2024屆北京市第二十七中學高一上數(shù)學期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆北京市第二十七中學高一上數(shù)學期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，則A. B.C.（ D.）2．設函數(shù)，若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．集合，，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積是（）A. B.C. D.26．設是周期為的奇函數(shù)，當時，，則A. B.C. D.7．若和都是定義在上的奇函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.38．已知實數(shù)a、b，滿足，，則關于a、b下列判斷正確的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a9．已知角的頂點在原點，始邊與軸正半軸重合，終邊上有一點，，則()A. B.C. D.10．函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時，批發(fā)價為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價買進，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關系為_______；的取值范圍是________.12．在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是______.13．設函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)），若為偶函數(shù)，則實數(shù)______；若對，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______14．已知扇形的弧長為2cm，圓心角為1rad，則扇形的面積為______.15．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且以6為周期，若f(2)=0，則f(x)在區(qū)間(0,10)內(nèi)至少有________零點.16．已知一個銅質(zhì)的實心圓錐的底面半徑為6，高為3，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個銅球（不計損耗），則該銅球的半徑是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）令，若對，，都有成立，求實數(shù)取值范圍18．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的件下，求的最小值，以及取得最小值時相應自變量x的取值.19．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，.（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）求當時，函數(shù)的解析式.20．已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）當時，求：（ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間；（ⅱ）的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時的自變量的值.21．如圖，在中，已知為線段上的一點，.（1）若，求的值；（2）若，，，且與的夾角為時，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】因為所以，故選.考點：1.集合的基本運算；2.簡單不等式的解法.2、B【解題分析】當時，在上單調(diào)遞增，，當時，令得或（1）若，即時，在上無零點，此時，∴在[1,+∞)上有兩個零點，符合題意；（2）若，即時，在(?∞,1)上有1個零點，∴在上只有1個零點，①若，則，∴，解得，②若，則，∴在上無零點，不符合題意；③若，則，∴在上無零點，不符合題意；綜上a的取值范圍是．選B點睛：解答本題的關鍵是對實數(shù)a進行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)在(?∞,1)上的零點個數(shù)，在此基礎上再判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，看是否滿足有兩個零點即可3、B【解題分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【題目詳解】，，.故選：B.4、B【解題分析】由分段函數(shù)解析式及指數(shù)運算求函數(shù)值即可.【題目詳解】由題設，，所以.故選：B.5、B【解題分析】由三視圖可知此幾何體是由一個長為2，寬為，高為的長方體過三個頂點切去一角的空間多面體，如圖所示，則其體積為.故正確答案選B.考點：1.三視圖；2.簡單組合體體積.6、A【解題分析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)可得f（﹣）=﹣f（），再根據(jù)f（x）是周期函數(shù)，周期為2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），進行求解.【題目詳解】∵設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）=f（﹣4）=f（），∵當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，故選A【題目點撥】此題主要考查周期函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)及其應用，注意所求值需要利用周期進行調(diào)節(jié)，此題是一道基礎題.7、A【解題分析】根據(jù)題意可知是周期為的周期函數(shù)，以及，，由此即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為和都是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以，所以，所以是周期為周期函數(shù)，所以因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.故選：A.8、D【解題分析】先根據(jù)判斷a接近2，進一步對a進行放縮，，進而通過對數(shù)運算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2；根據(jù)b的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和零點，進而得到a,b的大小關系，最后再判斷b和2的大小關系，最終得到答案.【題目詳解】.構(gòu)造函數(shù)：，易知函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，由，可知：，又，∴，則a>b.又∵，∴a>b>2故選：D.【題目點撥】對數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量，除了0和1之外，其它的中間量需要根據(jù)題目進行分析，中間會用到指對數(shù)的運算性質(zhì)和放縮法；另外，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是比較常用的一種方法，需要我們對式子的結(jié)構(gòu)進行仔細分析，平常注意歸納總結(jié).9、B【解題分析】由三角函數(shù)定義列式，計算，再由所給條件判斷得解.【題目詳解】由題意知，故，又，∴.故選：B10、A【解題分析】利用對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,即可求解.【題目詳解】由函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A【題目點撥】本題考查了對數(shù)型復合函數(shù)的定義域，需熟記對數(shù)的真數(shù)大于零，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.【解題分析】根據(jù)題意，直接列式，根據(jù)題意求的最小值和最大值，得到的取值范圍.【題目詳解】由題意可知函數(shù)關系式是，由題意可知最少買千克，最多買千克，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：；12、60°【解題分析】取BC的中點E，則,則即為所求，設棱長為2，則,13、①.1②.【解題分析】第一空根據(jù)偶函數(shù)的定義求參數(shù)，第二空為恒成立問題，參變分離后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值【題目詳解】由，即，關于恒成立，故恒成立，等價于恒成立令，，，故a的取值范圍是故答案為：1，14、2【解題分析】首先由扇形的弧長與圓心角求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計算可得；【題目詳解】解：因為扇形的弧長為2cm，圓心角為1rad，所以扇形的半徑cm，所以扇形的面積；故答案為：15、6【解題分析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【題目詳解】因為f(x)是定義在R上奇函數(shù)且以6為周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的圖象關于3,0對稱，且f3則f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在區(qū)間(0,10)內(nèi)至少有6個零點.故答案為：6個零點16、3【解題分析】設銅球的半徑為，則，得，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）由單調(diào)性定義證明；（2）換元，設，，由（1）求得的范圍，然后由二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值和最小值，由最大值減去最小值不大于可得的范圍【小問1詳解】證明：設，，且，則，當時，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減當時，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【小問2詳解】解：由題意知，令，，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵函數(shù)的對稱軸方程為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值，，當時，取得最小值，，所以，，又∵對，，都有恒成立，∴，即，解得,又∵，∴k的取值范圍是18、（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）當時，的最小值為0【解題分析】（1）根據(jù)周期公式計算即可.（2）求出單調(diào)區(qū)間，然后與所給的范圍取交集即可.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，對與進行比較即可.【小問1詳解】，，故的最小正周期為.【小問2詳解】先求出增區(qū)間，即：令解得所以在區(qū)間上，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【小問3詳解】由（2）所得到的單調(diào)性可得，，所以在時取得最小值0.19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】（1）利用單調(diào)性的定義即證；（2）當時，可得，再利用函數(shù)的奇偶性即得.【小問1詳解】，且，則，∵，且，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】當時，，∴，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，∴，即當時，.20、（1）（2）（?。áⅲ┑淖畲笾禐椋藭r；的最小值為，此時【解題分析】（1）先用三角恒等變換化簡得到，利用最小正周期公式求出答案；（2）在第一問的基礎上，整體法求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求解最值，及相應的自變量的值.【小問1詳解】，，的最小正周期為【小問2詳解】（ⅰ），，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，且由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ⅱ）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，，