第30講 整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)（解析版）

第30講整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)1．已知．（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可；（2）由可得，令，則，由關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，求出函數(shù)的最值，即可得解.（1）解：，，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以在，上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以若，即時(shí)，在，上無(wú)零點(diǎn)，若，即時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在，上無(wú)零點(diǎn)，綜上當(dāng)時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)；（2）解：由，即，即，則有，令，則，，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值問(wèn)題，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及同構(gòu)思想，難度較大.2．已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓡?wèn)中選擇一問(wèn)作答，答題前請(qǐng)標(biāo)好選擇.如果多寫(xiě)按第一個(gè)計(jì)分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）選擇①時(shí)，；選擇②時(shí)，【分析】（1）把代入，然后對(duì)求定義域，求導(dǎo)，利用求出求的值，觀察出是個(gè)增函數(shù)進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)進(jìn)行同構(gòu)變形，然后構(gòu)造新函數(shù)求的取值范圍（1）定義域?yàn)?，，在處取得極值，則，所以，此時(shí)，可以看出是個(gè)增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）①選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因?yàn)楹愠闪?，所以單調(diào)遞增，所以所以，令，.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，，故1，解得：故當(dāng)時(shí)，恒成立.②選擇若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)根，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因?yàn)楹愠闪ⅲ詥握{(diào)遞增，所以=所以只需有兩個(gè)根，令，.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，，要想有兩個(gè)根，只需，解得：，所以的取值范圍為【點(diǎn)睛】同構(gòu)變形是一種處理含有參數(shù)的函數(shù)常用方法，特別是指對(duì)同構(gòu)，對(duì)不能參變分離的函數(shù)可以達(dá)到化簡(jiǎn)后可以參變分離的效果，非常的好用3．已知函數(shù).（1）選擇下列兩個(gè)條件之一：①；②；判斷在區(qū)間是否存在極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）已知，設(shè)函數(shù)若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，則，由于在上單調(diào)遞增，且，從而可求出求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出的最小值非負(fù)，則無(wú)極值；若選擇②，則，由在上單調(diào)遞增，且，可得的單調(diào)區(qū)間，從而得其最小值小于0，進(jìn)而可判斷函數(shù)的極值，（2）令，則可得，令，即轉(zhuǎn)化為有解，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可得由唯一零點(diǎn)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域可得的范圍，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：（1）若選擇①，則，由在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，有，則在上單調(diào)遞增，不存在極小值點(diǎn).若選擇②，則，由在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，有，而，所以存在極小值點(diǎn).（2）令，有，又，所以，令，即轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則由可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以由唯一零點(diǎn).若在區(qū)間存在零點(diǎn)，即為在有解.整理得：，設(shè)，由知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，所以，故有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是由可得，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有解，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)討論其解的情況即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題4．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在恒成立，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，即在恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍；（2）依題意可得在無(wú)實(shí)根，即：在無(wú)實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得解；【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以在恒成立，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，即在恒成立，設(shè)，所以在遞減，所以，所以；（2）在無(wú)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在無(wú)實(shí)根，亦即在無(wú)實(shí)根，因?yàn)樵跒閱握{(diào)增函數(shù)，原方程無(wú)零點(diǎn)等價(jià)于在無(wú)實(shí)根，即：在無(wú)實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．5．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得結(jié)果.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得()有兩個(gè)解，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，顯然在單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，設(shè)，則，單調(diào)遞增，∴()有兩個(gè)解，即()有兩個(gè)解.令()，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，且所以當(dāng)時(shí)，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：有兩個(gè)解，根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.6．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（3）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）y＝－1；（2）見(jiàn)解析；（3）3﹒【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，以及不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，可知，解不等式可知無(wú)滿足題意的值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.（2），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點(diǎn)，則，即，解得：（舍）；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，由得：，在上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需，即；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問(wèn)題的常用方法是能夠通過(guò)分離變量的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問(wèn)題，即若恒成立，則；若恒成立，則.8．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（1）當(dāng)時(shí)，得到，求得，得出，且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（2）把在轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的額單調(diào)性，零點(diǎn)的存在定理得到在上遞減，在上遞增，從而求得，即可求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）（1）當(dāng)時(shí)，可得，則，可得，且，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為，即，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.（2）由，因?yàn)樵诤愠闪?，即在恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵诤愠闪?，所以，所以整?shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.9．已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；（2）參變分離得，令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合（1）中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故整數(shù)的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，以及不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于較難題．10．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.(2)1【分析】(1)求出，得到，從而可得在上單調(diào)遞增，且，得出函數(shù)的單的區(qū)間和極值.(2)由題意即存在實(shí)數(shù)，使得成立，設(shè)，即，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，結(jié)合隱零點(diǎn)的代換，可得答案.【詳解】（1）由，可得又恒成立，則在上單調(diào)遞增，且所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.(2)存在實(shí)數(shù)，使得成立即存在實(shí)數(shù)，使得，即成立設(shè)，即，所以在上單調(diào)遞增.,所以存在，使得，即，也即所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，所以，由題意，所以整數(shù)的最小值為1.11．已知函數(shù).（1）若求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）－1.【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a分類討論，即可求解；（2）由原不等式恒成立，分離參數(shù)可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.【詳解】（1）f（x）的定義域?yàn)?，，①?dāng)－1＜a＜0時(shí)，，由，得0＜x＜1或，由，得，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和；②當(dāng)a＝－1時(shí)，在上恒成立，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；③當(dāng)a＜－1時(shí)，，由，得或x＞1，由，得，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；綜上所述，當(dāng)a＜－1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)増區(qū)間為和；當(dāng)a＝－1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和.（2），故，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，∴h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，∵h(yuǎn)（1）＝－1＜0，，，使得，時(shí)，，從而，時(shí)，在上為減函數(shù)，時(shí)，，從而，時(shí)，在上為増函數(shù)，，把代入得：，令，則p（x）為增函數(shù)，，，，整數(shù)a的最大值為－1.【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問(wèn)題.12．已知函數(shù)(且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式，求整數(shù)b的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【分析】（1）由題設(shè)知定義域?yàn)?，，若，利用?dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并找到零點(diǎn)，根據(jù)的符號(hào)得到的符號(hào)，進(jìn)而可知的區(qū)間單調(diào)性，即可求最小值.（2）由（1）知時(shí)，則，即有，構(gòu)造應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定的范圍，從而求整數(shù)b的最大值.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，由得：記，則當(dāng)時(shí)，有恒成立，故在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，∴有，即；時(shí)，即.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；∴此時(shí)，有(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，則，記，則∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，即，又當(dāng)時(shí)，，綜上，有，又b為整數(shù)，∴，即b的最大值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）構(gòu)造中間函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并找到零點(diǎn)，由區(qū)間函數(shù)值的符號(hào)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求最值；（2）由（1）的結(jié)論得到，結(jié)合題設(shè)有，構(gòu)造應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，確定最小值的范圍，進(jìn)而求參數(shù)的最大值.13．已知函數(shù).（1）當(dāng)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，得且，進(jìn)而可得