相似三角形最全講義(教師版)

相似三角形基本知識知識點一：放縮與相似形圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：=1\*GB2⑴相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關。=2\*GB2⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。=3\*GB2⑶我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的．=4\*GB2⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的長度的比值是1.知識點二：比例線段有關概念及性質（1）有關概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:b＝b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位）（2）比例性質1.基本性質:（兩外項的積等于兩內項積）2.反比性質：(把比的前項、后項交換)3.更比性質(交換比例的內項或外項)：4.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）．注意：實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：．5.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么．注意：(1)此性質的證明運用了“設法”，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法．(2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立．知識點三：黃金分割定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.★★★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.用符號語言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.知識點三：相似三角形相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4）判定：①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。②三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。補充一：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）.補充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。相似三角形的性質①相似三角形對應角相等、對應邊成比例.②相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比).③相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.相似的應用：位似1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個位似圖形的位似中心只有一個。③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側。④位似比就是相似比。2）性質：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質。②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離等于位似比（相似比）。③每對位似對應點與位似中心共線，不經過位似中心的對應線段平行。鞏固練習：典型例題例1、.弦AB和CD相交于⊙o內一點P,求證:PA·PB=PC·PD例2：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F求證：△ABF∽△CAF例3、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D，若AB=6；AD=2；則AC=；BD=；BC=；例4、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D，若E是BC中點，ED的延長線交BA的延長線于F，求證：AB:AC=DF:BFABDABDC針對性練習1、判斷①所有的等腰三角形都相似．（）②所有的直角三角形都相似．（）③所有的等邊三角形都相似．（）④所有的等腰直角三角形都相似．（）2、Ｒt△ABC的斜邊AB上有一動點Ｐ（不與點A、B重合），過Ｐ點作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，則滿足這樣條件的直線共有多少條，請你畫出來。3.如果兩個相似三角形的面積之比為1:9,則它們對應邊的比為；對應高的比為。周長的比為。4.如果兩個相似三角形的面積之比為2:7,較大三角形一邊上的高為，則較小三角形對應邊上的高為。10.如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點P時，發(fā)現他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個路燈的高度都是9.6m，設AP=x(m)。

(1)求兩路燈之間的距離；

(2)當小華走到路燈B時，他在路燈下的影子是多少？常見的相似三角形小結：二、鞏固練習：1、有一張比例尺為14000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長是60cm，面積是250cm2，則這個地區(qū)的實際周長是m，面積是m2有一個三角形的邊長為3，4，5，另一個和它相似的三角形的最小邊長為7，則另一個三角形的周長為，面積是。3、兩個相似三角形的對應角平分線的長分別為10cm和20cm，若它們的周長的差是60cm，則較大的三角形的周長是，若它們的面積之和為260cm24、照相機鏡頭的取景框長16毫米。為了風景照的視覺效果最好，人像應在取景框長的黃金分割點處。如圖，要拍左側的風景，人站在右側，則人像應距左邊框_____毫米。5、如圖，若ΔABC的中線AD和中線BE交于點G，ΔABG的面積如圖，若ΔABC的中線AD和中線BE交于點G，ΔABG的面積為4，ΔABC的面積為______。6、如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,則矩形的面積是。下列各組的兩個圖形，一定相似的是（）兩條對角線分別對應成比例的兩個平行四邊形；B、有一個角對應相等的兩個菱形；等腰梯形的中位線把它分成的兩個等腰梯形；D、對應邊成比例的兩個多邊形。9、如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AE交BC于點E，交BD于點F，且BE2=EF·EA。求證：AB2=BF·BD。10、如圖，在△ABC中，已知EF∥AC，D是BC上一點，連接AD，則△ABD與△BEF的面積相等。求證：BE2=BD·BC。11、如圖，由邊長為1的25個小正方形組成的正方形網格BBCA上有一個△ABC；在網格上畫出一個與△ABC相似且面積最大的△A1B1C1求△A1B1C1三、課后練習1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比為k(k≠1)，則k的值是（）A．∠A：∠A′B．A′B′：ABC．∠B：∠B′D．BC：B′C′2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，則∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°3、三角形三邊之比3：5：7，與它相似的三角形最長邊是21cm，另兩邊之和是（）A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm4、如圖AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形的對數為（）A．1對B．2對C．3對D．4對5、△ABC∽△A1B1C1，相似比為2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比為5：4，則△ABC與△A2B2C2的相似比為（）A．B．C．D．6、在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實際距離是（）A．200cmB．200dmC．200mD．200km7、已知線段a=10，線段b是線段a上黃金分割的較長部分，則線段b的長是（）A．B．C．D．8、若則下列各式中不正確的是（）A．B．C．D．9、已知△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，則下列式子正確的是（）A．B．C．D．10、如圖：在△ABC中，DE∥AC，則DE：AC=（）A．8：3B．3：8C．8：5D．5：811、計算（1）若求的值.（2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值.12、在等邊△ABC中，P是BC上一點，AP的垂直平分線分別交AB、AC于M、N，求證：△MBP∽△PCN.相似三角形經典大題解析1.如圖，已知直線與直線相交于點分別交軸于兩點．矩形的頂點分別在直線上，頂點都在軸上，且點與點重合．（1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長；（3）若矩形從原點出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求關于的函數關系式，并寫出相應的的取值范圍．AADBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得點坐標為由得點坐標為∴由解得∴點的坐標為∴（2）解：∵點在上且∴點坐標為又∵點在上且∴點坐標為∴（3）解法一：當時，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時，為四邊形）．過作于，則AADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM∴即∴∴即 當時，如圖2，為梯形面積，∵G（8－t,0）∴GR=,∴當時，如圖3,為三角形面積，2．如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．（1）若厘米，秒，則______厘米；（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；DQCPNBMADQCPDQCPNBMADQCPNBMA【答案】解：（1），（2），使，相似比為（3），，即，當梯形與梯形的面積相等，即化簡得，，，則，（4）時梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以．所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．3.如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；（3）作QR//BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？【答案】解：(1)△BPQ是等邊三角形,當t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因為∠B=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因為QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因為∠C=600,所以△QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因為∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因為△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當t=時,△APR～△PRQ4．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝3eq\r(5)．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．（1）求點B的坐標；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一個點N．使