《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第七章 空間圖形

第七章空間圖形(一)

本章內(nèi)容小結(jié)(二)

常見(jiàn)問(wèn)題分類及解法(三)

思考題(四)

課堂練習(xí)(一)

本章內(nèi)容小結(jié)一、本章主要內(nèi)容(1)平面的概念以及基本性質(zhì).(2)直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.二、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

線面位置關(guān)系，正棱錐、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、球的概念和性質(zhì)是重點(diǎn)；空間圖形的畫法是難點(diǎn).(3)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念及性質(zhì).(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的概念與性質(zhì).三、對(duì)學(xué)習(xí)的建議

(1)

本章內(nèi)容由兩部分組成，第一部分是空間直線和平面，第二部分是多面體和旋轉(zhuǎn)體.第一部分是本章基礎(chǔ)、平面幾何中定義、定理、公理等，在立體幾何中的同一平面內(nèi)仍成立.

(2)

第一部分的主要內(nèi)容是有關(guān)空間的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和有關(guān)圖形的畫法，著重研究的是它們之間的平行與垂直關(guān)系.

本部分的四個(gè)公理是基礎(chǔ)，此外，平面幾何里的定義、定理等，對(duì)于空間的任何平面內(nèi)的平面圖形仍然適用，但對(duì)于非平面圖形，則需要經(jīng)過(guò)證明才能應(yīng)用.在解決立體幾何的問(wèn)題時(shí)，常把它轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題來(lái)解決.

空間兩條直線的位置關(guān)系有“平行”、“相交”、“異面”三種；空間一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有“直線在平面內(nèi)”、“平行”、“相交”三種；兩個(gè)平面的位置關(guān)系有“平行”、“相交”兩種.

關(guān)于空間的直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行與垂直關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理是本部分的中心問(wèn)題.應(yīng)用這些定理時(shí)，要弄清定理的題設(shè)和結(jié)論，判定定理的題設(shè)是結(jié)論成立的充分條件，性質(zhì)定理的結(jié)論是題設(shè)成立的必要條件.當(dāng)知識(shí)融會(huì)貫通之后，判定上述圖形的平行或垂直關(guān)系的途徑就更為廣泛.例如，可以用“垂直于同一平面的兩直線必平行”去判定兩條直線平行；用“如果兩平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面”去判定一條直線與一個(gè)平面垂直.

兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角都是通過(guò)平面幾何中的角來(lái)定義的，因而，它們都可以看做是平面幾何中角的概念在空間的拓廣.

兩條異面直線的距離，平行的直線與平面間距離以及兩個(gè)平行平面間的距離，都分別是它們的兩點(diǎn)間距離中最小的.(3)第二部分的主要內(nèi)容是多面體和旋轉(zhuǎn)體中常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)、球的概念、性質(zhì)、直觀圖的畫法以及面積、體積的計(jì)算，重點(diǎn)研究了應(yīng)用比較廣泛的直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球和球缺.

這些幾何體的性質(zhì)都是在第一部分線面關(guān)系的基礎(chǔ)上由定義推出來(lái)的.這些性質(zhì)包括：棱，面的性質(zhì)；平行于底面的截面的性質(zhì)；經(jīng)過(guò)側(cè)棱(或高線、軸線)

的截面的性質(zhì).通過(guò)這樣的研究，我們對(duì)這些幾何體就有了一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí).

幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積，除球面和球冠外，都是通過(guò)它們的展開(kāi)圖求得的，這些公式不但互相區(qū)別，而且互相聯(lián)系.直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面公式可以統(tǒng)一寫成：四、本章關(guān)鍵詞多面體旋轉(zhuǎn)體球面、球冠、球帶的面積，可以統(tǒng)一寫成：

幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積公式是分別把柱體、錐體、臺(tái)體當(dāng)做不同的幾何體給出的，如果把柱體、錐體當(dāng)做臺(tái)體的特殊形式，那么它們，甚至包括球體的體積公式，都可以統(tǒng)一寫成：(二)

常見(jiàn)問(wèn)題分類及解法一、直線與直線位置關(guān)系問(wèn)題1

求證兩直線平行.思路：兩直線平行于同一直線；兩直線垂直于同一平面.問(wèn)題2

求兩異面直線夾角(含垂直).思路：平移至同一平面；三垂線定理.問(wèn)題3

求異面直線距離.思路：找公垂線.解圖7-1

例

1圖形圖7-2

例

2圖形解圖7-3

例

3圖形解二、平面與平面位置關(guān)系問(wèn)題1

求兩平面夾角(含垂直).思路：利用二面角的平面角；一平面過(guò)垂直于另一平面的直線.問(wèn)題2

求證兩平面平行.思路：兩平面垂直于同一直線；一平面過(guò)和另一平面平行的兩條相交直線.問(wèn)題3

平行平面間距離(含點(diǎn)到平面的距離).思路：在一平面上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一平面的垂線段.圖7-4

