10.1 隨機事件與概率(教師版)

概率1隨機事件與概率①有限樣本空間與隨機事件(1)我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示，我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為E試驗的樣本空間.用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點.如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果結(jié)果ω1,ω2,…,(2)樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件成為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.②各種事件必然事件，不可能事件，隨機事件.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.1“3件都是二級品”2“3件都是一級品”(3)“至少有一件是一級品”是什么事件？解：(1)因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發(fā)生的，故是不可能事件.(2)“3件都是一級品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機事件.(3)“至少有一件是一級品”是必然事件，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有一級品.③事件的關(guān)系和運算一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件A包含于事件B，記作A?B；一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B或一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，我們稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作A∩B或一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是A∩B是一個不可能事件，即A∩B=?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容).一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B=Ω且A∩B=?，則稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為A④古典概型(1)古典概型的特點有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.(2)古典概型事件A的概率P(A)=⑤概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意事件A，都有P性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0；性質(zhì)3若事件A與事件B互斥時，則P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4若事件A與事件B對立事件，則P性質(zhì)5如果A?B,那么P性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P【題型一】對各種事件、事件的關(guān)系和運算的理解【典題1】從5位男生和2位女生共7位同學中任意選派3人，屬必然事件的是()A．3位都是女生 B．至少有1位是女生C．3位都不是女生 D．至少有1位是男生【解析】由于從5位男生和2位女生共7位同學中任意選派3人，有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三種情況故A為不可能事件，B，C為隨機事件，D為必然事件．故答案為D【典題2】從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取2球，下列情況中是互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個紅球；至少有一個白球B．恰有一個紅球；都是白球C．至少有一個紅球；都是白球D．至多有一個紅球；都是紅球【解析】對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取2個球還有都是紅球的情形，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件.【點撥】對立事件是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.【典題3】如果事件A，B互斥，記A,B分別為事件A，B的對立事件，那么(A．A∪B是必然事件 B.A?C.A與B一定互斥 D.A與B一定不互斥【解析】用Venn圖解決此類問題較為直觀．如右圖所示，A?B是必然事件，故選B.【點撥】利用集合的關(guān)系看事件之間的關(guān)系會更直觀.【題型二】求古典概型【典題1】先后投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)記作(m,n)，設(shè)X=m+n．