上海市奉賢區(qū)曙光中學2024屆高一上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題含解析

上海市奉賢區(qū)曙光中學2024屆高一上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．對于實數(shù)x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）條件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要2．函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（）A. B.C. D.3．設(shè)集合，則（）A. B.C.{2} D.{-2，2}4．設(shè)，，，則，，三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間為()A B.C. D.7．已知扇形的面積為，扇形圓心角的弧度是，則扇形的周長為（）A. B.C. D.8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當時，，則關(guān)于的函數(shù)，（）的所有零點之和為（）A. B.C. D.9．函數(shù)f(x)＝，的圖象大致是（）A. B.C. D.10．棱長分別為1、、2的長方體的8個頂點都在球的表面上，則球的體積為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最大值為（）.12．已知函數(shù)有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________13．已知直線，則與間的距離為___________.14．____________15．若，則________.16．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上遞減，則實數(shù)m＝________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知且，函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并用定義證明；（3）求使的取值范圍.18．已知圓O：，點，點，直線l過點P（1）若直線l與圓O相切，求l的方程；（2）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，且M的縱坐標為－，求△NAB的面積19．在四面體B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明:;（2）若E是BD的中點，求二面角的大小.20．近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進的運載火箭技術(shù)．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s參考數(shù)據(jù)：，（1）當總質(zhì)比為230時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；（2）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度增?00m/s，記此時在材料更新和技術(shù)改進前的總質(zhì)比為T，求不小于T的最小整數(shù)？21．已知函數(shù)，（為常數(shù)）.（1）當時，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）討論零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】從充分性和必要性的定義，結(jié)合題意，即可容易判斷.【題目詳解】若，則一定有，故充分性滿足；若，不一定有，例如，滿足，但不滿足，故必要性不滿足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件.故選：.2、C【解題分析】根據(jù)零點存在性定理，若在區(qū)間有零點，則，逐一檢驗選項，即可得答案.【題目詳解】由題意得為連續(xù)函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，，，根據(jù)零點存在性定理，，所以零點一定位于區(qū)間.故選：C3、C【解題分析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根據(jù)集合的交集運算求得答案.【題目詳解】由題意解得：，故，或，所以，故選：C4、D【解題分析】根據(jù)對數(shù)的運算變形、，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【題目詳解】解：，，因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，即，故選：D5、C【解題分析】如圖所示，補成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍6、C【解題分析】令，則，故的零點在內(nèi)，因此兩函數(shù)圖象交點在內(nèi)，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點與函數(shù)零點的關(guān)系、零點存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.零點存在性定理的條件：（1）利用定理要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線；（2）要求；（3）要想判斷零點個數(shù)還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性).7、A【解題分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長的計算公式，求得弧長和半徑，即可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為.由題意：，解得，所以扇形的周長為，故選：A.【題目點撥】本題考查扇形的弧長和面積公式，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】作函數(shù)與的圖象，從而可得函數(shù)有5個零點，設(shè)5個零點分別為，從而結(jié)合圖象解得【題目詳解】解：作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，故函數(shù)有5個零點，設(shè)5個零點分別為，∴，，，故，即，故，故選B【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于常考題型.9、A【解題分析】判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在上的符號，利用排除法進行判斷即可【題目詳解】∵f(x)＝，∴，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，排除D，當時，，則，排除B，C.故選：A10、A【解題分析】球的直徑為長方體的體對角線，又體對角線的長度為，故體積為，選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】利用可求最大值.【題目詳解】因為，即，，取到最小值；所以函數(shù)的最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，借助正弦函數(shù)的值域能方便求解，側(cè)重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).12、【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點可轉(zhuǎn)化為有2個不等的根，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設(shè)，因為函數(shù)有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：13、【解題分析】根據(jù)平行線間距離直接計算.【題目詳解】由已知可得兩直線互相平行，故，故答案為：.14、【解題分析】,故答案為.考點：對數(shù)的運算.15、【解題分析】利用三角函數(shù)的誘導公式，化簡得到原式，代入即可求解.【題目詳解】因為，由故答案為：16、2【解題分析】由冪函數(shù)的定義可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入驗證即可.【題目詳解】是冪函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得m2－m－1＝1解得m＝2或m＝－1，當m＝2時，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，符合題意；當m＝－1時，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是減函數(shù)，所以m＝2故答案為：2【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查了理解辨析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）函數(shù)是偶函數(shù)，詳見解析；（3）當時，；當時，或.【解題分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)列式可解得結(jié)果；（2）函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；（3）不等式化為后，分類討論底數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【小問1詳解】要使函數(shù)數(shù)有意義，則必有，解得，所以函數(shù)的定義域是；【小問2詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下：∵，，又∴函數(shù)是偶函數(shù)；【小問3詳解】使，即當時，有，，當時，有，解得或.綜上所述：當時，；當時，或.18、（1）或（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在兩種情況討論求解，當直線斜率存在時，根據(jù)點到直線的距離公式求參數(shù)即可；（2）設(shè)直線l方程為，，進而與圓的方程聯(lián)立得中點的坐標，，解方程得直線方程，再求三角形面積即可.【小問1詳解】解：若直線l的斜率不存在，則l的方程為，此時直線l與圓O相切，符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，因為直線l與圓O相切，所以圓心（0，0）到l的距離為2，即，解得，所以直線l的方程為，即故直線l的方程為或【小問2詳解】解：設(shè)直線l的方程為，因為直線l與圓O相交，所以結(jié)合（1）得聯(lián)立方程組消去y得，設(shè)，則，設(shè)中點，，①代入直線l的方程得，②解得或（舍去）所以直線l的方程為因為圓心到直線l的距離，所以因為N到直線l的距離所以19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取AC的中點F,連接DF,BF,由等腰三角形的性質(zhì),先證平面BFD,再證；（2）連接FE,由（1）可得,,則即為二面角的平面角,進而求解即可【題目詳解】（1）取AC的中點F,連接DF,BF,是正三角形,,又是直角三角形,且,,又,平面BFD,平面BFD,平面BFD,又平面BFD,.（2）連接FE,由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,,,即為二面角的平面角,設(shè),則,,,在中,,,即是直角三角形,∴,故為正三角形,∴,∴二面角的大小為.【題目點撥】本題考查線線垂直的證明,考查幾何法求二面角,考查運算能力20、（1）m/s（2）45【解題分析】（1）運用代入法直接求解即可；（2）根據(jù)題意列出不等式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和已知題中所給的參考數(shù)據(jù)進行求解即可.【小問1詳解】當總質(zhì)比為230時，，即A型火箭的最大速度為.【小問2詳解】A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，所以A型火箭的噴流相對速度為，總質(zhì)比為，由題意得：因為，所以，即，所以不小于T的最小整數(shù)為4521、（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解題分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)論；（2）由得，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（3）把函數(shù)有個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像，結(jié)合圖象，即可求解，得到答案.【題目詳解】（1）當時，且時，是單調(diào)遞減的.證明：設(shè)，則又且，故當時，在上是單調(diào)遞減的.（2）由得，變形為，即，設(shè)，令，則，由二