2023-2024學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.對角線互相垂直平分的四邊形是(

)A.平行四邊形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形2.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是

A.30° B.60° C.90°3.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AB=6，

A.6 B.9 C.12 D.64.要使分式4xx?5有意義，則xA.x≠0 B.x≠?5 5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，正方形ABCD中的頂點B，D的坐標(biāo)分別是(0,0)，(2,0)，且A

A.(1,1) B.(1,6.已知菱形的面積為120cm2，一條對角線長為10cm，則這個菱形的周長為A.13 B.24 C.52 D.607.下列命題中，真命題是(

)A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線相等的四邊形是矩形8.如圖，平行四邊形ABCD，從下列四個條件①AB=BC，②∠ABA.①② B.②③ C.①③9.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊中點，則以下說法錯誤的是(

)A.△BDE和△DCF的面積相等

B.四邊形AEDF是平行四邊形

C.若AB=10.如圖，在矩形AOBC中，O為坐標(biāo)原點，OA、OB分別在x軸、y軸上，點B的坐標(biāo)為(0,33)，∠ABO=A.(32,323)

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.因式分解：a3?a=12.若一個正方形的對角線的長為6cm，則這個正方形的面積是______cm13.菱形的周長為20?cm，兩鄰角的比為2：1，則較短的對角線的長為______c14.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E為BC中點，則與O

15.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC

16.如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AD=23，∠COB=60°，BF⊥AC，交AC于點M，交CD于點F，延長F三、解答題（本大題共8小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題6.0分)

解不等式組：2x?1<x+18.(本小題6.0分)

先化簡，再求值：[(x+2y)219.(本小題6.0分)

已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上的一點，F(xiàn)為BC的延長線上一點，且C20.(本小題8.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE=AB，連接BE．

(1)尺規(guī)作圖：作∠A的平分線AF交BC于F，交BE于21.(本小題8.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點O，EF經(jīng)過O且垂直于AC，分別與邊AD、BC交于點F、E．

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)若A22.(本小題8.0分)

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于O點，且BE=BF23.(本小題14.0分)

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN//AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

(1)

24.(本小題14.0分)

已知正方形ABCD的邊長為4..

(1)如圖1，點P在直線AD上運動，連接PC，將線段PC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE．

①若點P與A重合，則BE=______．

②若BE=9，求AP的長．

(2)如圖2，點P在邊AD上(P不與A，D重合)運動，且PA>PD，連接PB、PC.將線段答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，正方形的對角線互相垂直平分性質(zhì)進(jìn)行分析從而得到正確答案．

本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【解答】

解：A、不正確，平行四邊形的對角線不一定互相垂直；

B、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

C、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

D、正確，兩者的對角線均具有此性質(zhì)；

故選D．2.【答案】C

【解析】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，∠1+∠2=90°．

3.【答案】C

【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO．

∵∠AOD=120°，

∴∠AO4.【答案】C

【解析】解：∵x?5≠0，

∴x≠5．

故選：C．5.【答案】B

【解析】解：∵A，C兩點關(guān)于x軸對稱

∴AC和BD互相垂直平分

∴BD=2

∴AC=2

∵點C在第四象限

∴點C的坐標(biāo)為：(1,?1)

故選B．

因為正方形A6.【答案】C

【解析】解：∵菱形的一條對角線長為10cm，面積為120cm2，

∴另一對角線長為120×210=24(cm)，7.【答案】A

【解析】解：A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的，符合題意；

B、兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，錯誤，不符合題意；

C、兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，錯誤，不符合題意；

D、兩條對角線相等的四邊形是矩形，錯誤，不符合題意．

故選：A．

分別根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可．

此題考查的是命題與定理，正確把握矩形、菱形、正方形以及平行四邊形的區(qū)別是解題關(guān)鍵．8.【答案】B

【解析】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

當(dāng)①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)②∠ABC=90°時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴當(dāng)②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，

