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遼寧省沈陽市重點高中聯(lián)合體2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.對于函數(shù),有以下幾個命題①的圖象關(guān)于點對稱,②在區(qū)間遞增③的圖象關(guān)于直線對稱,④最小正周期是則上述命題中真命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.32.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為A.π B.πC.4π D.π3.函數(shù)的定義域為()A.R B.C. D.4.已知函數(shù),若則a的值為(
)A. B.C.或 D.或5.直線過點,且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是()A. B.C. D.6.圓:與圓:的位置關(guān)系為()A.相交 B.相離C.外切 D.內(nèi)切7.正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°8.若,且,則角的終邊位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.10.已知直線,若,則的值為()A.8 B.2C. D.-2二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若m,n滿足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,則的值為___________.12.函數(shù)定義域為____.13.大圓周長為的球的表面積為____________14.如圖,在三棱錐中,已知,,,,則三棱錐的體積的最大值是________.15.如圖,在棱長均相等的正四棱錐最終,為底面正方形的重心,分別為側(cè)棱的中點,有下列結(jié)論:①平面;②平面平面;③;④直線與直線所成角的大小為其中正確結(jié)論的序號是______.(寫出所有正確結(jié)論的序號)16.如下圖所示的正四棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為8,高為32三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.若函數(shù)f(x)滿足f(logax)=·(x-)(其中a>0且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)解析式,并判斷其奇偶性和單調(diào)性;(2)當(dāng)x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù),求a的取值范圍18.已知二次函數(shù)的圖象與軸、軸共有三個交點.(1)求經(jīng)過這三個交點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)直線與圓相切時,求實數(shù)的值;(3)若直線與圓交于兩點,且,求此時實數(shù)的值.19.已知函數(shù),(1)若,求在區(qū)間上的最小值;(2)若在區(qū)間上有最大值3,求實數(shù)的值.20.已知函數(shù)(1)求的最小正周期;(2)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(3)在(2)的件下,求的最小值,以及取得最小值時相應(yīng)自變量x的取值.21.如圖,某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度沒有限制)的矩形生態(tài)種植園.設(shè)生態(tài)種植園的長為,寬為(1)若生態(tài)種植園面積為,則為何值時,可使所用籬笆總長最?。浚?)若使用的籬笆總長度為,求的最小值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】先通過輔助角公式將函數(shù)化簡,進而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.【題目詳解】由題意,,函數(shù)周期,④正確;,①錯誤;,③錯誤;由,②正確.故選:C.2、B【解題分析】球半徑,所以球的體積為,選B.3、B【解題分析】要使函數(shù)有意義,則需要滿足即可.【題目詳解】要使函數(shù)有意義,則需要滿足所以的定義域為,故選:B4、D【解題分析】按照分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),在各個區(qū)間上,構(gòu)造求解,并根據(jù)區(qū)間對所求的解,進行恰當(dāng)?shù)娜∩峒纯?令,則或,解之得.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù),屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】先設(shè)直線方程為:,根據(jù)題意求出,即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)所求直線方程為:,由題意得,且解得故,即.故選:A.【題目點撥】本題主要考查求直線的方程,熟記直線的斜截式方程即可,屬于常考題型.6、A【解題分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項.【題目詳解】圓:的圓心為,半徑為.圓:的圓心為,半徑為.,,所以兩圓相交.故選:A7、C【解題分析】在正方體中,連接,則,則異面直線和所成的角就是相交直線和所成的角,即,在等邊三角形中,,故選C8、B【解題分析】∵sinα>0,則角α的終邊位于一二象限或y軸的非負(fù)半軸,∵由tanα<0,∴角α的終邊位于二四象限,∴角α的終邊位于第二象限故選擇B9、C【解題分析】根據(jù)題意得,,進而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【題目詳解】解:因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,所以,,因為的解集為,即函數(shù)的定義域為由于函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故選:C10、D【解題分析】根據(jù)兩條直線垂直,列方程求解即可.【題目詳解】由題:直線相互垂直,所以,解得:.故選:D【題目點撥】此題考查根據(jù)兩條直線垂直,求參數(shù)的取值,關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達方式,列方程求解.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】由題可知是方程的兩個不同實根,根據(jù)韋達定理可求出.【題目詳解】由題可知是方程的兩個不同實根,則,.故答案為:.12、∪【解題分析】根據(jù)題意列出滿足的條件,解不等式組【題目詳解】由題意得,即,解得或,從而函數(shù)的定義域為∪.故答案為:∪.13、【解題分析】依題意可知,故求得表面積為.14、【解題分析】過作垂直于的平面,交于點,,作,通過三棱錐體積公式可得到,可分析出當(dāng)最大時所求體積最大,利用橢圓定義可確定最大值,由此求得結(jié)果.【題目詳解】過作垂直于的平面,交于點,作,垂足為,,當(dāng)取最大值時,三棱錐體積取得最大值,由可知:當(dāng)為中點時最大,則當(dāng)取最大值時,三棱錐體積取得最大值.又,在以為焦點的橢圓上,此時,,,,三棱錐體積最大值為.故答案為:.