2022-2023學年河南省南陽三中九年級（上）第三次調研數學試卷（含解析）

2022-2023學年河南省南陽三中九年級第一學期第三次調研數學試卷一.選擇題（共10小題30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，則AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．102．在四張完全相同的卡片上，分別畫有等腰三角形、鈍角、線段和直角三角形，現(xiàn)從中任意抽取一張，卡片上的圖形一定是軸對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．13．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米4．如圖，數學活動小組利用測角儀和皮尺測量學校旗桿的高度，在點D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測角儀CD的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設旗桿AB的高度為x米，則下列關系式正確的是（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝5．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和6個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球（）A．24個 B．20個 C．25個 D．30個6．圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，則OC2的值為（）A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+17．如圖所示，△ABC的頂點在正方形網格的格點上，則tanA的值為（）A． B． C．2 D．28．如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔30海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB的值為（）A．30（+1）海里 B．30（+）海里 C．30（+1）海里 D．60海里9．一只螞蟻在如圖所示的方格地板上隨機爬行，每個小方格的形狀大小質地完全相同，當螞蟻停下來時，停在地板中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．10．公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則（sinθ﹣cosθ）2＝（）A． B． C． D．二.填空題（共5小題15分）11．一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進200米所上升的高度為米．12．如圖，有A、B、C三類長方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同學持有A、B類卡片各一張，乙同學持有B、C類卡片各一張，丙同學持有A、C類卡片各一張，現(xiàn)隨機選取兩位同學手中的卡片共四張進行拼圖，則能拼成一個正方形的概率是．13．某數學小組三名同學運用自己所學的知識檢測車速，他們將觀測點設在一段筆直的公路旁且距公路100米的點A處，如圖所示，直線l表示公路，一輛小汽車由公路上的B處向C處勻速行駛，用時5秒，經測量，點B在點A北偏東45°方向上，點C在點A北偏東60°方向上，這段公路最高限速60千米/小時，此車（填“超速”或“沒有超速”）（參考數據：≈1.732）14．從﹣1，2，﹣3，4這四個數中任取兩個不同的數分別作為a，b的值，得到反比例函數y＝，則這些反比例函數中，其圖象在二、四象限的概率是．15．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，則△ABC的面積是．三.解答題（共55分）16．計算：（1）；（2）．17．自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度為；將斜坡AB的高度AE降低AC＝10米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4．求斜坡CD的長．（結果保留根號）18．如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂B的仰角為36.87°，山頂B在水中的倒影C的俯角為63.44°，此時無人機距水面的距離AD＝100米，求點B到水面距離BM的高度．（參考數據：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）19．在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y．（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數y＝﹣x+5的圖象上的概率；（2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝，這個游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則．20．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設運動的時間為xs，四邊形APQC的面積為ymm2．（1）求y與x之間的函數關系式；寫出自變量x的取值范圍；（2）當四邊形APQC的面積等于112mm2時，求x的值；（3）四邊形APQC的面積能否等于172mm2？若能，求出運動的時間；若不能，說明理由．

參考答案一.選擇題（共10小題30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，則AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長代入求出AB的長即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10，故選：D．【點評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數定義是解本題的關鍵．2．在四張完全相同的卡片上，分別畫有等腰三角形、鈍角、線段和直角三角形，現(xiàn)從中任意抽取一張，卡片上的圖形一定是軸對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．1【分析】卡片共有四張，軸對稱圖形有等腰三角形、鈍角、線段，根據概率公式即可得到卡片上所畫圖形恰好是軸對稱圖形的概率．解：卡片中，軸對稱圖形有等腰三角形、鈍角、線段，根據概率公式，P（軸對稱圖形）＝．故選：C．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．3．