(1)求m=n的概率；(2)試列舉出X≤6的所有可能的結(jié)果;(3)求X≤3或X>【解析】(Ⅰ)先后投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)情況有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36種可能結(jié)果，而m=n有6結(jié)果，為(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，(也可以使用樹狀圖)所以P(m=n)=6(Ⅱ)X≤6的所有可能的結(jié)果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),共有15種情況，(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，X≤3的所有可能的結(jié)果有3種，為(1,1)、X>6的所有可能的結(jié)果有36-21=15，p(X≤3【點撥】根據(jù)古典概型事件A的概率P(A)=事件A的樣本點個數(shù)樣本空間【典題2】任取三個整數(shù)，至少有一個數(shù)為偶數(shù)的概率為.【解析】方法一任取三個整數(shù)，共有八種情況：其中至少有一個數(shù)為偶數(shù)的情況有7種，所以所求概率為78方法二任取三個整數(shù)，共有八種情況，設(shè)“都是奇數(shù)”為事件A，“至少有一個數(shù)為偶數(shù)”事件B，而事件A,B是對立事件，PA=1【點撥】①因為是取三個整數(shù)，列樹狀圖時有3列.②方法一從正面入手，方法二從反面切入，往后題目中出現(xiàn)“至少”，“至多”等字眼，都可以從反面進行思考?！镜漕}3】一個正方體，它的表面涂滿了紅色．在它的每個面上切兩刀可得27個小立方塊，從中任取兩個，其中恰有1個一面涂有紅色，1個兩面涂有紅色的概率為.【解析】根據(jù)題意，分析可得：在分割下來的27個完全相等的小正方體中，有6個只有一面有紅色，有12個兩面有紅色，8塊有3面紅色，而還有一個沒有紅色；則從中任取2個，其中1個恰有一面涂有紅色，另1個恰有兩面涂有紅色的情況有12×6種；而從27塊中任取兩塊，有27×26種情況；則從中任取2個，其中1個恰有一面涂有紅色，另1個恰有兩面涂有紅色的概率為12×627×26=8【典題4】數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、【解析】三位數(shù)的回文數(shù)為ABA，A共有1到9共9種可能，即1B1、B共有0到9共10種可能，即A0A、A1A共有9×10=90個，其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有0到9共10種可能，即A0A、A1A其有4×10=40個，∴三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率P=40【題型二】概率的基本性質(zhì)【典題1】有一個公用電話亭，里面有一部電話，在觀察使用這部電話的人的流量時，設(shè)在某一時刻，有n個人正在使用電話或等待使用的概率為P(n)，且P(n)與時刻t無關(guān)，統(tǒng)計得到P(【解析】由題意知：本公用電話亭每次不超過7人正在使用電話或等待使用，∴“有0、1、2、3、4、5、6個人正在使用電話或等待使用”是必然事件，∴隨機變量n的值可取0，1，2，3，4，5，6，即p∴p(∴p(0)=故答案為：64127【典題2】袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是13，得到黑球或黃球的概率是512，得到黃球或綠球的概率也是【解析】從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A,B,C,D，則P(A)=1P(C∪D)=P(C)+P(D)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-解P(B)+P(C)=512P(C)+P(D)=即得到黑球，得到黃球，得到綠球的概率分別為1鞏固練習1(★)將一根長為a的鐵絲隨意截成三段，構(gòu)成一個三角形，此事件是()A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．不能判定【答案】C【解析】將一根長為a的鐵絲隨意截成三段，構(gòu)成一個三角形，這個事件是可能發(fā)生的事件，但不是必然事件．所以事件是隨機事件．故答案選擇C．2(★)在1，2，3，…，10這10個數(shù)字中，任取3個數(shù)字，那么“這三個數(shù)字的和大于6”這一事件是()A．必然事件 B．不可能事件C．隨機事件 D．以上選項均不正確【答案】C【解析】從10個數(shù)字中取3個數(shù)字，這三個數(shù)字的和可能等于6，也可能大于6，∴是否大于6，需要取出數(shù)字才知道，∴這三個數(shù)字的和大于6”這一事件是隨機事件，故選C．3(★)下列每對事件是互斥事件的個數(shù)是()(1)將一枚均勻的硬幣拋2次，記事件A：兩次出現(xiàn)正面；事件B：只有一次出現(xiàn)正面(2)某人射擊一次，記事件A：中靶，事件B：射中9環(huán)(3)某人射擊一次，記事件A：射中環(huán)數(shù)大于5；事件B：射中環(huán)數(shù)小于5．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】(1)將一枚均勻的硬幣拋2次，記事件A：兩次出現(xiàn)正面；事件B：只有一次出現(xiàn)正面，事件A,B不可能同時發(fā)生，故是互斥事件；(2)某人射擊一次，記事件A：中靶，事件B：射中9環(huán)，事件A,B可能同時發(fā)生，故不是互斥事件(3)某人射擊一次，記事件A：射中環(huán)數(shù)大于5；事件B：射中環(huán)數(shù)小于5，事件A,B不可能同時發(fā)生，故是互斥事件．故選C．4(★)袋中有白球2個，紅球3個，從中任取兩個，則互斥且不對立的兩個事件是()A．至少有一個白球；都是白球 B．兩個白球；至少有一個紅球 C．紅球、白球各一個；都是白球 D．紅球、白球各一個；至少有一個白球【答案】C【解析】從裝有3個紅球和2個白球的紅袋內(nèi)任取兩個球，所有的情況有3種：“2個白球”、“一個白球和一個紅球”、“2個紅球”．