高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽冬令營CMO真題2002年

2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（第一試）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、函數(shù)f(x)=log1/2(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3,＋∞）2、若實(shí)數(shù)x，y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為（）。（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函數(shù)f(x)=x/(1-2x)-x/2（）（A）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)（B）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)（C）既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)（D）既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4、直線x/4+y/3=1與橢圓x2/16+y2/9=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有（）。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)5、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A＝｛a1,a2,…,a｝與B＝｛b1,b2,…,b｝，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)≤f(a)≤…≤f(a100)100502則這樣的映射共有（）。（A）（B）（C）（D）6、由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1；滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則（）。（A）V1=（1/2）V2（C）V1=V2（B）V1=（2/3）V2（D）V1=2V2二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它們所對(duì)應(yīng)向量的夾角為60°,則∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。8、將二項(xiàng)式9、如圖，點(diǎn)P1，P2，…，P10分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有個(gè)。10、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=。的展開式按x的降冪排列，若前項(xiàng)三系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)。11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則∣x∣-∣y∣的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、已知點(diǎn)A（0,2）和拋物線y2=x+4上兩點(diǎn)B，C使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。14、如圖，有一列曲線P，P，P……，已知P所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，P是對(duì)P進(jìn)行如下操作得到：將P的每條邊三等0120k+1kk分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記S為曲線P所圍成圖形的面積。nn……（1）求數(shù)列｛S｝的通項(xiàng)公式；n（2）求S.n15、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：（1）當(dāng)x∈R時(shí),f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;（2）當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)≤((x+1)/2)2;（3）f(x)在R上的最小值為0.求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（第二試）一．（如圖，在△ABC中，心，兩條高BE、CF交于H點(diǎn)。點(diǎn)M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM＝CN。MH+NH）/OH的值。本題滿分50分）∠A＝60°,AB＞AC,點(diǎn)O是外求：（二．（本題滿分50分）實(shí)數(shù)a,b,c和正數(shù)λ使得f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三個(gè)實(shí)根x,x,x,且滿足123（1）x-x＝λ21（2）x＞(x＋x)/2312求：(2a+27c-9ab)/λ3的最大值。3三．（本題滿分50分）F國教練為了考察A1,A2,…,A7這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍鲇?xùn)練比賽（每90分鐘）都上場。假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員中有且僅有一人在場上，