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根據tanα＝，即可解決問題；解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα＝，∴AB＝＝（米）．故選：D．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．4．如圖，數學活動小組利用測角儀和皮尺測量學校旗桿的高度，在點D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測角儀CD的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設旗桿AB的高度為x米，則下列關系式正確的是（）A．tan55°＝ B．tan55°＝ C．sin55°＝ D．cos55°＝【分析】根據銳角三角函數和直角三角形的性質解答即可．解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，故選：B．【點評】此題考查了考查仰角的定義，三角函數的定義，注意數形結合思想的應用．5．在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和6個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球試驗發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球（）A．24個 B．20個 C．25個 D．30個【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．解：設有紅球x個，根據題意得：＝0.2，解得：x＝24，故選：A．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．6．圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，則OC2的值為（）A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的長度，在Rt△OBC中，根據勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．故選：A．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題的關鍵．7．如圖所示，△ABC的頂點在正方形網格的格點上，則tanA的值為（）A． B． C．2 D．2【分析】根據網格構造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據三角函數的意義可求出tanA的值．解：如圖，連接BD，由網格的特點可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故選：A．【點評】本題考查直角三角形的邊角關系，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，利用網格構造直角三角形是解決問題的關鍵．8．如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔30海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB的值為（）A．30（+1）海里 B．30（+）海里 C．30（+1）海里 D．60海里【分析】根據方向角的概念可知∠APC＝45°，由銳角三角函數的定義求出AC的值，在Rt△PBC中根據∠B＝30°求出BC的值，由AB＝AC+BC即可得出結論．解：由題意得，∠APC＝45°，PA＝30，∵sin∠APC＝，∴AC＝PA?sin45°＝30?＝30，∵∠B＝30°，PC＝AC＝40，tanB＝，∴BC＝＝30，∴AB＝AC+BC＝30+30＝30（1+）（海里）故選：C．【點評】本題考查的是方向角的概念、直角三角形的性質及銳角三角函數的定義，熟知方向角的概念是解答此題的關鍵．9．一只螞蟻在如圖所示的方格地板上隨機爬行，每個小方格的形狀大小質地完全相同，當螞蟻停下來時，停在地板中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先確定在陰影的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出螞蟻停在陰影部分的概率．解：設每個格點正方形的邊長為1，則陰影部分的面積為：42﹣×（1×4+2×4+2×3）＝7，所以當螞蟻停下來時，停在地板中陰影部分的概率是，故選：B．【點評】此題主要考查了幾何概率，用到的知識點為：概率＝相應的面積與總面積之比．10．公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則（sinθ﹣cosθ）2＝（）A． B． C． D．【分析】根據正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為5，再根據直角三角形的邊角關系列式即可求解．解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為5，∴5cosθ﹣5sinθ＝5，∴cosθ﹣sinθ＝，∴（sinθ﹣cosθ）2＝．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正方形的面積，難度適中．二.填空題（共5小題15分）11．一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進200米所上升的高度為20米．【分析】設上升的高度為x米，根據坡度的概念得到水平距離為7x米，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：設上升的高度為x米，∵上山直道的坡度為1：7，∴水平距離為7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝2002，解得：x1＝20，x2＝﹣20（舍去），故答案為：20．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．12．如圖，有A、B、C三類長方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同學持有A、B類卡片各一張，乙同學持有B、C類卡片各一張，丙同學持有A、C類卡片各一張，現(xiàn)隨機選取兩位同學手中的卡片共四張進行拼圖，則能拼成一個正方形的概率是．【分析】依據選擇乙丙手中的卡片共四張進行拼圖，則能拼成一個邊長為（a+b）的正方形，可得能拼成一個正方形的概率為．解：由題可得，隨機選取兩位同學，可能的結果如下：甲乙、甲丙、乙丙，∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴選擇乙丙手中的卡片共四張進行拼圖，則能拼成一個邊長為（a+b）的正方形，∴能拼成一個正方形的概率為，故答案為：．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、完全平方公式的運用，當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．