陜西省咸陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

咸陽市2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研檢測高一數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合間的交集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：B.2.在簡單隨機抽樣中，關(guān)于其中一個個體被抽中的可能性，下列說法正確的是（）A.與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B.與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C.與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽到的可能性都相等D.與第幾次抽樣無關(guān)，每次都是等可能抽取，各次抽取的可能性不一樣【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣的概念即可得出答案.【詳解】在簡單隨機抽樣中，總體中的每個個體在每次抽取時被抽到的可能性相同，故選：C.3.已知兩個單位向量的夾角是，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量模的運算法則運算求解即可.【詳解】解：因為兩個單位向量的夾角是，所以，.故選：A4.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，則該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.3，9 B.2， C.9， D.2，3【答案】B【解析】【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)和中位數(shù)即可求解.【詳解】這組數(shù)據(jù)供12個，%，數(shù)據(jù)按從小到大排列為1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，第三位數(shù)是2，第四位數(shù)也是2，所以該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是，第六位數(shù)是3，第七位數(shù)也是4，所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選：B.5.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗區(qū)種植了某農(nóng)作物．為了解該品種農(nóng)作物長勢，在實驗區(qū)隨機選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測量，其高度（單位：cm）均在區(qū)間內(nèi)，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”．則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.88【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計算出“優(yōu)質(zhì)苗”的占比,再乘以100可得結(jié)果【詳解】由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質(zhì)苗”的占比為，因此，所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為.故選：C.6.已知向量，，，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】先求出和的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，故選：C7.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.8.已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】，，所以當(dāng)時，成立，即充分性成立；當(dāng)時，不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件，故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論正確是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯誤.故選：BC.10.下列選項中與的值不恒相等的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式逐項化簡，可得出合適的選項.【詳解】，，，.故選：BCD.11.隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，記錄朝上一面的點數(shù).設(shè)事件“第一次為偶數(shù)”，“第二次為偶數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為偶數(shù)”，則（）A. B.與對立C.與互斥 D.【答案】AD【解析】【分析】列舉出朝上一面的點數(shù)所有情況和事件所包含的情況，計算得到AD選項，再根據(jù)和判斷出BC.【詳解】朝上一面的點數(shù)情況有，，，共36種情況，事件，第一次為偶數(shù)為情況為，，共18種情況，事件，第二次為偶數(shù)的情況為，，共18種情況，事件，兩次點數(shù)之和為偶數(shù)的情況為，，共18種情況，A選項，，，A正確；B選項，因為中含有的情況有，共9種情況，故，所以與不對立，B錯誤；C選項，所含情況為，，共18種情況，則含有情況為，故，故與不互斥，C錯誤；D選項，由B選項可知，，D正確.故選：AD12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A.體積為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，側(cè)面積為的圓錐體【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：由球體的體積公式得，所以球的半徑，即球體的直徑等于正方體的棱長，所以恰好能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：由于圓錐的底面直徑為，側(cè)面積為，所以由圓錐的側(cè)面積公式得，得母線長，所以高為，即圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實部互為相反數(shù)，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，然后由虛部和實部互為相反數(shù)列方程可求出【詳解】（），因為復(fù)數(shù)的虛部與實部互為相反數(shù)，所以，得，故答案為：14.若甲、乙、丙在10分鐘之內(nèi)獨立復(fù)原魔方的概率分別，，，則甲、乙、丙至少有一人在10分鐘之內(nèi)獨立復(fù)原魔方的概率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意利用獨立事件和對事件概率公式求解即可【詳解】記事件分別為甲、乙、丙在10分鐘之內(nèi)獨立復(fù)原魔方，則，所以甲、乙、丙至少有一人在10分鐘之內(nèi)獨立復(fù)原魔方的概率為，故答案為：15.如圖所示，在正方體中，E、F分別是AB、AD的中點，則異面直線與EF所成的角的大小為_________.【答案】##【解析】【分析】連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：（或其補角）即為所求，進而求解即可.【詳解】如圖，連接，則，故（或其補角）即為所求，又，所以，故答案為：.16.已如點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的一個坐標(biāo)可以是______.【答案】或或【解析】【分析】分三種情況①；②；③，利用平行四邊形一組對邊平行且相等借助向量相等即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)點，以為頂點的平行四邊形可以有三種情況：①若四邊形為時，因為，可得，由，可得，解得，即；②若四邊為，因為，可得，由，可得，解得，即；③若四邊形為時，因為，可得，由，可得，解得，即.綜上可得，點的坐標(biāo)為或或.四、解答題（本題井6小題、共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)，求的零點.【答案】（1）（2）零點為.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義，建立不等式組，求解即可；（2）令，得，解方程即可．【小問1詳解】由題意得，解得.所以的定義域為.【小問2詳解】令，解得，故的零點為.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)圖像的對稱中心；（2）求函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求對稱中心；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】令，解得，所以函數(shù)圖像的對稱中心為.【小問2詳解】令，解得，所以函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間為.19.如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天.（1）求此人到達當(dāng)日該市空氣重度污染的概率；（2）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，明確空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.（2）明確此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的事件等價于此人在4日或5日或7日或8日到達，由此可求得答案.【小問1詳解】由圖看出，1日至13日這13天時間內(nèi)，空氣質(zhì)量重度污染的是5日、8日共2天，故此人到達當(dāng)日該市空氣重度污染的概率為.【小問2詳解】此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況為，，，，，，，，，，，，，共13種情況，其中只有1天空氣重度污染的是，，，，共4種情況，故此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為.20.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1），；（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；（2）根據(jù)公式計算出的值，和比較大小即可.【小問1詳解】，，，的值分別為:，故【小問2詳解】由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.21.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意利用正項定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運算；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得，進而可求面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，則，所以.又因為，則，可得，即.【小問2詳解】由（1）知，可得A為銳角，，由余弦定理可知，因為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，解得，所以，即面積的最大值為.22.如圖，是直角梯形底邊的中點，，，，將沿折起形成四棱錐.（1）求證：平面；（2）若二面角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分