新教材北師大版數(shù)學(xué)學(xué)案第2章66-1第4課時(shí)余弦定理與正弦定理的應(yīng)用

第4課時(shí)余弦定理與正弦定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．掌握測(cè)量距離、高度、角度等問題中正、余弦定理的應(yīng)用．(重點(diǎn))2．了解測(cè)量的方法和意義．(難點(diǎn))3．提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．(難點(diǎn))通過余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．已知A，B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測(cè)得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問題：?jiǎn)栴}1：試畫出符合題意的示意圖．問題2：若要求山高CD，怎樣求解？知識(shí)點(diǎn)實(shí)際問題中的有關(guān)術(shù)語率名稱定義圖示仰角與俯角在視線和水平線所成角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角，如圖，B點(diǎn)的方位角為α方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.如圖，∠ABC為北偏東60°或東偏北30°1.方位角的范圍是什么？[提示][0°，360°)2．若點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東60°，那么點(diǎn)A在點(diǎn)B的哪個(gè)方向？[提示]南偏西60°.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)俯角是鉛垂線與視線所成角，其范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). ()(2)在O點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A在其北偏西30°，則在O點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A的方位角是30°. ()(3)方位角與方向角的實(shí)質(zhì)一樣，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系． ()[答案](1)×(2)×(3)√類型1測(cè)量距離問題【例1】某基地進(jìn)行實(shí)兵對(duì)抗演習(xí)，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，從相距eq\f(\r(3),2)akm的軍事基地C和D處測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)).[解]∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°.∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，得BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(sin105°,sin45°)＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋(eq\f(3＋\r(3),4)a)2－2·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)km.故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為eq\f(\r(6),4)akm.測(cè)量距離的基本類型及方案類型A，B兩點(diǎn)間不可通或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)圖形方法先測(cè)角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點(diǎn)A不可達(dá)為例，先測(cè)角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測(cè)得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求ABeq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)海上A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里(2)如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120m，則河的寬度是________(1)D(2)30eq\r(3)[(1)如圖所示，根據(jù)題意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里).故選D.(2)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan60°＝eq\f(CD,DB)，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan60°，∴AD＝90，故CD＝30eq\r(3).]類型2測(cè)量高度問題【例2】如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，所以塔高AB＝200米．1.本題與立體幾何有關(guān)，解決的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出空間圖形．2.準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角等，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)求解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于(參考數(shù)據(jù)：cos15°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4))()(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)mC[由題意得∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝30°，作AD⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)D，在直角△ACD中，AC＝eq\f(AD,sin∠C)＝eq\f(60,sin30°)＝120，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(AC×sin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120sin45°,cos15°)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1).]類型3測(cè)量角度問題【例3】如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30結(jié)合圖形將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，應(yīng)用正、余弦定理求解．[解]設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD＝10eq\r(3)t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)海里．又∵eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6)，∴t＝eq\f(\r(6),10)小時(shí)≈15分鐘．∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．1．假設(shè)在例3中，緝私船以最快的速度截獲走私船(在D點(diǎn))，把走私船帶到海岸A處進(jìn)行處理，求∠ADB的正弦值．[解]由例3解答可知CD＝3eq\r(2)，CB＝BD＝eq\r(6)，∠CBD＝120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，故∠ACB＝15°，則∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos45°＝4＋18－2×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，故AD＝eq\r(10)，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(\r(10),sin165°)＝eq\f(\r(3)－1,sin∠ADB)，解得sin∠ADB＝eq\f(2\r(5)－\r(15),10).2．把例3中條件“走私船正以10海里/時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄”改為“走私船正以15海里/時(shí)的速度，從B處向正北方向逃竄”，則例3的結(jié)果應(yīng)是什么？[解]由例3的解答可知BC＝eq\r(6)，設(shè)緝私船沿CD方向，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船(如圖所示)，由題意知△CBD是直角三角形，且CD＝10eq\r(3)t，BD＝15t，所以sin∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(15t,10\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)，故∠BCD＝60°，10eq\r(3)tcos60°＝eq\r(6)，所以t＝eq\f(\r(2),5)(小時(shí)).所以緝私船應(yīng)沿北偏東30°的方向行駛，才能最快截獲走私船，需要eq\f(\r(2),5)小時(shí)．1.理解題意，作出正確的示意圖是解決本題的關(guān)鍵．，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，首先是明確題意，根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)10eq\r(2)海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且eq\r(3)＋1小時(shí)后開始持續(xù)影響基地2小時(shí)．求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向．[解]如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B，C，D在同一直線上，且AD＝20，AC＝20.由題意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)×10eq\r(2).在△ADC中，因?yàn)镈C2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).所以∠BAC＝30°，又因?yàn)锽位于A南偏東60°，且60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向，又因?yàn)椤螦DC＝45°，所以臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)楸逼?5°.1．若P在Q的北偏東44°50′方向上，則Q在P的()A．東偏北45°10′方向上 B．東偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上C[如圖所示．]2.如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，由此可以計(jì)算出A，BA．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)mA[由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又∵B＝30°，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m).]3．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是_______m，20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)[甲樓的高為20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(m)；乙樓的高為：20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(m).]4．一船以每小時(shí)15km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°，這時(shí)船與燈