第30講 整數(shù)解問題之分離參數(shù)（解析版）

第30講整數(shù)解問題之分離參數(shù)1．已知．（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．（2）若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合函數(shù)的零點個數(shù)判斷即可；（2）由可得，令，則，由關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，即方程有兩個不同的實數(shù)解，令，求出函數(shù)的最值，即可得解.（1）解：，，，所以，當時，，所以在，單調遞增，又因為，所以在，上無零點；當時，，使得，所以在，單調遞減，在單調遞增，又因為，，所以若，即時，在，上無零點，若，即時，在，上有一個零點，當時，，在，上單調遞減，在，上無零點，綜上當時，在，上有一個零點；（2）解：由，即，即，則有，令，則，，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，因為關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，則方程有兩個不同的實數(shù)解，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，當時，，當時，，所以.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間及最值問題，考查了分類討論思想、轉化思想及同構思想，難度較大.2．已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標好選擇.如果多寫按第一個計分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）選擇①時，；選擇②時，【分析】（1）把代入，然后對求定義域，求導，利用求出求的值，觀察出是個增函數(shù)進而求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）對進行同構變形，然后構造新函數(shù)求的取值范圍（1）定義域為，，在處取得極值，則，所以，此時，可以看出是個增函數(shù)，且，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）①選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調遞增，所以所以，令，.，當時，，當時，，故在處取得極大值，，故1，解得：故當時，恒成立.②選擇若僅有兩個零點，即有兩個根，整理為，即設函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調遞增，所以=所以只需有兩個根，令，.，當時，，當時，，故在處取得極大值，，要想有兩個根，只需，解得：，所以的取值范圍為【點睛】同構變形是一種處理含有參數(shù)的函數(shù)常用方法，特別是指對同構，對不能參變分離的函數(shù)可以達到化簡后可以參變分離的效果，非常的好用3．已知函數(shù).（1）選擇下列兩個條件之一：①；②；判斷在區(qū)間是否存在極小值點，并說明理由；（2）已知，設函數(shù)若在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，則，由于在上單調遞增，且，從而可求出求出的單調區(qū)間，進而可求出的最小值非負，則無極值；若選擇②，則，由在上單調遞增，且，可得的單調區(qū)間，從而得其最小值小于0，進而可判斷函數(shù)的極值，（2）令，則可得，令，即轉化為有解，構造函數(shù)，由導數(shù)可得由唯一零點，從而將問題轉化為在有解，即，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的值域可得的范圍，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：（1）若選擇①，則，由在上單調遞增，且，所以在上單調遞減，上單調遞增，有，則在上單調遞增，不存在極小值點.若選擇②，則，由在上單調遞增，且，所以在上單調遞減，上單調遞增，有，而，所以存在極小值點.（2）令，有，又，所以，令，即轉化為有解，設，則由可得，在單調遞減，在單調遞增，而，所以由唯一零點.若在區(qū)間存在零點，即為在有解.整理得：，設，由知，在單調遞減，在單調遞增，則，所以，故有.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)解決零點問題，解題的關鍵是由可得，令，將問題轉化為有解，構造利用導數(shù)討論其解的情況即可，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題4．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內沒有零點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得在恒成立，兩邊取以為底的對數(shù)，即在恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調性求出參數(shù)的取值范圍；（2）依題意可得在無實根，即：在無實根，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，即可得解；【詳解】解：（1）因為函數(shù)在單調遞減，所以在恒成立，兩邊取以為底的對數(shù)，即在恒成立，設，所以在遞減，所以，所以；（2）在無零點，等價于方程在無實根，亦即在無實根，因為在為單調增函數(shù)，原方程無零點等價于在無實根，即：在無實根，構造函數(shù)，，，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，所以．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．5．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】（1）極小值，無極大值；（2）.【分析】（1），對函數(shù)求導，討論函數(shù)的單調區(qū)間，進而可得結果.（2）函數(shù)有兩個零點，轉化為有兩個解，構造函數(shù)，由函數(shù)單調遞增，可得()有兩個解，進而可得結果.【詳解】（1）當時，，，，顯然在單調遞增，且，∴當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，設，則，單調遞增，∴()有兩個解，即()有兩個解.令()，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，又時，，且，當時，，且所以當時，∴.【點睛】關鍵點點睛：有兩個解，根據(jù)方程的結構構造函數(shù)是解題的關鍵.6．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；（3）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）y＝－1；（2）見解析；（3）3﹒【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導數(shù)證明在上單調遞增，再結合零點存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問題轉化為求在上的最小值，結合(2)中結論和隱零點的思維，即可得解．（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當時，，在上單調遞增，（3），（4），在區(qū)間內存在唯一的零點．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調遞增，且在區(qū)間內存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，，即，在上單調遞減，當，時，，即，在，上單調遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，以及不等式問題，考查轉化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．7．