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛:本題考查三棱錐體積最值的求解問題,解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺篌w積的最值轉(zhuǎn)化為線段長度最值的求解問題,通過確定線段最值得到結(jié)果.15、①②③【解題分析】連接AC,易得PC∥OM,可判結(jié)論①證得平面PCD∥平面OMN,可判結(jié)論②正確由勾股數(shù)可得PC⊥PA,得到OM⊥PA,可判結(jié)論③正確根據(jù)線線平行先找到直線PD與直線MN所成的角為∠PDC,知三角形PDC為等邊三角形,所以∠PDC=60°,可判④錯誤【題目詳解】如圖,連接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,結(jié)論①正確同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,結(jié)論②正確由于四棱錐的棱長均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以O(shè)M⊥PA,結(jié)論③正確由于M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點,所以MN∥AB,又四邊形ABCD為正方形,所以AB∥CD,所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角,為∠PDC,知三角形PDC為等邊三角形,所以∠PDC=60°,故④錯誤故答案為①②③【題目點撥】本題考查線面平行、面面平行,考查線線角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題16、6【解題分析】如下圖所示,O'B'=2,OM=2三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2)[2-,1)∪(1,2+]【解題分析】試題分析:(1)利用換元法求函數(shù)解析式,注意換元時元的范圍,再根據(jù)奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性,最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性(2)不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題:即f(x)最大值小于4,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最大值,自在解不等式可得a的取值范圍試題解析:(1)令logax=t(t∈R),則x=at,∴f(t)=(at-a-t)∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)∵f(-x)=(a-x-ax)=-(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù)當(dāng)a>1時,y=ax為增函數(shù),y=-a-x為增函數(shù),且>0,∴f(x)為增函數(shù)當(dāng)0<a<1時,y=ax為減函數(shù),y=-a-x為減函數(shù),且<0,∴f(x)為增函數(shù).∴f(x)在R上為增函數(shù)(2)∵f(x)是R上的增函數(shù),∴y=f(x)-4也是R上的增函數(shù)由x<2,得f(x)<f(2),要使f(x)-4在(-∞,2)上恒為負(fù)數(shù),只需f(2)-4≤0,即(a2-a-2)≤4.∴()≤4,∴a2+1≤4a,∴a2-4a+1≤0,∴2-≤a≤2+.又a≠1,∴a的取值范圍為[2-,1)∪(1,2+]點睛:不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時,只要求存在滿足條件的即可;不等式的解集為R是指不等式的恒成立,而不等式的解集的對立面(如的解集是空集,則恒成立))也是不等式的恒成立問題,此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題,即恒成立?,恒成立?.18、(1);(2)或;(3)【解題分析】(1)先求出二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法求解可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得實數(shù)的值;(3)結(jié)合弦長公式可得所求實數(shù)的值【題目詳解】(1)在中,令,可得;令,可得或所以三個交點分別為,,,設(shè)圓的方程為,將三個點的坐標(biāo)代入上式得,解得,所以圓的方程為,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)由(1)知圓心,因為直線與圓相切,所以,解得或,所以實數(shù)的值為或(3)由題意得圓心到直線的距離,又,所以,則,解得所以實數(shù)的值為或【題目點撥】(1)求圓的方程時常用的方法有兩種:一是幾何法,即求出圓的圓心和半徑即可得到圓的方程;二是用待定系數(shù)法,即通過代數(shù)法求出圓的方程(2)解決圓的有關(guān)問題時,要注意圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,合理利用圓的有關(guān)性質(zhì)進行求解,可以簡化運算、提高解題的效率19、(1);(2)或.【解題分析】(1)先求函數(shù)對稱軸,再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最小值取法(2)根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系三種情況分類討論最大值取法,再根據(jù)最大值為3,解方程求出實數(shù)的值試題解析:解:(1)若,則函數(shù)圖像開口向下,對稱軸為,所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,有又,(2)對稱軸為當(dāng)時,函數(shù)在在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,則,即;當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,則,解得,不符合;當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的,則,解得;綜上所述,或點睛:(1)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù),一般采用待定系數(shù)法求解,根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進而得出參數(shù)的值;(2)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式,首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程,從而可得的值或解析式.20、(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(3)當(dāng)時,的最小值為0【解題分析】(1)根據(jù)周期公式計算即可.(2)求出單調(diào)區(qū)間,然后與所給的范圍取交集即可.(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,對與進行比較即可.【小問1詳解】,,故的最小正周期為.【小問2詳解】先求出增區(qū)間,即:令解得所以在區(qū)間上,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)
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