九年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版）上冊(cè)課件-【第2課時(shí) 正方形的判定】

正方形的判定1北師版九年級(jí)上冊(cè)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的對(duì)角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開(kāi).怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？探究新知，經(jīng)歷過(guò)程提示：剪口線與折痕成45°角即可。有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角對(duì)角線相等對(duì)角線垂直如何判定一個(gè)四邊形是正方形，一般思考方法是什么？判斷四邊形是正方形有哪些方法？1.先說(shuō)明它是平行四邊形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等，有一個(gè)角是直角.（定義法）2.先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明這個(gè)矩形有一組鄰邊相等.3.先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明這個(gè)菱形有一個(gè)角是直角.定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對(duì)角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對(duì)角線互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF

是平行四邊形.∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定義）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，①若∠BEF=30°，則∠A=______.②若EF=8cm,則AC=______.你還記得三角形的中位線定理嗎？30°16cm一般四邊形的中點(diǎn)四邊形如圖，任意畫(huà)一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？任意四邊形的中點(diǎn)四邊形

是平行四邊形.幾何畫(huà)板.GSP

如果四邊形

ABCD

變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形

EFGH會(huì)有怎樣的變化呢？原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形？矩形？菱形？正方形？平行四邊形的中點(diǎn)四邊形平行四邊形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？（提示：連接AC、BD）幾何畫(huà)板.GSP矩形的中點(diǎn)四邊形矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？幾何畫(huà)板.GSP已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是矩形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）菱形的中點(diǎn)四邊形菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.幾何畫(huà)板.GSP你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是菱形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是菱形∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）正方形的中點(diǎn)四邊形正方形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？幾何畫(huà)板.GSP原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再證明.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的對(duì)角線相等）

AC⊥BD（正方形的對(duì)角線互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），∠2=90°.∴四邊形EFGH

為正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.思考：決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？對(duì)角線不垂直，不相等平行四邊形對(duì)角線不垂直，不相等平行四邊形對(duì)角線相等菱形對(duì)角線垂直矩形對(duì)角線相等且垂直正方形歸納

決定中點(diǎn)四邊形

EFGH

的形狀的主要因素是原四邊形

ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置關(guān)系。原四邊形對(duì)角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形已知：如圖，E，F(xiàn)

是正方形ABCD

的對(duì)角線BD

上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：四邊形AECF

是菱形.【選自教材P25習(xí)題1.8第2題】鞏固練習(xí)，深化提高證明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四邊形AECF是菱形．2.如圖，在正方形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別在它的

四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是

什么特殊四邊形？你是如何判斷的？解：四邊形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四邊形EFGH

是正方形【選自教材P25習(xí)題1.8第3題】3.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′O

與正方形

ABCD的邊長(zhǎng)相等.在正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)

的過(guò)程中，兩個(gè)正方形重疊的部分與正方形ABCD的面積

有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【選自教材P25習(xí)題1.8第4題】S重疊部分=S正方形ABCD幾何畫(huà)板.GSP證明:如圖,正方形OA′B′C′分別交AB、BC于點(diǎn)E、F．∵OC

＝OB,∠C′OA′＝∠COB＝90°,∠OCB

＝∠OBA＝45°,∴∠COF＝∠BOE,則△OFC≌△OEB．∴S重疊部分＝S△OEB+S△OBF=S△OFC+S△OBF=S△OBC=