運(yùn)用二倍角公式解題的六技巧

運(yùn)用二倍角公式解題的五技巧二倍角公式變化多姿，在求值以及恒等變換中應(yīng)用很廣。若熟練掌握二倍角公式以及變通公式并能靈活運(yùn)用，則往往能出奇制勝，獲得新穎別致的解法。一、二倍角公式的直接運(yùn)用例1例1若sina+cosa0<a<兀，求sin2a+cos2a的值。分析：由條件式兩邊平方，可求得sin2a的值。注意到cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)，還需求cosa-sina的值，于是先求(cosa-sina)2=(sina+cosa)2-4sinacosa的值，然后開方，從而要進(jìn)一步界定a的范圍。TOC\o"1-5"\h\z1 1 4解：由sina+cosa=—兩邊平方得1+2sinacosa=-，所以sinacosa=-o又3 9 90va0vav兀，所以sina>0，cosa<0，所以a為鈍角。所以sin2a=2sinacosacosa-cosa-sina=-J(sina+cosa)2-2sin2a所以1 J17 J17cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina)=3x(-—)=-—9—sin2a+cos2a=-^評(píng)。點(diǎn)評(píng)：挖掘隱含得到a為鈍角是解題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)o注意導(dǎo)出公式1土sin2a=(sina土cosa)2o二、二倍角公式的逆用兀 兀例2求tan-cot的值。88解：兀 兀tan—cot解：兀 兀tan—cot—8 8.兀sin8兀cos—兀 .兀 兀 兀cos Sin2 -cos2 -cos—8= 8 8= 4=-2cot1=-2O.兀 兀.兀 1 .兀 4sin— cos—sin sin—8 8 8 8 2 4點(diǎn)評(píng)：本題通分后逆用正弦與余弦的二倍角公式，從而轉(zhuǎn)化為特殊角函數(shù)的求值問(wèn)題三、二倍角公式的連用例3求cos12°cos24cos48cos96°的值.分析：24°=2x12°，48。=2x24。，96=2x48。，聯(lián)想二倍角的正弦公式sin2a=2sinacosa，若逐步逆用將是一條通途．解：cos12°cos24°cos48°cos96°=解：cos12°cos24°cos48°cos96°=sin12°cos12°cos24°cos48°cos96°sin12°sinl92° -sinl2° 116sinl2°一16sinl2°一—憶點(diǎn)評(píng)：對(duì)形如cosacos2acos4a…cos2n-1a的求值問(wèn)題可考慮此法?若逆用誘導(dǎo)公./兀、 兀 2兀 4兀 .兀.3兀.5兀式sin(—±a)=cosa可知coscoscos=-sinsinsin ，即對(duì)于正弦之2 7 7 7 14 14 14積或正弦余弦混合積的求值問(wèn)題先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為余弦之積的形式利用此法求解．四、整體配對(duì)使用二倍角公式例4?求值：sin6°sin42。sin66。sin78°分析：本題可按例2的點(diǎn)評(píng)部分所說(shuō)的方法處理，這里介紹整體構(gòu)造法.

解：設(shè)A=sin6°sin42。sin66。sin78。，構(gòu)造B=cos6。cos42。cos66。cos78。則AB=—sin12°sin84°sin132°sin156°=—cos78°cos6°cos42°cos66°1616=—B，因?yàn)锽豐0，所以A=—，即sin6°sin42。sin66°sin78°=—.161616點(diǎn)評(píng)：將已知式視為一個(gè)整體，然后構(gòu)造一個(gè)與之對(duì)稱的對(duì)偶式，通過(guò)聯(lián)立這兩個(gè)式子求得原問(wèn)題的解即為整體構(gòu)造法.本題的值可求出，實(shí)質(zhì)上是sin6°sin42°sin66°sin78°=cos84°cos48°cos24°cos12°=一cos12°cos24°cos48°cos96°.(女口將sin2(女口將sin2a=2sinacosa變?yōu)閟in2a sin2a弦公式變形得到升冪公式sina= ，cosa= ；二倍角余弦公式變形得到升冪公式2cosa 2sinacos2acos2a=2cos2a—1=1—2sin2a或得至ij降1—cos2a幕公式sin2a= 或1+cos2acos2a= 2 ；和與誘導(dǎo)公式等結(jié)合的綜合變用(如導(dǎo)出萬(wàn)能公式和半角公式等).例5求值：cos25°+cos210°—2cos5°cosl0°cosl5°b亠1+cosl0° 1+cos20o_ °。解：原式= + —2cos5cos10cos1522=1+丄(cos10°+cos20°)—(cosl5°+cos5°)cosl5°2=1+cosl5°cos5°-cos215°-cos5°cosl5°=1—cos215°41+cos30° 2-爲(wèi)=1—=——2 4六、整體思考運(yùn)用二倍角公式兀誘導(dǎo)公式與二倍角公式結(jié)合可以導(dǎo)出：cos2a=sin2(a+〒)4TOC\o"1-5"\h\z兀 兀 兀 兀 兀=2sin(a+一)cos(a+一)，cos2a=sin2(—a)=2sin(—a)cos(—a)o4 4 4 4 4兀 .兀 5 cos2x例6.已知xu(0,)，且sin(丁一x)=，求 的值.4 4 13 cos(l+x).兀 5 . 兀分析：若由sin（——x）=13展開后與sin2x+cos2x=1聯(lián)立并結(jié)合x&（o,—）是可以. 兀求出sinx和cos■但這樣求解運(yùn)算量是非常大的且容易出錯(cuò).應(yīng)將--x視為一個(gè)整體進(jìn):1:1—sin2( —x)I 45 12_120兀 兀 兀 兀解：因?yàn)閤&(o,才)，所以(才—x)&(o,才)，所以cos(4—x)=兀 兀 兀=一所以cos2x=sin(——2x)=2sin(——x)cos(——x)=2x一x一2 4 4 1313 169cos(+x)=cos[—(——x)]=sin(——x)=-4 2 4 4 13

1201324故原式=而xJ=13°點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用整體思想的條件下，要立足一個(gè)“變”字，善變則活．一是角的拆變，是通過(guò)誘導(dǎo)公式實(shí)現(xiàn)角的變換而得到統(tǒng)一.要觀察到(罟—x)+(4+x)=弓，2(4-x)=2-2x而想到利用誘導(dǎo)公式和倍角公式.冗例7.設(shè)sin2a=a,cos2a=b，求tan(—+a).4兀 c/兀 、兀c分析：要把丁+a視為一個(gè)整體，并注意到2(+a)= +2a,需要利用誘導(dǎo)公式4 4 2來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．解：由sin2a=—+2