第一章章末復(fù)習(xí)課高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

章末復(fù)習(xí)課第一章

空間向量與立體幾何隨堂演練一、空間向量的概念及運(yùn)算二、利用空間向量證明位置關(guān)系三、利用空間向量計(jì)算距離內(nèi)容索引四、利用空間向量求空間角知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、空間向量的概念及運(yùn)算1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法則和平行四邊形法則，減法的幾何意義，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ).2.向量的運(yùn)算過程較為繁雜，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是√√又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，反思感悟空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，跟蹤訓(xùn)練1

(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，二、利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明.2.將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.證明以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.例2

在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：BM∥平面PAD；假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD.從而MN⊥BD，MN⊥PB，使MN⊥平面PBD.(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.反思感悟利用空間向量證明或求解立體幾何問題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證).跟蹤訓(xùn)練2

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；證明在直三棱柱ABC－A1B1C1

中，因?yàn)锳C＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(2)請(qǐng)說明在AB上是否存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1.解假設(shè)在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).三、利用空間向量計(jì)算距離1.空間距離的計(jì)算思路(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量

在直線l上的投影向量為

則點(diǎn)P到直線l的距離為

(如圖).(2)設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為

(如圖).2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例3

在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長(zhǎng)AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離.解如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，反思感悟利用向量法求點(diǎn)面距，只需求出平面的一個(gè)法向量和該點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線表示的向量，代入公式求解即可.跟蹤訓(xùn)練3

已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若點(diǎn)P滿足

則點(diǎn)P到直線AB的距離為解析以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AA1

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，√四、利用空間向量求空間角1.空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m，n〉|.2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例4如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝

點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.試用向量方法解決下列問題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；∴直線AF和BE所成的角為90°.(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值.解設(shè)平面BEC的法向量為n＝(x，y，z)，反思感悟(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會(huì)容易求得解題時(shí)需要的坐標(biāo).(2)直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量.跟蹤訓(xùn)練4

如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(1)求證：GF∥平面ADE；證明方法一如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，又F是CD的中點(diǎn)，由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.方法二

如圖，取AB的點(diǎn)M，連接MG，MF.由G是BE的中點(diǎn)，可知GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC夾角的余弦值.解方法一如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點(diǎn)作BQ∥EC.因?yàn)锽E⊥CE，所以BQ⊥BE.又因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B為原點(diǎn)，分別以BE，BQ，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1).設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量.取z＝2，得n＝(2，－1,2).方法二

同方法一.隨堂演練√1234解析連接BD，如圖，12342.若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則A.l1∥l2

B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能確定√1234解析∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l(xiāng)1⊥l2.3.在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，點(diǎn)E在棱AD上，且AE＝2ED，則異面直線BE與CD所成角的余弦值為√1234解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，得A(0,0,2)，B(0,0,0)，C(0,4,0)，D(－3,4,0)，1234設(shè)異面直線CD與BE所成角為θ，4.四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝1，AB＝3，G是△ABC的重心，則PG與平