蒙特卡洛模擬課件

蒙特卡洛模擬方法主講人：李彬大連大學(xué)數(shù)學(xué)建模工作室2013年9月2日1蒙特卡洛模擬方法主講人：李彬1蒙特卡洛模擬方法蒙特卡羅方法概述1蒙特卡洛方法思想框圖2相關(guān)案例分析及其軟件操作3蒙特卡洛的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍42013年9月2日2蒙特卡洛模擬方法蒙特卡羅方法概述1蒙特卡洛方法思想框圖2相關(guān)MonteCarlo方法的發(fā)展歷史早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”。從方法特征的角度來說可以一直追溯到18世紀(jì)后半葉的蒲豐（Buffon）隨機(jī)投針試驗(yàn)，即著名的蒲豐問題。2013年9月2日3MonteCarlo方法的發(fā)展歷史早在17世紀(jì)，人們就知道MonteCarlo方法的發(fā)展歷史

1777年，古稀之年的蒲豐在家中請來好些客人玩投針游戲（針長是線距之半），他事先沒有給客人講與π有關(guān)的事?？腿藗冸m然不知道主人的用意，但是都參加了游戲。他們共投針2212次，其中704次相交。蒲豐說，2212/704=3.142，這就是π值。這著實(shí)讓人們驚喜不已。2013年9月2日4MonteCarlo方法的發(fā)展歷史1777年，古稀之年的例.蒲豐氏問題

設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來描述,x為針中心的坐標(biāo),θ為針與平行線的夾角,如圖所示。任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，x的范圍限于［0，a/2］，夾角θ的范圍限于［0，π］。2013年9月2日5例.蒲豐氏問題設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ蒲豐氏問題數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上述問題簡圖：2013年9月2日6蒲豐氏問題數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上述問題簡圖：2013年9月2日6分析知針與平行線相交的充要條件是：其中：建立直角坐標(biāo)系，上述條件在坐標(biāo)系下將是曲線所圍成的曲邊梯形區(qū)域。由幾何概率知：蒲豐氏問題數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2013年9月2日7分析知針與平行線相交的充要條件是：蒲豐氏問題數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2013拉查里尼（Lazzarini）投計(jì)次數(shù)：3408次pi的實(shí)驗(yàn)值：3.1415921850185518941901歷史上的實(shí)驗(yàn)斯密思（Smith）投計(jì)次數(shù)：3204次pi的實(shí)驗(yàn)值：3.1553?？怂梗‵ox）投計(jì)次數(shù)：1120次pi的實(shí)驗(yàn)值：3.1419沃爾弗（Wolf）投計(jì)次數(shù)：5000次pi的實(shí)驗(yàn)值：3.1596MonteCarlo方法的發(fā)展歷史2013年9月2日8拉查里尼（Lazzarini）185018551894190MonteCarlo方法的發(fā)展歷史

