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第三章已知是n階正定Hermite矩陣，在n維線性空間中向量定義內(nèi)積為證明在上述定義下，是酉空間；寫出中的Canchy-Schwarz不等式。已知，求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。提示：即求方程的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。已知試求酉矩陣，使得是上三角矩陣。提示：參見教材上的例子試證：在上的任何一個正交投影矩陣是半正定的Hermite矩陣。驗證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣，使為對角矩陣，已知，試求正交矩陣，使為對角矩陣，已知，試求矩陣，使（或），已知，設(shè)n階酉矩陣的特征根不等于，試證：矩陣滿秩，且是Hermite矩陣。反之，若是Hermite矩陣，則滿秩，且是酉矩陣。證明：若，觀察知為的特征值，矛盾，所以矩陣滿秩。，要，只要故由知為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實數(shù)特征值可得，即滿秩。若分別是實對稱和實反對稱矩陣，且，試證：是酉矩陣。證明：設(shè)，試證：是酉矩陣。提示：設(shè)A為n階正規(guī)矩陣，為A的特征值，試證：的特征值為。提示：，，所以的特征值為設(shè)，試證：（1）和都是半正定的Hermite矩陣；（2）和的非零特征值相同。提示：（1）（2），特征值的重數(shù)也相同，參見P191設(shè)A是正規(guī)矩陣，試證：（1）若（為自然數(shù)），則；（2）若，則；（3）若，則。設(shè)，求證以下三條件等價：（1）為正規(guī)矩陣（2）（3）解：（1）（2）由。（2）（3）,由（2）（1）,由31、設(shè)，則A可以唯一的寫為，其中為Hermite矩陣。且A可以唯一的寫為，其中B是Hermite矩陣，C是反Her
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