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導數(shù)可確定單調性，由極值定義可求得結果；（2）利用導數(shù)可確定的單調性；當時，可知，解不等式可知無滿足題意的值；當時，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點可構造不等式求得結果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進而得到的范圍，從而得到.（1）當時，，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，無極大值.（2），，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；①當時，在上單調遞增，若在上有唯一零點，則，即，解得：（舍）；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當，即時，，則在上無零點，不合題意；當，即時，在上有唯一零點，滿足題意；當，即時，由得：，在上有唯一零點，此時需，即；綜上所述：當或時，在上有唯一零點，即實數(shù)的取值范圍為.（3）若對恒成立，即對恒成立，則，令，則，令，則，在上單調遞增，，，，使得，即，則當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點睛】方法點睛：求解本題恒成立問題的常用方法是能夠通過分離變量的方法將問題轉化為變量與函數(shù)最值之間的大小關系比較問題，即若恒成立，則；若恒成立，則.8．已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（1）當時，得到，求得，得出，且，結合直線的點斜式方程，即可求解.（2）把在轉化為在恒成立，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的額單調性，零點的存在定理得到在上遞減，在上遞增，從而求得，即可求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）（1）當時，可得，則，可得，且，即函數(shù)在點處的切線的斜率，所以切線方程為，即，函數(shù)在點處的切線方程.（2）由，因為在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得在上單調遞增，且，所以存在，使得，從而在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為在恒成立，所以，所以整數(shù)的最大值為.【點睛】對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設出導數(shù)的零點，難度較大.9．已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）先利用導數(shù)證明在上單調遞增，再結合零點存在定理，得證；（2）參變分離得，令，原問題轉化為求在上的最小值，結合（1）中結論和隱零點的思維，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，當時，，∴在上單調遞增，∵，，∴在區(qū)間內存在唯一的零點．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調遞增，且在區(qū)間內存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，，即，在上單調遞減，當時，，即，在上單調遞增，∴，∴，故整數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，以及不等式問題，考查轉化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于較難題．10．已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）若存在實數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增,當時，有極小值，無極大值.(2)1【分析】(1)求出，得到，從而可得在上單調遞增，且，得出函數(shù)的單的區(qū)間和極值.(2)由題意即存在實數(shù)，使得成立，設，即，求出函數(shù)的導數(shù)，得出其單調區(qū)間，結合隱零點的代換，可得答案.【詳解】（1）由，可得又恒成立，則在上單調遞增，且所以當時，，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，有極小值，無極大值.(2)存在實數(shù)，使得成立即存在實數(shù)，使得，即成立設，即，所以在上單調遞增.,所以存在，使得，即，也即所以當時，，單調遞減.當時，,單調遞增.所以當時，所以，由題意，所以整數(shù)的最小值為1.11．已知函數(shù).（1）若求的單調區(qū)間；（2）若恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）－1.【分析】（1）求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)a分類討論，即可求解；（2）由原不等式恒成立，分離參數(shù)可得，利用導數(shù)求的最小值即可求解.【詳解】（1）f（x）的定義域為，，①當－1＜a＜0時，，由，得0＜x＜1或，由，得，∴f（x）的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為（0，1）和；②當a＝－1時，在上恒成立，∴f（x）的單調增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當a＜－1時，，由，得或x＞1，由，得，∴f（x）的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為和；綜上所述，當a＜－1時，f（x）的單調減區(qū)間為，單調増區(qū)間為和；當a＝－1時，f（x）的單調增區(qū)間為，無減區(qū)間；當－1＜a＜0時，f（x）的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為（0，1）和.（2），故，設，則，設，則恒成立，∴h（x）在（0，＋∞）上單調遞增，∵h（1）＝－1＜0，，，使得，時，，從而，時，在上為減函數(shù)，時，，從而，時，在上為増函數(shù)，，把代入得：，令，則p（x）為增函數(shù)，，，，整數(shù)a的最大值為－1.【點睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構造函數(shù)：①構造函數(shù)，研究函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構造函數(shù)后，研究函數(shù)單調性，利用單調性解不等式，轉化之后參數(shù)分離即可解決問題.12．已知函數(shù)(且e為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當時，求的最小值；（2）若關于x的不等式，求整數(shù)b的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【分析】（1）由題設知定義域為，，若，利用導數(shù)研究的單調性并找到零點，根據(jù)的符號得到的符號，進而可知的區(qū)間單調性，即可求最小值.（2）由（1）知時，則，即有，構造應用導數(shù)研究單調性，進而確定的范圍，從而求整數(shù)b的最大值.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，由得：記，則當時，有恒成立，故在上恒成立，即在上單調遞增，又，∴有，即；時，即.∴在上單調遞減，在上單調遞增∴.（2）由（1）知：當時，，當且僅當時取等號；∴此時，有(當且僅當時取等號)，則，記，則∴當時，；當時，；即在上單調遞減，在上單調遞增.∴，即，又當時，，綜上，有，又b為整數(shù)，∴，即b的最大值為3.【點睛】關鍵點點睛：（1）構造中間函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性并找到零點，由區(qū)間函數(shù)值的符號判斷的單調性，進而求最值；（2）由（1）的結論得到，結合題設有，構造應用導數(shù)研究單調性，確定最小值的范圍，進而求參數(shù)的最大值.13．已知函數(shù).（1）當，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）當時，，得且，進而可得