20世紀(jì)四十年代，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，利用電子計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)大量的隨機(jī)抽樣的試驗(yàn)，使得用隨機(jī)試驗(yàn)方法解決實(shí)際問題才有了可能。其中作為當(dāng)時(shí)的代表性工作便是在第二次世界大戰(zhàn)期間，為解決原子彈研制工作中，裂變物質(zhì)的中子隨機(jī)擴(kuò)散問題，美國數(shù)學(xué)家馮.諾伊曼和烏拉姆等提出蒙特卡羅模擬方法.由于當(dāng)時(shí)工作是保密的，就給這種方法起了一個(gè)代號(hào)叫蒙特卡羅，即摩納哥的一個(gè)賭城的名字。用賭城的名字作為隨機(jī)模擬的名稱，既反映了該方法的部分內(nèi)涵，又易記憶，因而很快就得到人們的普遍接受。2013年9月2日9MonteCarlo方法的發(fā)展歷史20世紀(jì)四十年代，由于MonteCarlo方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由蒲豐實(shí)驗(yàn)可以知道，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)。通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡洛方法的基本思想。2013年9月2日10MonteCarlo方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計(jì)算機(jī)隨MonteCarlo方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。由蒲豐實(shí)驗(yàn)可以知道，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)。通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡洛方法的基本思想。2013年9月2日11MonteCarlo方法的基本思想蒙特卡羅方法又稱計(jì)算機(jī)隨MonteCarlo方法的思想框圖建立概率統(tǒng)計(jì)模型收集模型中風(fēng)險(xiǎn)變量的數(shù)據(jù)，確定風(fēng)險(xiǎn)因數(shù)的分布函數(shù)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)分析的精度要求，確定模擬次數(shù)N建立對隨機(jī)變量的抽樣方法，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)N個(gè)樣本值根據(jù)隨機(jī)數(shù)在各風(fēng)險(xiǎn)變量的概率分布中隨機(jī)抽樣，代入第一步中建立的數(shù)學(xué)模型統(tǒng)計(jì)分析，估計(jì)均值，標(biāo)準(zhǔn)差NNN2013年9月2日12MonteCarlo方法的思想框圖建立概率統(tǒng)計(jì)模型收集模型MonteCarlo方法的框圖實(shí)例某投資項(xiàng)目每年所得盈利額A由投資額P、勞動(dòng)生產(chǎn)率L、和原料及能源價(jià)格Q三個(gè)因素。2013年9月2日13MonteCarlo方法的框圖實(shí)例某投資項(xiàng)目每年所得盈利額MonteCarlo方法的思想框圖實(shí)例收集P,L,Q數(shù)據(jù)，確定分布函數(shù)f(P),f(L),f(Q)模擬次數(shù)N；根據(jù)分布函數(shù)，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)建立對隨機(jī)變量的抽樣方法，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生N個(gè)A值抽取P,L,Q一組隨機(jī)數(shù)，代入模型統(tǒng)計(jì)分析，估計(jì)均值，標(biāo)準(zhǔn)差NNN2013年9月2日14MonteCarlo方法的思想框圖實(shí)例收集P,L,Q數(shù)據(jù)，隨機(jī)數(shù)的定義及其性質(zhì)隨機(jī)數(shù)的定義用MonteCarlo方法模擬某過程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。最簡單、最基本、最重要的隨機(jī)變量是在［0，1］上均勻分布的隨機(jī)變量。由該分布抽取的簡單子樣稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問題。隨機(jī)數(shù)是隨機(jī)抽樣的基本工具。［0，1］上均勻分布（單位均勻分布），其分布密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：2013年9月2日15隨機(jī)數(shù)的定義及其性質(zhì)隨機(jī)數(shù)的定義2013年9月2日15由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中占有極其重要的位置，我們用專門的符號(hào)ξ表示。由隨機(jī)數(shù)序列的定義可知，ξ1，ξ2，…是相互獨(dú)立且具有相同單位均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。也就是說，獨(dú)立性、均勻性是隨機(jī)數(shù)必備的兩個(gè)特點(diǎn)。隨機(jī)數(shù)具有非常重要的性質(zhì)：對于任意自然數(shù)s，由s個(gè)隨機(jī)數(shù)組成的s維空間上的點(diǎn)（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在s維空間的單位立方體Gs上均勻分布，即對任意的ai，0≤ai≤1，i=1,2,…,s如下等式成立：隨機(jī)數(shù)的定義及其性質(zhì)2013年9月2日16由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中占有極其重要的位置，我們用專門的其中P(M)表示事件M發(fā)生的概率。反之，如果隨機(jī)變量序列ξ1,ξ2…對于任意自然數(shù)s，由s個(gè)元素所組成的s維空間上的點(diǎn)（ξn+1，…ξn+s）在Gs上均勻分布，則它們是隨機(jī)數(shù)序列。由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中所處的特殊地位，它們雖然也屬于由具有已知分布的總體中產(chǎn)生簡單子樣的問題，但就產(chǎn)生方法而言，卻有著本質(zhì)上的差別。隨機(jī)數(shù)的定義及其性質(zhì)2013年9月2日17其中P(M)表示事件M發(fā)生的概率。反之，如果隨機(jī)變量序列ξ1產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法隨機(jī)數(shù)表物理方法計(jì)算機(jī)方法2013年9月2日18產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法隨機(jī)數(shù)表2013年9月2日18隨機(jī)數(shù)表隨機(jī)數(shù)表是由0,1,2,…,9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字以0.1的概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨(dú)立。方法：如果要得到n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。例如：某隨機(jī)數(shù)表第一行數(shù)字為7634258910…，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)依次為：0.763，0.425，0.8912013年9月2日19隨機(jī)數(shù)表隨機(jī)數(shù)表是由0,1,2,…,9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字物理方法基本原理：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。缺點(diǎn)：無法重復(fù)實(shí)現(xiàn)費(fèi)用昂貴2013年9月2日20物理方法基本原理：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)由于在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)最實(shí)用、最常見的方法是數(shù)學(xué)法，即采用遞推的公式產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。但隨之也帶來問題：1，不滿足相互獨(dú)立的要求2，不可避免的出現(xiàn)重復(fù)問題因此，我們將計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)稱為偽隨機(jī)數(shù)2013年9月2日21計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)由于在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)最實(shí)用、最常見的方法產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法乘同余方法乘加同余方法取中方法加同余方法2013年9月2日22產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法乘同余方法2013年9月2日22Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日23Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日23Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日24Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日24exprnd指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)生成器geornd幾何分布的隨機(jī)數(shù)生成器poissrnd泊松分布的隨機(jī)數(shù)生成器unidrnd離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)生成器unifrnd連續(xù)均勻分布的隨機(jī)數(shù)生成器betarnd貝塔分布的隨機(jī)數(shù)生成器binornd二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)生成器Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日25Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)2013年9月2日25其它函數(shù)2013年9月2日26其它函數(shù)2013年9月2日26蒙特卡洛方法的實(shí)例講解計(jì)算圓周率在平面上畫一個(gè)半徑r的圓和邊長為2r的正方形，讓他們的中心重合。隨機(jī)的向正方形內(nèi)投點(diǎn)N次，觀察投在圓內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目m。計(jì)算點(diǎn)投在圓內(nèi)的概率。2013年9月2日27蒙特卡洛方法的實(shí)例講解計(jì)算圓周率2013年9月2日27氫原子電子云模擬氫原子的基態(tài)（n=0,l=0,m=0）的電子分布幾率密度函數(shù)是：其中a1=5.29*10-2nm,D的最大值Dmax=1.1,r0=0.25nm是D的收斂點(diǎn)2013年9月2日28氫原子電子云模擬氫原子的基態(tài)（n=0,l=0,m=0）的電子模擬是用點(diǎn)的密度來表示電子的幾率分布密度。模擬時(shí)先產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的電子軌道半徑r=r0rand(1),顯然有0≤r≤r0,由r計(jì)算出D(r)。再產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的概率判據(jù)D0=Dmaxrand(1),顯然有0≤D0

