《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》新課程高中數(shù)學(xué)高三一輪復(fù)習(xí)課件

第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 基礎(chǔ)梳理1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線與平面α互相垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個(gè)平面叫做直線的垂面,交點(diǎn)叫做垂足.垂線上任意一點(diǎn)到垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離.(2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.(3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直.(4)推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.(5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 基礎(chǔ)梳理1.直線12.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理:如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.(3)性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.典例分析題型一線線垂直【例1】如圖,α∩β=CD,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,求證:CD⊥AB.2.平面與平面垂直典例分析題型一線線垂直【例1】如圖2分析要證CD⊥AB,只需證CD⊥平面ABE即可.證明∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.學(xué)后反思證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識(shí)即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明.舉一反三1.（2010·淮安模擬）如圖，在三棱柱BCE-ADF中，四邊形ABCD是正方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中點(diǎn)，G是DF上的一點(diǎn).求證：GN⊥AC.分析要證CD⊥AB,只需證CD⊥平面ABE即可.證明3解析：如圖，連接DN，∵四邊形ABCD是正方形，N是AC的中點(diǎn)∴DN⊥AC.∵DF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DF⊥AC.又DN∩DF=D,∴AC⊥平面DNF.∵GN平面DNF，∴GN⊥AC.題型二線面垂直【例2】如圖,P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求證:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.解析：如圖，連接DN，題型二線面垂直【例2】如圖,P為4分析要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.證明(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A學(xué)后反思本題的證明過(guò)程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應(yīng)充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.分析要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的兩條相5舉一反三2.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA⊥平面ABC,若O、Q分別是△ABC和△PBC的垂心，求證:OQ⊥平面PBC.證明如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E,連接PE.∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必過(guò)Q點(diǎn)，∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC.連接BO并延長(zhǎng)交AC于F.∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC.∵PC平面PAC,∴BF⊥PC.舉一反三2.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA⊥6連接BQ并延長(zhǎng)交PC于M,連接MF.∵Q為△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM,∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C,∴OQ⊥平面PBC.題型三面面垂直【例3】如圖所示,在斜三棱柱-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn),求證:AD⊥;(2)過(guò)側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于M,若AM=,求證:截面⊥側(cè)面連接BQ并延長(zhǎng)交PC于M,連接MF.題型三面面垂直【例7分析（1）要證明AD⊥,只要證明AD垂直于所在的平面即可.顯然由AD⊥BC和面面垂直的性質(zhì)定理即可得證.（2）要證明截面⊥側(cè)面，只要證明截面經(jīng)過(guò)側(cè)面的一條垂線即可.證明(1)∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面∴AD⊥側(cè)面，∴AD⊥.(2)延長(zhǎng)與BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接.分析（1）要證明AD⊥,只要證明AD垂直于所8學(xué)后反思本題中平面ABC⊥平面的應(yīng)用是關(guān)鍵,一般地，有兩個(gè)平面垂直時(shí)要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.3.如圖,已知平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E為垂足.(1)求證:PA⊥平面ABC;(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC是直角三角形.舉一反三學(xué)后反思本題中平面ABC⊥平面的應(yīng)用是關(guān)鍵,9解析：（1）如圖,在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,作DF⊥AC交AC于F,平面PAC⊥平面ABC,且交線為AC,∴DF⊥平面PAC,又PA平面PAC,∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G,同理可證DG⊥PA,又DG、DF都在平面ABC內(nèi),∴PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長(zhǎng)交PC于H,∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BE.又∵AE⊥平面PBC,∴AE⊥PC，又BE∩AE=E，∴PC⊥面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,又PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.解析：（1）如圖,在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,(2)如圖，連接B10【例4】（12分）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論;(2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PM⊥DM;(3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PM⊥DM,求a的取值范圍.分析（1）本題第(1)問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直于平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BD⊥PA,問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí),BD⊥AC,從而知ABCD為正方形.（2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知，M為BC的中點(diǎn)時(shí)得兩個(gè)全等的正方形，滿足DM⊥AM.解(1)當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,則BD⊥AC,………2′又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥PA,又∵PA∩AC=A,…….3′∴BD⊥平面PAC.故當(dāng)a=2時(shí),BD⊥平面PAC……….4′題型四垂直問(wèn)題的探究【例4】（12分）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形11(2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,連接AM、DM、MN……..5′∵四邊形ABMN和四邊形DCMN都是正方形,…………………..6′∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………..7′即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………..9′故當(dāng)a=4時(shí),BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM.學(xué)后反思無(wú)論是線面垂直還是面面垂直,都源自于線線垂直.在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,可以先從題設(shè)條件入手,分析已有的垂直關(guān)系,再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系,從而架起已知與未知之間的橋梁.(3)設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M,∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………11′因此,M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的交點(diǎn),則AD≥2AB,即a≥4為所求…………….12′(2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,12舉一反三4.如圖,在正三棱錐ABCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別與AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四點(diǎn).(1)試判斷四邊形EFGH的形狀,并說(shuō)明判斷理由;(2)設(shè)P點(diǎn)是棱AD上的點(diǎn),當(dāng)AP為何值時(shí),平面PBC⊥平面EFGH?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)四邊形EFGH是矩形,下面給出證明:∵AD∥平面EFGH,平面ACD∩平面EFGH=HG,AD平面ACD,∴AD∥HG.同理EF∥AD,∴HG∥EF,同理有EH∥FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵三棱錐A-BCD是正三棱錐,∴A點(diǎn)在底面BCD上的射影O點(diǎn)必是△BCD的中心,如圖,OD⊥BC,∴AD⊥BC,∴HG⊥EH,即四邊形EFGH是矩形.舉一反三4.如圖,在正三棱錐ABCD中,∠BAC=30°13(2)作CP⊥AD于P,連接BP,如圖所示.∵AD⊥BC,∴AD⊥平面BCP.∵HG∥AD,∴HG⊥平面BCP.又∵HG平面EFGH,∴平面BCP⊥平面EFGH,在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,∴(2)作CP⊥AD于P,連接BP,如圖所示.14易錯(cuò)警示【例】設(shè)平面α與平面β的交線為,直線AB在平面α內(nèi),且AB⊥,垂足為B,直線CD垂直于平面β,且CD∥平面α.求證:AB⊥平面β.錯(cuò)解如圖1所示,∵CD⊥平面β,且CD∥平面α,而AB⊥,∴AB∥CD,∴AB⊥平面β.錯(cuò)解分析錯(cuò)解僅將已知條件復(fù)述一遍,就直接從CD∥平面α,得出CD∥AB,這是沒(méi)有根據(jù)的,犯了論據(jù)不足的錯(cuò)誤.正解如圖2所示,過(guò)CD及平面α內(nèi)任一異于AB的點(diǎn)P作平面γ,設(shè)平面α與平面γ的交線為EF.∵CD∥平面α,∴EF∥CD.∵CD⊥平面β,∴EF⊥平面β,EF⊥.∵EF、AB均在平面α內(nèi),且EF、AB均與垂直，∴AB∥EF,而EF⊥平面β,∴AB⊥平面β.易錯(cuò)警示【例】設(shè)平面α與平面β的交線為,直線AB在平面α內(nèi)15考點(diǎn)演練10.（2009·浙江）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是

