數(shù)k2和指標3雖然都與maxσ和minσ有關(guān)，但由于k2主要由minσ決定，因此k2應是衡量矩陣奇異性的指標，而指標3主要由maxσ和決定，因此指標3應是衡量矩陣不對稱性的指標，這在仿真中也得到證實。綜上所述，在衡量矩陣不對稱性方面，指標2和3最好，因此也可用代替重構(gòu)這2個指標。在衡量矩陣奇異性方面，指標11和12只適用于負荷因子k已很大的情況。6異值指標1.2本文提出了衡量矩陣不對稱程度的指標，并提出了衡量不對稱矩陣奇異程度的新指標，而且對矩陣不對稱性和奇異性間的關(guān)系進行了分析，最后針對潮流雅可比矩陣及其相應的降階雅可比矩陣，用IEEE30系統(tǒng)算例驗證了上述指標的合理性并作了分析。由潮流方程，可得有另外,J=UΣUT與對稱矩陣的LDLT分解完全不同。(1)其中奇異值(1)指標1為,選用。(2)指標2為,選用。(3)指標3為。由式(9)可得。指標3越小于1,矩陣不對稱性越強。(4)指標4為。(5)指標5～7為,分別用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)和∞—范數(shù)表示,其中指標6等于。(6)指標8～10為。分別用矩陣的1—范數(shù)、2—范數(shù)和∞—范數(shù)表示,其中指標9等于。當J=JT時,除指標1等于1外,其他指標均等于0。事實上,以上所有指標都可轉(zhuǎn)化為以0或1為極限值。當J≠JT時,均以0或1為極限