≤Dmax,然后進(jìn)行判斷，如果D(r)<D0,則舍棄它，反之就計(jì)算一個(gè)隨機(jī)的角度值，θ

=2πrand(1),最后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是x=rcosθ;y=rsinθ

。氫原子電子云模擬思路2013年9月2日29模擬是用點(diǎn)的密度來表示電子的幾率分布密度。模擬時(shí)先產(chǎn)生一個(gè)隨蒲豐投針問題2013年9月2日30蒲豐投針問題2013年9月2日30蒙特卡洛與21點(diǎn)大多數(shù)賭場使用6副牌或8副牌玩這種游戲，以防止“數(shù)牌點(diǎn)”，在你的模擬中使用兩副牌(共104張)。只有2位參與者，你和莊家。游戲開始時(shí)每人得到兩張牌，對于牌面為2~10的牌，點(diǎn)數(shù)和面數(shù)相同；對于為人臉(J、Q、K)的牌，點(diǎn)數(shù)為10；牌面為A的牌，點(diǎn)數(shù)為1或者11.游戲的目的是得到總數(shù)盡量接近21點(diǎn)的牌，不得超過(超過稱“爆了”)，并使你得到的總點(diǎn)數(shù)多于莊家。2013年9月2日31蒙特卡洛與21點(diǎn)大多數(shù)賭場使用6副牌或8副牌玩這種游戲，以防與蒙特卡洛相關(guān)的賽題2010年全國賽A題2013年9月2日32與蒙特卡洛相關(guān)的賽題2010年全國賽A題2013年9月2日3

優(yōu)點(diǎn)能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程。受幾何條件限制小。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。蒙特卡洛的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍2013年9月2日33

優(yōu)點(diǎn)蒙特卡洛的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍2013年9月2日33缺點(diǎn)收斂速度慢。誤差具有概率性。進(jìn)行模擬的前提是各輸入變量是相互獨(dú)立的。蒙特卡洛的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍2013年9月2日34缺點(diǎn)蒙特卡洛的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍2013年9月2日34能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問題，可以直接從實(shí)際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它有直觀、形象的特點(diǎn)。2013年9月2日35能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程從這受幾何條件限制小在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)2013年9月2日36受幾何條件限制小在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分，無論收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為o（N-1/2），與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子