第十七講數(shù)列求和解析版

第十七講：數(shù)列求和【考點(diǎn)梳理】公式法：等差、等比數(shù)列直接用求和公式求解.2.分組求和：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．3.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．4.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．【典型題型講解】考點(diǎn)一：公式法【典例例題】例1.已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項(xiàng)公式為．（2）由得，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．．【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．【變式訓(xùn)練】1.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列，與的等差中項(xiàng)為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)從中依次取出第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)，按照原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，與的等差中項(xiàng)為，，解得：；，，；(2)由（1）得：，即，.考點(diǎn)二：分組求和【典例例題】例1．（2022·廣東惠州·二模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】．(1)；(2)．(1)設(shè)的公比為（），因?yàn)?，且，，成等差?shù)列，所以，即，解得，所以；(2)由（1），．【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，重新分組找可求和數(shù)列【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，(1)證明：(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】．(1)證明見解析(2)（1）解：由題可知，當(dāng)時(shí)，解得，所以又因?yàn)?，將其與兩式相減得：，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，上式也成立，綜上，.（2）解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，有，，，…，累加得又滿足上式，所以n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為大于2的偶數(shù)時(shí)，有，，，…，累加得，滿足上式，又，綜上可知.2．（2022·廣東·二模）已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前15項(xiàng)和．【答案】(1)(2)92（1）設(shè)的公比為q，則由，得．整理得．又，得．聯(lián)立得，消去，得．解得或．又因?yàn)闉檫f增等比數(shù)列，所以，．所以．（2）（方法一）當(dāng)時(shí)，，則，，同理，列舉得，，，，，，，．記的前n項(xiàng)和為，則．所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為92．（方法二）由，得，記的前n項(xiàng)和為，則．所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為92．3.已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，.所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為.考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和【典例例題】例1.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴例2．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．從①

②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.【解析】(1)①，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即又，∴數(shù)列是從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，．．(2)若選擇①：，．若選擇②，則③，④，③-④得，．【方法技巧與總結(jié)】1.等差型（1）（2）（3）（4）2.指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)等差數(shù)列中，，解得，因，，成等比數(shù)列，即，設(shè)的公差為d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，，所以.2.記是公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【解析】(1)由題意知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，解得又，可得，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)和公差為1的等差數(shù)列，所以，(2)由（1）可知，設(shè)數(shù)列的前和為，則，所以所以數(shù)列的前20和為3.已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.【解析】(1)正項(xiàng)數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以.(2)因?yàn)樗?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由{}遞增，得，所以的最小值為.4.已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，解得；當(dāng)時(shí)，把代入題設(shè)條件得:，即，很顯然是首項(xiàng)為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，∴；(2)由（1）知是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，．故數(shù)列的前項(xiàng)和為：.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【解析】(1)證明：當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)的等比數(shù)列(2)由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴(2)∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和7.已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，得，得，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，，所以等比?shù)列的公比，所以.(2)，所以.8.等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡(jiǎn)得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減【典例例題】例1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；(2)由得，所以，，兩式相減，得，，所以.【方法技巧與總結(jié)】【變式訓(xùn)練】1.若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①-②得：所以2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以3.已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)解：等差數(shù)列{}中，設(shè)公差為d，則數(shù)列{}中的前n項(xiàng)和為，且①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②②－①得：故數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.(2)解：數(shù)列{}中，.則所以故所以∵對(duì)恒成立．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【鞏固練習(xí)】一、單選題1．?dāng)?shù)列的前2022項(xiàng)和等于（

）A． B．2022 C． D．2019【答案】B【解析】解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以.故選：B2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【解析】解：因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，所以，所以，所以；故選：D3．已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以，則，，所以故選：B4．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?所以前5項(xiàng)和為故選：D二、多選題5．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】BD【解析】數(shù)列中的項(xiàng)為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，數(shù)列中的項(xiàng)為2，4，8，16，32，64，128，…，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，∴；∴，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，兩式相減：，∴.故選：BD三、填空題6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，，故答案為：3307．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則_________.【答案】960【解析】由，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.四、解答題8．已知數(shù)列，滿足，，且，．(1)若為等比數(shù)列，求值；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)由題∵為等比數(shù)列，設(shè)公比為q則∴，∴，即，解得或當(dāng)時(shí)，，即又，∴成以3為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，即又，∴成以3為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列綜上：或(2)由（1）得，∴∴9．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)樗?/p>

所以所以

所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.(2)由（1）易得：

因?yàn)樗运?0．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．【解析】(1)設(shè)數(shù)列為公差為，，，∴∴∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)，則，，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，此時(shí).所以，，故11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且成等