.解析:如圖2，過(guò)K作KM⊥AF于M點(diǎn)，連接DM，由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，與折前的圖1對(duì)比，可知在折前的圖形中D、M、K三點(diǎn)共線且DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,答案:

考點(diǎn)演練10.（2009·浙江）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，1611.ABCA'B'C'是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為a,D、E分別為BB′、CC′上的點(diǎn)，BD=a,EC=a.(1)求證：平面ADE⊥平面ACC'A'；(2)求△ADE的面積.解析：(1)如圖，分別取A'C',AC的中點(diǎn)M、N，連接MN，則MN∥A'A∥B'B，∴B'、M、N、B共面,B'M⊥A'C′.又B'M⊥AA',∴B'M⊥平面A'ACC′.設(shè)MN交AE于P，∵CE=AC,∴PN=NA=a,又BD=a,∴PN=BD.∵PN∥BD,∴四邊形PNBD是矩形，于是PD∥BN,又BN∥B'M,∴PD∥B'M.∵B'M⊥平面ACC'A',∴PD⊥平面ACC'A′,∵PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC'A′.11.ABCA'B'C'是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為a,D、E分17(2)∵PD⊥平面ACC'A',∴PD⊥AE，∵PD=B'M=a,AE=a,∴=AE·PD=·a·12.(2009·濰坊模擬)如圖,正三棱