2024屆黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，且則與的夾角為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)fx=2x2+bx+c（b，c為實(shí)數(shù)），f-10=f12.若方程A.4 B.2C.1 D.13．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè),用表示不超過x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù)例如：,,已知函數(shù),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C.1, D.1,2,4．，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則6．已知函數(shù)(其中)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.7．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為A. B.C. D.8．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2C.3 D.49．若角的終邊過點(diǎn)，則等于A. B.C. D.10．已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算___________.12．函數(shù)的圖像與直線y＝a在(0，)上有三個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，，，則的取值范圍為_______.13．的值為__________14．已知為角終邊上一點(diǎn)，且，則______15．已知函數(shù)，若關(guān)于方程恰好有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）求的值；（3）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明18．如圖，四面體中，平面，，，，.（Ⅰ）求四面體的四個(gè)面的面積中，最大的面積是多少？（Ⅱ）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值19．如圖，已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由20．已知定義域?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并證明；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已經(jīng)函數(shù)(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣變化得出？（Ⅱ）求函數(shù)的最小值，并求使用取得最小值的的集合

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】因?yàn)?，設(shè)與的夾角為，，則，故選C考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角2、B【解題分析】由f-10=f12求得b=-4，再由方程fx=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2x2+bx+c（b所以200-10b+c=288+12b+c，解得b=-4，所以fx因?yàn)榉匠蘤x=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1所以Δ=16-8c≥0解得0<c≤2，所以1x當(dāng)c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以其最小值是2，故選：B3、C【解題分析】由分式函數(shù)值域的求法得：,又,所以,由高斯函數(shù)定義的理解得：函數(shù)的值域?yàn)?得解【題目詳解】解：因?yàn)?所以,又,所以,由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)的值域?yàn)?故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式函數(shù)值域的求法及對(duì)新定義的理解,屬中檔題4、D【解題分析】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線，利用三角函數(shù)線來得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線如下圖所示，則，，，其中虛線表示的是角的終邊，，則，即.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)值的大小比較，一般利用三角函數(shù)線來比較，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】逐一檢驗(yàn)，對(duì)A，取，判斷可知；對(duì)B，，可知；對(duì)C，利用作差即可判斷；對(duì)D根據(jù)不等式同向可加性可知結(jié)果.【題目詳解】對(duì)A，取，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)B，由，，所以，故正確；對(duì)C,，由，，所以，所以，故正確；對(duì)D，由，所以，又，所以故選：A6、A【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】由圖象可知：，因?yàn)?，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函?shù)是減函數(shù)，，所以選項(xiàng)A符合，故選：A7、D【解題分析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.考點(diǎn)：正四棱柱的幾何特征；球的體積.8、B【解題分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則：，據(jù)此可得：，據(jù)此有：，即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，由函數(shù)的解析式可知：，則函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個(gè)零點(diǎn).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)9、C【解題分析】角終邊過點(diǎn)，則，所以.故選C.10、D【解題分析】由題意可得，由的范圍可得的范圍，再求其補(bǔ)集即可求解.【題目詳解】由可得，因?yàn)?，所以，若命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算作答.【題目詳解】.故答案：212、【解題分析】由x∈(0，)求出，然后，畫出正弦函數(shù)的大致圖像，利用圖像求解即可【題目詳解】由題意因?yàn)閤∈(0，)，則，可畫出函數(shù)大致的圖則由圖可知當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，由解得，解得，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故由圖得，令，當(dāng)為x∈(0，)時(shí)，解得或，所以，，，解得，，則，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用x∈(0，)，則畫出圖像，并利用對(duì)稱性求出答案13、【解題分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【題目詳解】解：故答案為：14、##【解題分析】利用三角函數(shù)定義可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定義計(jì)算得解【題目詳解】由三角函數(shù)定義可得：，解得：，則，所以，，.故答案為：.15、【解題分析】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，換元，結(jié)合函數(shù)圖象可知原方程有6根可化為在區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根，列出不等式組求解即可.【題目詳解】當(dāng)，結(jié)合“雙勾”函數(shù)性質(zhì)可畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如下圖，令，則由已知條件知，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，二次方程根的分布，換元法，數(shù)形結(jié)合，屬于難題.16、【解題分析】結(jié)合冪函數(shù)定義，采用待定系數(shù)法可求得解析式，代入可得結(jié)果.【題目詳解】為冪函數(shù)，可設(shè)，，解得：，，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)解析式和函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確冪函數(shù)的定義，采用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）在區(qū)間上單調(diào)遞增；證明見解析【解題分析】（1）直接將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中求出，從而可求出函數(shù)解析式，（2）直接利用解析求解即可，（3）利用單調(diào)性的定義直接證明即可【小問1詳解】∵函數(shù)∫過點(diǎn)，∴，∴，得的解析式為：【小問2詳解】【小問3詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增證明：，且，有∵，∴∴，即∴在區(qū)間上單調(diào)遞增18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】（1）易得，,,均為直角三角形，且的面積最大，進(jìn)而求解即可；（2）在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連接BM，可證得AC⊥平面MBN，從而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.試題解析：（1）由題設(shè)AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB?平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以,所以，,,均為直角三角形，且的面積最大，.（2）證明：在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.因?yàn)榕c相似，，從而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】(Ⅰ)設(shè)圓的方程為，將代入，求得，從而可得結(jié)果；(Ⅱ)先設(shè)，由可得，再證明對(duì)任意，滿足即可，，則利用韋達(dá)定理可得，，由角平分線定理可得結(jié)果.【題目詳解】(Ⅰ)設(shè)圓的方程為，將代入，求得，所以圓的方程為；(Ⅱ)先設(shè)，，由由（舍去）再證明對(duì)任意，滿足即可，由，則則利用韋達(dá)定理可得，化為所以，由角平分線定理可得，即存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查待定系數(shù)法求圓方程及韋達(dá)定理、直線和圓的位置關(guān)系及曲線線過定點(diǎn)問題.屬于難題.探索曲線過定點(diǎn)的常見方法有兩種：①可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)(直線過定點(diǎn)，也可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點(diǎn)).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).20、（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）或【解題分析】（1）由求出，再驗(yàn)證此時(shí)為奇函數(shù)即可；（2）將的解析式分離常數(shù)后可判斷出單調(diào)性,再利用增函數(shù)的定義可證結(jié)論成立；（3）利用奇函數(shù)性質(zhì)化為，再利用增函數(shù)性質(zhì)可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，即，此時(shí)，，所以為奇函數(shù)，故.【小問2詳解】由（1）知，為上的增函數(shù)，證明：任取，且，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，即，根?jù)增函數(shù)的定義可得為上的增函數(shù).【小