甘肅省慶陽長慶中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研模擬試題含解析

甘肅省慶陽長慶中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.2．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將于2022年2月4日～2月20日在北京和張家口聯(lián)合舉行．為了更好地安排志愿者工作，現(xiàn)需要了解每個(gè)志愿者掌握的外語情況，已知志愿者小明只會德、法、日、英四門外語中的一門．甲說，小明不會法語，也不會日語：乙說，小明會英語或法語；丙說，小明會德語．已知三人中只有一人說對了，由此可推斷小明掌握的外語是（）A.德語 B.法語C.日語 D.英語3．關(guān)于，，下列敘述正確的是（）A.若，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).4．已知函數(shù)對于任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖像中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，則A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)的圖像關(guān)于對稱C.函數(shù)的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減8．一個(gè)孩子的身高與年齡（周歲）具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，則下列說法錯誤的是（）A.回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心B.斜率的估計(jì)值等于6.217，說明年齡每增加一個(gè)單位，身高就約增加6.217個(gè)單位C.年齡為10時(shí)，求得身高是，所以這名孩子的身高一定是D.身高與年齡成正相關(guān)關(guān)系9．方程的解為，若，則A. B.C. D.10．若函數(shù)滿足，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，已知△和△有一條邊在同一條直線上，，，，在邊上有個(gè)不同的點(diǎn)F,G，則的值為______12．若函數(shù)滿足，則______13．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的值為_________；若函數(shù)，如果對于，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________15．已知則_______.16．計(jì)算：______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)，函數(shù)（1）若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍是（），求的范圍18．（1）計(jì)算：（2）已知，，，，求的值19．已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）對于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈娜我夂瘮?shù).(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；(2)如果，試求(1)中的和的表達(dá)式.21．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值；已知，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】首先由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)?，所以因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即故選：A2、B【解題分析】根據(jù)題意，分“甲說對，乙、丙說錯”、“乙說對，甲、丙說錯”、“丙說對，甲、乙說錯”三種情況進(jìn)行分析，即可得到結(jié)果.【題目詳解】若甲說對，乙、丙說錯：甲說對，小明不會法語也不會日語；乙說錯，則小明不會英語也不會法語；丙說錯，則小明不會德語，由此可知，小明四門外語都不會，不符合題意；若乙說對，甲、丙說錯：乙說對，則小明會英活或法語；甲說錯，則小明會法語或日語；丙說錯，小明不會德語；則小明會法語；若丙說對，甲、乙說錯：丙說對，則小明會德語；甲說錯，到小明會法語或日語；乙說錯，則小明不會英語也不會法語；則小明會德語或日語，不符合題意；綜上，小明會法語.故選：B.3、B【解題分析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)結(jié)論是否正確，從而得出結(jié)論.【題目詳解】對于A，的周期為,若，則是的整數(shù)倍,故A錯誤；對于B,當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B正確；對于C,當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)最值，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；對于D，，，則不單調(diào)，D錯誤故選：B.4、B【解題分析】由題可得函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可求解參數(shù)的范圍.【題目詳解】由題可得，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若單減，則對稱軸，得：,當(dāng)時(shí)，若單減，則，在分界點(diǎn)處，應(yīng)滿足，即，綜上：故選：B5、A【解題分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)6、A【解題分析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因?yàn)?，所?故選：A.7、D【解題分析】由相鄰對稱軸之間的距離，得函數(shù)的最小正周期，求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值求得，對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，可選出正確選項(xiàng)【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，函數(shù)的最小正周期，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，所以，，因?yàn)?，所以，，函?shù)最小正周期，A錯誤；函數(shù)圖像的對稱軸方程為，，B錯誤；函數(shù)圖像的對稱中心為，，C錯誤；所以選擇D【題目點(diǎn)撥】由的圖像求函數(shù)的解析式時(shí)，由函數(shù)的最大值和最小值求得，由函數(shù)的周期求得，代值進(jìn)函數(shù)解析式可求得的值8、C【解題分析】利用線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)可判斷A；由回歸方程求出的數(shù)值是估計(jì)值可判斷B、C；根據(jù)回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)可判斷D；【題目詳解】對于A，線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對于B，由于斜率是估計(jì)值，可知B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，求得身高是是估計(jì)值，故C錯誤；對于D，線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)大于零，故身高與年齡成正相關(guān)關(guān)系，故D正確；故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的特征，需掌握這些特征，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】令，∵,.∴函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)∴．選C10、A【解題分析】，所以，選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、16【解題分析】由題意易知：△和△為全等的等腰直角三角形，斜邊長為，，故答案為16點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.本題就是利用幾何意義處理的.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.12、【解題分析】根據(jù)題意，令，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)滿足，令，可得.故答案為：.13、【解題分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，最后解一元二次不等式得結(jié)果.【題目詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且在R上單調(diào)遞增因此由得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、①.0②.【解題分析】由，可得，設(shè)在的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，根?jù)題意轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)和的值域，結(jié)合集合的運(yùn)算，列出不等式組，即可求解.【題目詳解】由函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，可得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，b=0成立，設(shè)在值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，對于，，使得，等價(jià)于，又由為奇函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，，所以在的值域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的最小值為，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.15、【解題分析】因?yàn)椋?6、【解題分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則，根式的定義計(jì)算【題目詳解】故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上遞增，證明見解析.（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義計(jì)算的符號，從而判斷出的單調(diào)性.（2）對進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次方程根的分布來求得的范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，在上遞增，證明如下：任取，由于，所以，所以在上遞增.【小問2詳解】由于，所以，，由知，所以.由于，所以或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上遞增.所以，從而①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，①可化為，其中，所以，，，解得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上遞減.若，則，于是，這與矛盾，故舍去.所以，則，于是，兩式相減并化簡得，由于，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則其值域和單調(diào)性有關(guān)，若在區(qū)間上遞增，則值域?yàn)椋蝗粼趨^(qū)間上遞減，則值域?yàn)?18、（1）8；（2）．【解題分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則即可求得；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式求出和的值，然后利用余弦的和角公式求的值【題目詳解】（1）；（2）∵，，∴，∵，，∴，∴.19、(1)見解析（2）(3).【解題分析】（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）得到進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用錯位相減法得到前n項(xiàng)和.（3）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算其最大值，轉(zhuǎn)換為二次不等式恒成立，將代入不等式，計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以是等比?shù)列，其中首項(xiàng)是，公比為，所以，.（2），所以，由（1）知，，又，所以.所以，所以兩式相減得.所以.（3），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值是.只需，即對于任意恒成立，即所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的證明，錯位相減法求前N項(xiàng)和，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最大值，二次不等式恒成立問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生解決問題的能力.20、(1)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).(2)【解題分析】（1）計(jì)算，可得證（2）將f(x)代入（1）中表達(dá)式化簡即可求得試題解析：(1)∵的定義域?yàn)椋嗪偷亩x域都為.∵，∴.∴是奇函數(shù)，∵，∴，∴是偶函數(shù).(2)∵，由(1)得，.∵，∴.點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性證明，先看定義域是否關(guān)于遠(yuǎn)點(diǎn)對稱，然后根據(jù)奇偶函數(shù)的等式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算