2024屆浙江省溫州市蒼南縣巨人中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆浙江省溫州市蒼南縣巨人中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的最小值為（）A. B.C.0 D.2．已知，則的最小值為（）A. B.2C. D.43．一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（）A.0 B.1C.3 D.44．已知函數(shù)f(x)=3x???????A. B.C. D.5．汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖象可能是A. B.C. D.6．圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離C.外切 D.內(nèi)切7．若，，則的值為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A B.C. D.9．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.且C.且D.10．在如圖所示中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P到兩條直線與的距離之和等于2，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_________.12．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.13．已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．如圖，矩形中，，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則______.16．函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤(rùn)和投資的單位均為萬(wàn)元）圖（1）圖（2）（1）分別求，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)關(guān)于投資的函數(shù)解析式（2）已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)①若平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，可獲得多少利潤(rùn)？②如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？18．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(?。?.414)19．（1）已知，求的最小值；（2）求函數(shù)的定義域20．指數(shù)函數(shù)（且）和對(duì)數(shù)函數(shù)（且）互為反函數(shù)，已知函數(shù)，其反函數(shù)為（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有三個(gè)不等根，，？若存在，求出實(shí)數(shù)及的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由21．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示（1）請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)，剩余部分的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的解析式；（3）已知關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在時(shí)取得最小值【題目詳解】，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，因此當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，而時(shí)，，所以時(shí)，故選：C2、C【解題分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【題目詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：C3、C【解題分析】根據(jù)題意設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，寫出函數(shù)解析式，計(jì)算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因?yàn)門＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因?yàn)閠＝0時(shí)，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因?yàn)棣眨?，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3故選：C4、B【解題分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求出即可.【題目詳解】由題意知，，則，所以.故選：B5、A【解題分析】汽車啟動(dòng)加速過程，隨時(shí)間增加路程增加的越來越快，漢使圖像是凹形，然后勻速運(yùn)動(dòng)，路程是均勻增加即函數(shù)圖像是直線，最后減速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越來越慢即函數(shù)圖像是凸形．故選A考點(diǎn)：函數(shù)圖像的特征6、A【解題分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).【題目詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A7、D【解題分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可直接求值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所?故選：D.8、C【解題分析】易知函數(shù)在R上遞增，由求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞增，所以，解得，故選：C9、C【解題分析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組作答.【題目詳解】依題意，，解得且，所以的定義域?yàn)榍?故選：C10、C【解題分析】指數(shù)函數(shù)可知，同號(hào)且不相等，再根據(jù)二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)為零經(jīng)過原點(diǎn)即可得出結(jié)論【題目詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知，同號(hào)且不相等，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸在軸左側(cè)，又過坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵3x﹣y=0與x+3y=0的互相垂直，且交點(diǎn)為原點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P到兩條直線的距離分別為a，b，則a≥0，b≥0，則a+b=2，即b=2﹣a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知===，∵0≤a≤2，∴當(dāng)a=1時(shí)，的距離，故答案為12、120【解題分析】利用扇形的面積公式求解.【題目詳解】由題意得：扇形弧長(zhǎng)為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：12013、【解題分析】∵在x∈（0,+∞）上是減函數(shù)，f(1)=0，∴0<3－x<1，解得2<x<3.14、【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，可知每段函數(shù)的單調(diào)性，以及分界點(diǎn)處的函數(shù)的的大小關(guān)系，即可列式求解.【題目詳解】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以每段都單調(diào)遞減，即，并且在分界點(diǎn)處需滿足，即，解得：.故答案為：15、【解題分析】先求得，然后利用向量運(yùn)算求得【題目詳解】，，所以，.故答案為：16、【解題分析】令得，把代入函數(shù)的解析式得，即得解.【題目詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，其中，，令得，把代入函數(shù)的解析式得，所以函數(shù)(且)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，;(2)當(dāng)，兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元，16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元【解題分析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元（），設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的圖象，求得的值，即可得到函數(shù)的解析式；，（2）①由（1）求得，，即可得到總利潤(rùn)．②設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，產(chǎn)品投入萬(wàn)元，得到則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解【題目詳解】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元（），，兩種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)分別為，萬(wàn)元，由題意可設(shè)，，其中，是不為零的常數(shù)所以根據(jù)圖象可得，，，，所以，（2）①由（1）得，，所以總利潤(rùn)為萬(wàn)元②設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，產(chǎn)品投入萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，令，則，且，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元，16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中能夠從圖象中準(zhǔn)確地獲取信息，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解題分析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【題目詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因?yàn)棣取?，所?θ＋∈，所以當(dāng)2θ＋，即θ＝時(shí)，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長(zhǎng)，從而得矩形面積．利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值19、（1）3；（2）或【解題分析】（1）由，利用基本不等式即可求解.（2）由題意可得，解一元二次不等式即可求解.【題目詳解】解：（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為3；（2）由題知，令，解得或∴函數(shù)定義域?yàn)榛?0、（1）；（2）存在，，.【解題分析】（1）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域可得，即得；（2）由題可得，令，則可得時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)方程有且僅有一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)或1，進(jìn)而可得對(duì)于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)不等根，只有一個(gè)根，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，其反函數(shù)為，∴，∴，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵在定義域上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得；【小問2詳解】∵，∴，∵，，令，則時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，則，即，∴，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且兩根積為1，當(dāng)時(shí)方程有且僅有一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)或1，由，可得，令，則原題目等價(jià)于對(duì)于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)不等根，只有一個(gè)根，則必有，∴，解得，此時(shí)，則其根在區(qū)間內(nèi)，所以，綜上，存在，使得對(duì)任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有三個(gè)不等根，，，的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)不等根，只有一個(gè)根，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)可求.21、（1）圖象見解析，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（