例

4圖形解圖7-5

例

5圖形.解解圖7-6

例

6圖形三、直線與平面的位置關(guān)系問(wèn)題1

求證直線平行于平面.思路：直線垂直于和平面垂直的直線；直線平行于平面內(nèi)一直線.問(wèn)題2

求直線和平面的夾角(含直線和平面垂直).思路：做出直線和平面的夾角；直線平行于和平面垂直的直線；直線垂直于平面內(nèi)兩相交直線.圖7-7

例

7圖形解圖7-8

例

8圖形證明

本題是通過(guò)直線平行于平面內(nèi)一直線而證出直線平行于平面.需要注意的是，平面內(nèi)的直線可能是現(xiàn)成的，多數(shù)時(shí)候是需要我們?cè)斐鰜?lái)的.作出有關(guān)三角形的中位線是常用的方法.研究多面體、旋轉(zhuǎn)體常會(huì)遇到兩類問(wèn)題.一是以多面體、旋轉(zhuǎn)體為載體研究空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，這在前面的例題中已有體現(xiàn).二是研究多面體、旋轉(zhuǎn)體自身的問(wèn)題，如體積、表面積、側(cè)面積，截面形狀、面積以及多面體、旋轉(zhuǎn)體中元素間位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

上述兩類問(wèn)題，都需要我們熟練掌握有關(guān)幾何體的性質(zhì)、公式.另外，能看懂圖，會(huì)畫圖，能畫截面圖這些能力也是應(yīng)該具備的，這就需要多看、多練，時(shí)間長(zhǎng)了，能力就積累出來(lái)了.四、求幾何體的體積根據(jù)題目條件求出體積公式中各個(gè)量，然后算出體積.圖7-9

例

9圖形解圖7-10

例

10圖形解圖7-11

例

11圖形解

注意：這個(gè)例題中求斜三棱柱體積的方法是，在原有斜三棱柱上再補(bǔ)充一個(gè)全等的斜三棱柱，使之變成一個(gè)斜平行六面體.然后求出這個(gè)斜平行六面體的體積，最后求出它的一半，即為斜三棱柱的體積.這種方法稱為體積補(bǔ)充法.這在計(jì)算幾何體體積時(shí)是比較常用的一種方法，使用這種方法時(shí)，有時(shí)也可補(bǔ)充幾何體的一部分，使之能算出體積，最后再算原幾何體體積.本題也可這樣做.五、求幾何體的表面積、側(cè)面積、截面面積

根據(jù)題目條件求出表面積(側(cè)面積)

公式中各個(gè)量，然后算出面積.對(duì)于截面，首先要確定截面形狀、該圖形面積公式，根據(jù)條件求出公式中各個(gè)量，然后算出截面面積.圖7-12

例

12圖形解圖7-13

例

13圖形解解圖7-14

例

14圖形六、求幾何體中元素的數(shù)量以及元素間數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系

將幾何體中待求元素及有關(guān)元素在圖形中顯現(xiàn)出來(lái)，然后根據(jù)題目條件尋找它們的關(guān)系，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.圖7-15

例

15圖形解圖7-16

例

16圖形解圖7-17

例

17圖形解1、空間圖形研究的思路是什么？2、平面的基本性質(zhì)是什么？3、異面直線定義？三垂線定理敘述？4、如何研究旋轉(zhuǎn)體.(三)思考題答案答案答案答案(四)課堂練習(xí)題1、填空.(單擊左鍵顯示答案)(1)________________的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.(2)兩條_____或_____直線確定一個(gè)平面.(3)四點(diǎn)中有三點(diǎn)在一條直線上，則這四點(diǎn)在__________

過(guò)這四點(diǎn)可確定__________平面.(4)垂直于同一條直線的兩直線有___________________

種位置關(guān)系.(5)平行于同一平面的兩條直線_______平行、垂直于同一平面兩直線_________平行.(6)平行于同一條直線的兩個(gè)平面_______平行、垂直于同一直線兩個(gè)平面_________平行.不在同一直線上相交平行同一平面上一個(gè)平面平行、相交、異面三不一定相互平行不一定相互平行2、