13．某數學小組三名同學運用自己所學的知識檢測車速，他們將觀測點設在一段筆直的公路旁且距公路100米的點A處，如圖所示，直線l表示公路，一輛小汽車由公路上的B處向C處勻速行駛，用時5秒，經測量，點B在點A北偏東45°方向上，點C在點A北偏東60°方向上，這段公路最高限速60千米/小時，此車沒有超速（填“超速”或“沒有超速”）（參考數據：≈1.732）【分析】作AD⊥直線l于D，根據等腰直角三角形的性質求出BD，根據正切的定義求出CD，得到BC的長，求出小汽車的速度，比較即可得到答案．解：作AD⊥直線l于D，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝100米，在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，則CD＝＝100≈173.2（米），∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），小汽車的速度為：0.0732÷＝52.704（千米/小時），∵52.704千米/小時＜60千米/小時，∴小汽車沒有超速，故答案為：沒有超速．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．14．從﹣1，2，﹣3，4這四個數中任取兩個不同的數分別作為a，b的值，得到反比例函數y＝，則這些反比例函數中，其圖象在二、四象限的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中反比例函數y＝的圖象在二、四象限（ab＜0）的結果有8種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中反比例函數y＝的圖象在二、四象限（ab＜0）的結果有8種，∴P（圖象在二、四象限）＝＝，故答案為：．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及反比例函數的圖象與性質．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．15．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，則△ABC的面積是75或25．【分析】過點A作AD⊥BC，垂足為D，通過解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的長，進而可得出BC的長，再利用三角形的面積公式可求出△ABC的面積．解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．在Rt△ABD中，AD＝AB?sinB＝10，BD＝AB?cosB＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC?AD＝75或25．故答案為：75或25．【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面積，通過解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的長度是解題的關鍵．三.解答題（共55分）16．計算：（1）；（2）．【分析】（1）先代入特殊角三角函數值，然后先算乘方，化簡二次根式，再算乘法，最后算加減；（2）先代入特殊角三角函數值，然后先算乘方，再算乘法，最后算加減．解：（1）原式＝2﹣4×+1＝2﹣2+1＝1；（2）原式＝﹣4×12+×（）2﹣＝﹣4+＝﹣4+﹣＝﹣．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟記特殊角三角函數值，掌握二次根式混合運算的運算順序和計算法則是解題關鍵．17．自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度為；將斜坡AB的高度AE降低AC＝10米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4．求斜坡CD的長．（結果保留根號）【分析】根據題意和銳角三角函數定義可以求得AE的長，進而得到CE的長，再根據銳角三角函數可以得到DE的長，然后由勾股定理即求得CD的長即可．解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度為1：，∴tan∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100米，∴CE＝AE﹣AC＝100﹣10＝90（米），∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為1：4，∴＝，即＝，解得：DE＝360（米），∴CD＝＝＝（米），答：斜坡CD的長為米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數定義，求出DE的長是解答本題的關鍵．18．如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂B的仰角為36.87°，山頂B在水中的倒影C的俯角為63.44°，此時無人機距水面的距離AD＝100米，求點B到水面距離BM的高度．（參考數據：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）【分析】過點A作AH⊥BM交于點H，由題意可得：AD＝HM＝100，設BM＝x，在Rt△ABH中，，在Rt△AHC中，，進而可根據AH＝AH，求出x的值，即為BM的值．解：過點A作AH⊥BM交于點H，由題意可得：AD＝HM＝100米，設BM＝x米，則MC＝BM＝x米，∵BH＝BM﹣HM，∴BH＝（x﹣100）米，∴在Rt△ABH中，AH＝≈（x﹣100），∵HC＝HM+MC，∴HC＝（100+x）米，在Rt△AHC中，AH＝≈，∴（x﹣100）＝，解得x＝220，即BM＝220米，答：點B到水面距離BM的高度約為220米．【點評】本題主要考查了銳角三角形的實際運用，熟練掌握銳角三角形的相關知識點并列出等量關系式是解題的關鍵，屬于?？碱}型．19．在一個不透明的布袋里裝有4個標有1，2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為x，小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y．（1）計算由x、y確定的點（x，y）在函數y＝﹣x+5的圖象上的概率；（2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x、y滿足xy＞6，則小明勝；若x、y滿足xy＜6，則小紅勝，這個游戲公平嗎？請說明理由；若不公平，請寫出公平的游戲規(guī)則．【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，再得出得點（x，y）在函數y＝﹣x+5的圖象上的情況，利用概率公式即可求得答案；（2）首先分別求得x、y滿足xy＞6則小明勝，x、y滿足xy＜6則小紅勝的概率，比較概率大小，即可得這個游戲是否公平；公平的游戲規(guī)則：只要概率相等即可．解：（1）畫樹狀圖得：