幾種制約燈光變換矩陣的因素

幾種制約燈光變換矩陣的因素

隨著激光科學研究的發(fā)展，矩陣光學研究領域迅速發(fā)展，其優(yōu)點是它簡單、規(guī)范、方便的計算機求解和其他處理方法。用矩陣方法研究光束的傳輸變換特別方便,。眾所周知,光學系統(tǒng)對光線或激光束的變換作用可由其變換矩陣表示。因此,光學系統(tǒng)對光線或激光束的變換矩陣對用矩陣方法研究光學問題是非常重要的。本文將總結(jié)五種變換矩陣的推導方法,并加以舉例說明。1導出方法本文采用文獻符號法則和有關規(guī)定,并限于討論近軸近似條件下的軸對稱光學系統(tǒng)。1.1均勻介質(zhì)中光學系統(tǒng)的變換矩陣近軸近似下,光線變換的基本方程為:[r′θ′]=[ABCD][rθ](1)式中,Μ=[ABCD]為光學系統(tǒng)的光線變換矩陣,[rθ]和[r′θ′]分別為入射和出射光矢量,θ和θ′分別為入射和出射光線與傳輸Z軸的夾角,r和r′分別為入射和出射光線與入射參考面(RP1)和出射參考面(RP2)的交點到Z軸的距離。根據(jù)光的反射、折射和在均勻介質(zhì)中光的直線傳播定律,可以找出入射光線與出射光線之間的幾何關系,從而確定光學系統(tǒng)的變換矩陣。實例分析1:光在均勻介質(zhì)中的傳播變換矩陣。設光線傳播距離為l(如圖1所示),在近軸近似下:{r′=r+lθθ′=θ(2)所以Μ=[1l01](3)實例分析2:球面反射變換矩陣。如圖2所示,設球面反射鏡曲率半徑為ρ,在近軸近似下由光的反射定律可以得到:{r′=rθ′?-2ρr+θ(4)故Μ=[10-2ρ1](5)同理,根據(jù)折射定律可求出球面折射的變換矩陣為:Μ=[10n2-n1n2ρn1n2](6)式中n1和n2分別為球面左、右方介質(zhì)的折射率。1.2近軸近似下的二階小量s1和r近軸近似下,光線方程為ddz(ndrdz)=?n(7)式中n為介質(zhì)的折射率。光線方程描述了光線傳播規(guī)律,由它可以計算出光線在介質(zhì)中的傳播軌跡。因此,求解光線方程可得到光學系統(tǒng)的光線變換矩陣。實例分析3:正類透鏡介質(zhì)n(r)=n0(1-β2r2/2)的變換矩陣(β為大于零的常數(shù),n0為軸上的折射率)。將n(r)代入光線方程(7)式中,并略去近軸近似下的二階小量r2和rd2rdz2,得到:d2r(z)dz2+β2r(z)=0(8)求出其通解為:r=C1cosβz+C2sinβz(9)式中,C1和C2為任意常數(shù)。近軸近似下,邊界條件為:{r(z)|z=0=r(0)dr(z)dz|z=0?θ(0)(10)將(10)式代入(9)式可得:{r(z)?r(0)cosβz+1βθ(0)sinβzθ(z)?dr(z)dz?-βr(0)sinβz+θ(0)cosβz(11)因此,Μ=[cosβz1βsinβz-βsinβzcosβz](12)同理,可求出負類透鏡介質(zhì)n(r)=n0(1+β2r2/2)的變換矩陣為Μ=[chβz1βshβz-βshβzchβz](13)1.3各相干合成的光束復參數(shù)用復參數(shù)1q=1R-iλπω2描述的高斯光速的傳輸滿足ABCD定律:q′=Aq+BCq+D(14)式中A,B,C,D為變換矩陣M的諸元素。q和q′分別為光學系統(tǒng)變換前后的光束復參數(shù)。顯然,當光束的光斑半徑ω,ω′→∞時,得到球面所滿足的ABCD定律:R′=AR+BCR+D(15)式中R和R′分別為光學系統(tǒng)變換前后的光束的曲率半徑。實例分析4:薄透鏡的變換矩陣。眾所周知,薄透鏡成像的高斯公式為:1R-1R′=1f(16)式中f為薄透鏡的焦距。將(16)式變形為:R′=R-Rf+1(17)則,由ABCD定律(15)式可得到:Μ=[10-1f1](18)1.4反射器對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析實際應用中,光學系統(tǒng)通常是由若干個光學元件構(gòu)成。由(1)式可知,m個首尾相連軸向排列的元件組成的光學系統(tǒng),其變換矩陣等于這些元件各自變換矩陣逆序的乘積。實例分析5:失調(diào)望遠鏡的變換矩陣(圖3)。Μ=[ABCD]=[10-1f21][1l01][10-1f11]=[ΜΤ+Δf1l-Δf1f21ΜΤ+Δf2](19)上式中ΜΤ=-f2f1為望遠鏡放大率,Δ=f1+f2-l為望遠鏡的失調(diào)量。實例分析6:貓眼反射器的變換矩陣(圖4)。Μ=[ABCD]=[1f01][10-1f1][1f01][1f01][10-1f0][1f01]=[-100-1](20)實例分析7:厚透鏡系統(tǒng)的變換矩陣(圖5)。設厚度透鏡厚度為l,兩端面曲率半徑分別為R1和R2,介質(zhì)折射率為n,其左、右空間折射率分別為n1和n2。則Μ=[10n2-n1n2Rnn2][1l01][10n-n1nR1n1n]=[1+ln-n1nRn1nln2-nn2R2+n-n1n2R1+(n2-n)(n1-n)m2R1R2ln1n2+n1(n2-n)m2R2l](21)1.5特例法當某一光學系統(tǒng)是另一光學系統(tǒng)在某一極限情況下的特例,那么可直接得到其變換矩陣。如:球面反射鏡(5)式ρ→∞→平面反射鏡Μ=(22)球面折射(6)式ρ→∞→平面折射Μ=[100n1n2](23)失調(diào)望遠鏡(19)式Δ→0→調(diào)焦望遠鏡Μ=[ΜΤl01ΜΤ](24)厚透鏡(21)式l→0→薄透鏡Μ=[10n2-nn2R2+n-n1n2R1n1n2](25)上式中,令1/f=-C=-(n2-nn2R2+n-n1n2R1),則f為薄透鏡的焦距。2常用的推導方法本文共歸納了5種推導