由于對立事件一定是互斥事件，且它們之中必然有一個發(fā)生而另一個不發(fā)生，對于A，至少有1個白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．對于B兩個白球；至少有一個紅球，是互斥事件，但也是對立事件，故不符合．對于C紅球、白球各一個；都是白球是互斥事件，但不是對立事件不是互斥事件，故符合．對于D紅球、白球各一個；至少有一個白，不是互斥事件．故不符合．故選：C．5(★)設(shè)M、N為兩個隨機事件，如果M、NA．M∪N是必然事件 B．M∪NC．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【答案】A【解析】因為M、，無論哪種情況，M∪故選：A．6(★)已知一次試驗，事件與事件不能同時發(fā)生且，至少有一個發(fā)生，又事件與事件不能同時發(fā)生．若(B)，(C)，則A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】A【解析】一次試驗，事件與事件不能同時發(fā)生且，至少有一個發(fā)生，事件與事件不能同時發(fā)生．(B)，(C)，(A)(B)，則(A)(C)．故選：．7(★)先后拋擲兩枚骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和是8，7，6的概率依次為P1,P2A【答案】C【解析】先后拋擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)共有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種其中點數(shù)之和是8的有5種，故P1=536；點數(shù)之和是7的有點數(shù)之和是6的有5種，故P3=故選C8(★★)從集合A={－1,12,2}中隨機選取一個數(shù)記為k，從集合B={12,A．13 B．23 C．79 D【答案】D【解析】分別從集合A,B各取一個數(shù)，共有3×3=9組實數(shù)對，若a=12，則由ak>1得k<0，此時若a=32，則由ak>1得k>0，此時k=1若a=2，則由ak>1得k>0，此時k=12，2，有則對應(yīng)的概率P=5故選：D．9(★)[多選題]拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“至少一枚點數(shù)為1”，“兩枚骰子點數(shù)一奇一偶”，“兩枚骰子點數(shù)之和為8”，“兩枚骰子點數(shù)之和為偶數(shù)”．判斷下列結(jié)論，正確的有A． B．，為對立事件 C．，為互斥事件 D．，相互獨立【答案】BC【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“至少一枚點數(shù)為1”，“兩枚骰子點數(shù)一奇一偶”，“兩枚骰子點數(shù)之和為8”，“兩枚骰子點數(shù)之和為偶數(shù)”．對于，當，，時，不成立，故錯誤；對于，和不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，故，為對立事件，故正確；對于，，不能同時發(fā)生，是互斥事件，故正確；對于，發(fā)生與否，對的發(fā)生有影響，，不是相互獨立事件，故錯誤．故選：．10(★)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，設(shè)“出現(xiàn)3點”、“出現(xiàn)6點”分別為事件A、B，已知P(A)=P(B)=【答案】1【解析】由于若設(shè)“出現(xiàn)3點”、“出現(xiàn)6點”分別為事件A、B，則事件A，B為互斥事件，又由P(A)=P(B)=1則出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=故答案為1311(★)如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.25、0.20、0.35，則不命中靶的概率是【答案】0.2【解析】由題意知，射手命中的概率為0.25+0.20+0.35=0.8，又由射手命中靶與不命中靶為對立事件，故不命中靶的概率是1故答案為0.212(★)事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為25，且P(A)=2P(B【答案】3【解析】∵事件A,B互斥，P∵它們都不發(fā)生的概率為25∴[1－∴1－P(∴P(∴P(A13(★)經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，那么三輛汽車經(jīng)過這個十字路口，至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率為．【答案】7【解析】三輛車經(jīng)過十字路口的情況有27種，至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的情況數(shù)為7種，所以概率為：727．故答案為：727．14(★★)若連擲兩次骰子，分別得到的點數(shù)是m、n，將m、n作為點P的坐標，則點P落在區(qū)域內(nèi)的概率是【答案】11【解析】擲兩次骰子，會有種可能．點落在區(qū)域內(nèi)，即，則共有以下可能性．①，，，；②，，，，；③，，，；④；這11個點都滿足，即所求概率為．15(★★)如圖所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的兩個頂點，在格點中任意放置點C，恰好能使其構(gòu)成△ABC且面積為1的概率是【答案】5【解析】在網(wǎng)格中共有36個格點，而使得三角形面積為1的格點有5個故使得三角形面積為1的概率為53616(★)拋擲一枚均勻的骰子，事件A表示“朝上一面的點數(shù)是偶數(shù)”，事件B表示“朝上一面的點數(shù)不超過4”