線性代數(shù)（第五版）-二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

§5

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)投影變換例

2階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j

角的旋轉(zhuǎn)變換例

2階方陣解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+bxy+cy2=0

通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)牡男D(zhuǎn)變換使得mx'2+ny'2=0．定義：含有n

個(gè)變量x1,x2,…,xn

的二次齊次函數(shù)稱為二次型．令aij=aji，則2

aij

xi

xj=

aij

xi

xj

+aji

xi

xj

，于是對(duì)稱陣對(duì)稱陣

A的秩也叫做二次型

f的秩．線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)稱陣的二次型二次型的矩陣二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．解例１對(duì)于二次型，尋找可逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng)，即f=k1

y12+k2

y22+…+kn

yn2

定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）.如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)k1,k2,…,kn

只在?1,

0,

1三個(gè)數(shù)中取值,即

f=k1

y12+…+kp

yp2?

kp+1

yp+12

?…?

kr

yr2

則上式稱為二次型的規(guī)范形．說(shuō)明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍.簡(jiǎn)記為

x=Cy，于是

f=

xTAx

=

(Cy)TA(Cy)=

yT

(CTAC)y定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣P

滿足P

?1AP=B，則稱矩陣A

和B相似．（P.121定義7）定義：設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣C

滿足CTAC=B，則稱矩陣A

和B合同．（P.129定義9）顯然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B 即若A

為對(duì)稱陣，則B

也為對(duì)稱陣．R(B)=R(A)．經(jīng)過(guò)可逆變換后，二次型f

的矩陣由A

變?yōu)榕cA

合同的矩陣CTAC，且二次型的秩不變．若二次型f經(jīng)過(guò)可逆變換

x=Cy變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，即問(wèn)題：對(duì)于對(duì)稱陣A，尋找可逆矩陣C，使CTAC為對(duì)角陣,（把對(duì)稱陣合同對(duì)角化）．定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，即A?1=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．定理：設(shè)

A為n階對(duì)稱陣，則必有正交陣P，使得P

?1AP

=PTAP=L，其中L

是以A

的n

個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣（不唯一）.（P.124定理7）定理：任給二次型f(x)

=

xTAx

（其中A=AT），總存在正交變換

x=Py

，使f

化為標(biāo)準(zhǔn)形

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2

其中l(wèi)1,l2,…,ln是f的矩陣A

的特征值．推論：任給二次型f(x)

=

xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．推論：任給二次型f(x)

=

xTAx

（其中A=AT），總存在可逆變換

x=Cz

，使f(Cz)為規(guī)范形．證明：

f(Py)=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2若R(A)=r，不妨設(shè)l1,

l2,

…,lr

不等于零，lr+1=…=ln=0,令則K

可逆，變換y=Kz

把f(Py)化為f(PKz)=(PKz)T

A(PKz)=zTKTPTAPKz

=zTKTΛKz其中例：求一個(gè)正交變換x=Py

，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：二次型的矩陣根據(jù)P.125例12的結(jié)果，有正交陣使得于是正交變換x=Py

把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=－2y12+y22+y32如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組4．將正交向量組單位化，得正交矩陣于是所求正交變換為小結(jié)

1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法．

2.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．一、拉格朗日配方法的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．

問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.解例1含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以再配方，得所用變換矩陣為一、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過(guò)拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．

下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來(lái)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．

則稱之為實(shí)二次型的規(guī)范形.

①實(shí)二次型的規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)只有1，－1，0三種.

②實(shí)二次型的規(guī)范形中平方項(xiàng)的系數(shù)中1的個(gè)數(shù)與－1的個(gè)數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.

慣性定理：任一實(shí)二次型可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一.注意定義：實(shí)二次型的規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為的正慣性指數(shù)；稱為的負(fù)慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的符號(hào)差.它們的差推論1、任一實(shí)對(duì)稱矩陣A合同于一個(gè)形式為其中的個(gè)數(shù)，+1的個(gè)數(shù)的正慣性指數(shù)；－1的個(gè)數(shù)的負(fù)慣性指數(shù).的對(duì)角矩陣

.推論2、實(shí)二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、實(shí)對(duì)稱矩陣A、B合同

的正慣性且二次型指數(shù)相等.為正定二次型為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如證明充分性故三、正(負(fù))定二次型的判別必要性故推論對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理．定理3對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階主子式為正，即對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別