《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第6課 導(dǎo)數(shù)的概念

第課導(dǎo)數(shù)的概念PAGE第課導(dǎo)數(shù)的概念PAGE126導(dǎo)數(shù)的概念第課PAGE導(dǎo)數(shù)的概念第課PAGE116

課題導(dǎo)數(shù)的概念課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握導(dǎo)數(shù)的概念（2）掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義及與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題（3）掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系思政育人目標(biāo)：將導(dǎo)數(shù)與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（10min）第2節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況引例導(dǎo)入（10min）【教師】講解引例設(shè)一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，則以它的運(yùn)動(dòng)直線為數(shù)軸．在物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)于每一時(shí)刻t，物體的相應(yīng)位置可以用數(shù)軸上的一個(gè)坐標(biāo)s來(lái)表示，即s與t之間存在函數(shù)關(guān)系：，這個(gè)函數(shù)習(xí)慣上稱為位置函數(shù)，現(xiàn)在我們來(lái)考察該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度．圖3-1圖3-1如圖3-1所示，設(shè)在時(shí)刻物體的位置為．當(dāng)自變量t獲得增量時(shí)，物體的位置函數(shù)s相應(yīng)地有增量，即圖3-1．于是，比值就是物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，記作，即．從整體來(lái)看，變速運(yùn)動(dòng)的速度是變化的；但從局部來(lái)看，在一段很短的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度變化不大，可以近似地看作是勻速的．因此，當(dāng)很小時(shí)，可作為物體在時(shí)刻瞬時(shí)速度的近似值．很明顯，越小，就越接近物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度．當(dāng)無(wú)限小時(shí)，就無(wú)限接近于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即．【學(xué)生】聆聽(tīng)、思考、理解、記錄知識(shí)講解

（23min）【教師】講解導(dǎo)數(shù)的概念一、平面曲線的切線斜率定義3-1在曲線L上點(diǎn)附近，再取一點(diǎn)P，作割線，當(dāng)點(diǎn)P沿曲線L移動(dòng)而趨向于時(shí)，割線的極限位置就定義為曲線L在點(diǎn)處的切線．．，那么割線的斜率為．圖3-2當(dāng)時(shí)，P沿曲線L趨于，割線的極限位置存在，即點(diǎn)處的切線存在，從而得到切線的斜率．由此可見(jiàn)，曲線在點(diǎn)處的縱坐標(biāo)y的增量與橫坐標(biāo)x的增量之比當(dāng)時(shí)的極限即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率．二、導(dǎo)數(shù)的概念定義3-2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的增量．如果當(dāng)時(shí)，的極限存在，即，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，記作或或．若此極限值不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．特殊地，若，我們說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為，記作．．由該定義可看出，反映的是自變量從改變到時(shí)，函數(shù)的平均變化速度，稱為函數(shù)的平均變化率．而反映的是函數(shù)在點(diǎn)處的變化速度，稱為函數(shù)在點(diǎn)的變化率．如果函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，那么對(duì)應(yīng)于中的每一個(gè)確定的x值，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記作或或或．在不致發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．顯然，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即．注意：與的區(qū)別在于表示函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；而表示點(diǎn)處函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，即一個(gè)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果為零．基于此，要求出函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再把點(diǎn)的值代入即得導(dǎo)數(shù)值．由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可按如下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）求函數(shù)的改變量：；（2）求比值：；（3）求極限：．【學(xué)生】掌握導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解求導(dǎo)的例子、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系一、求導(dǎo)舉例例1求函數(shù)在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．解在x處給自變量一個(gè)增量，則相應(yīng)的函數(shù)增量為．于是，，即．一般地，對(duì)于冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有如下公式：．例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解因?yàn)?，所以，即．特別地，當(dāng)時(shí)，．例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解（1）求增量．因?yàn)?，即不論取什么值，的值總等于，所以．?）算比值．．（3）取極限．．這就是說(shuō)，常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，即．例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解（1）求增量．因，所以．（2）算比值．．（3）取極限．，即．用類似的方法，可求得．例5求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解（1）求增量．．（2）算比值．．（3）取極限．，即．例6求證：．證設(shè)，則．令，則，且時(shí)，有，于是．按求導(dǎo)步驟求出的下列基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可作為公式直接使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題（1）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即（），這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．曲線在點(diǎn)處的法線方程為．特別地，若則，則法線垂直于軸，法線方程為．若則，則切線垂直于軸，切線方程為．（2）變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：．（3）在經(jīng)濟(jì)管理中，收益函數(shù)對(duì)銷售量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益．（4）利潤(rùn)函數(shù)對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)．（5）在電工學(xué)中，電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為電流．（6）在化學(xué)反應(yīng)中，物質(zhì)A的濃度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為反應(yīng)速率．一般為了使反應(yīng)速率為正值，如果物質(zhì)A是反應(yīng)物，則前加負(fù)號(hào)，即；物質(zhì)A是產(chǎn)物，則速率就是．（7）在干燥物體的時(shí)候，單位干燥面積上汽化水分量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為干燥速率．（8）某種傳染病傳播的人數(shù)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為傳染病的傳播速度．例7求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．解因?yàn)?，所以切線方程為，即；法線方程為，即．三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理3-1若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在處連續(xù)．注意：此定理的逆命題不成立，即連續(xù)不一定可導(dǎo)．例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，但它在處不可導(dǎo)．因在處，即曲線在原點(diǎn)有垂直于軸的切線，而該切線沒(méi)有斜率，故導(dǎo)數(shù)不存在．那么，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，則．例8試證函數(shù)在處連續(xù)，但在該點(diǎn)不可導(dǎo)．證因?yàn)椋?，即在處連續(xù)．又因?yàn)椋裕邳c(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)是，而左導(dǎo)數(shù)是．左、右導(dǎo)數(shù)不相等，故函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)．由此可見(jiàn)，函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件．為方便理解，分別稱極限為函數(shù)在處的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)，分別用和來(lái)表示．顯然，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件是：函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)存在且相等．【學(xué)生】掌握求導(dǎo)的例子、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系學(xué)習(xí)求導(dǎo)的例子、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，內(nèi)容較多，課后要多加練習(xí)，鞏固知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