當(dāng)AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤，符合題意；

C、∵四邊形A9.【答案】C

【解析】解：A.連接EF，

∵D、E、F分別是△ABC各邊中點，

∴EF/?/BC，BD=CD，

設(shè)EF和BC間的距離為h，

∴S△BDE=12BD?h，S△DCE=12CD?h，

∴S△BDE=S△DCF，

故本選項不符合題意；

B.∵D、E、F分別是△ABC各邊中點，

∴DE/?/AC，DF/?/AB，

10.【答案】A

【解析】解：∵四邊形AOBC是矩形，∠ABO=30°，點B的坐標(biāo)為(0,33)，

∴AC=OB=33，∠CAB=30°，

∴BC=AC?tan30°=33×33=3，

∵將△ABC11.【答案】a(【解析】【分析】

此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】

解：原式=a(a2?12.【答案】18

【解析】解：∵正方形的對角線長為6cm，

∴正方形面積為12×6×6=1813.【答案】5

【解析】解：因為兩鄰角的比為2：1，得到菱形的較小的角為60°，可得較短的對角線與菱形的兩鄰邊組成等邊三角形．則較短的對角線的長為等于菱形的邊長20÷4=5cm．

故答案為5

根據(jù)已知可求得較小的內(nèi)角為60°，從而可得到較短的對角線與菱形的一組邊組成一個等邊三角形，則較短的對角線的長等于菱形的邊長．

此題主要考查的知識點：14.【答案】EC、E【解析】解：∵菱形對角線垂直平分

∴△OCD為直角三角形，

∵E為CD的中點，

∴OE=12CD=EC=EB15.【答案】22.5°【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CAE=45°=∠ACB．

∵AE=AC，

∴16.【答案】①②【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴OA=OC=OD=OB，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

∵BF⊥AC，

∴OM=MC，

∴FM是OC的垂直平分線，

∴FO=FC，故①正確；

∵OB=CB，F(xiàn)O=FC，F(xiàn)B=FB，

∴△OBF≌△CBF(SSS)，

17.【答案】解：2x?1<x+1①x?43≤x②，

解不等式①得：x<2【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計算，即可解答．

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2?9x2+y2?5【解析】先計算括號內(nèi)的乘方和乘法，再合并括號內(nèi)的同類項，最后計算除法即可得．

本題主要考查整式的化簡求值能力，熟練掌握整式的混合運算順序及運算法則是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：△BCE≌△DCF，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=90°【解析】利用正方形的性質(zhì)即可得到△BCE與△DC20.【答案】解：(1)射線AF如圖所示．

(2)∵AE=AB，AF平分∠BAE，

∴AG⊥BE，

∴EG=BG=4，

在Rt△AGB中，∵AB=5，BG=4，【解析】本題考查作圖?基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

(1)利用尺規(guī)作出∠BAD的角平分線即可．

(2)21.【答案】(1)證明：∵EF是對角線AC的垂直平分線，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD/?/BC，

∴∠EAC=∠FCA，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=CF，AE=CE，再證△AOF≌△COE，得AF=CE，則AE=E22.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB/?/CD，

∴∠BAC=∠FCO．

在△AOE和△COF中，

∠BAC=∠FCO，∠AOE=∠COF，AE=CF，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE=OF．

【解析】(1)仔細(xì)審題，根據(jù)矩形的對邊平行可得AB/?/CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，即可證明OE=O23.【答案】(1)證明：∵DE⊥BC．

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC/?/DE，

∵M(jìn)N/?/AB，即CE/?/AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD．

(2)解：四邊形BECD是菱形．

理由是：∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=A【解析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

(1)先證出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

(2)先證明四邊形BE24.【答案】4【解析】解：(1)①當(dāng)點P與點A重合時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=EC，∠ACE=90°，

過點E作BC的垂線交BC的延長線于F，則∠AFE=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為4，

∴∠BCA=∠DCA=45°，∠ABC=∠D=90°，AB=BC=CD=4，

∴∠DCE=∠ACE?∠DCA=45°，

∴∠ECF=∠DCF?∠DCE=45°，

∴∠ECF=∠ACB=45°，

在△ABC和△ECF中，

∠ECF=∠ACB=45°∠F=∠ABC=90°AC=EC，

∴△ABC≌△ECF(AAS)，

∴CF=BC=4，EF=AB=4，

∴BF=BC+CF=8，

在Rt△BEF中，BF=8，EF=4，

由勾股定理得：BE=BF2+EF2=45．

②∵點P在直線AD上運動，

∴有以下兩種情況：

(i)當(dāng)點P在DA的延長線上時，設(shè)AP=a，

過點E作BC的垂線交BC的延長線于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EC=CP，∠PCE=90°，