2022-2023學(xué)年江蘇省揚州市高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省揚州市高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（

）.A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出，然后再求出模.【詳解】因為，化簡得，故，所以故選：2．設(shè)，為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】利用直線、平面的位置關(guān)系進行判斷以及通過舉反例進行排除.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，，則或相交，故B錯誤；對于C，利用線面垂直的性質(zhì)定理以及平行的傳遞性，可知C正確；對于D，若，，，當，不一定垂直于，故D錯誤.故選：C.3．在中，若，，，則此三角形解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【答案】B【分析】由，根據(jù)作圓法結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】，，有兩解.故選：B.4．設(shè)平面向量，滿足，，，則在上投影向量的模為（

）.A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】表示出在上投影向量，結(jié)合已知條件即可求得答案.【詳解】由題意可知：在上投影向量為，故在上投影向量的模為，故選：A5．中國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）

A．16 B． C． D．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺體積相等即可求解.【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故.故選：D6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和差角公式展開，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：A．7．已知四邊形中，，點在四邊形的邊上運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．-1【答案】C【分析】由題意分析可知四邊形關(guān)于直線對稱，且，只需考慮點E在邊上的運動情況即可，然后分類討論,求出最小值.【詳解】如圖所示，因為，且，所以垂直且平分，則為等腰三角形，又，所以為等邊三角形,則四邊形關(guān)于直線對稱，故點E在四邊形上運動時，只需考慮點E在邊上的運動情況即可，因為，，知，即，則，①當點E在邊上運動時，設(shè)，則，則,當時，最小值為；②當點E在邊上運動時，設(shè),則,則，當時，的最小值為；綜上，的最小值為；故選：C．【點睛】方法點睛：由題意可推得四邊形的幾何性質(zhì)，即要推出，然后要考慮E點位置，即要分類討論，進而根據(jù)向量的線性運算表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.8．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式可得，推出，則,結(jié)合銳角三角形確定B的范圍，繼而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由可得，結(jié)合,可得，即，由于在銳角中，，故，則,則,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因為，故，令，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，故，故選：C【點睛】方法點睛：（1）三角等式含有邊角關(guān)系式時，一般利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角或邊之間的關(guān)系進行化簡；（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或最值問題解決；（3）一般要注意利用基本不等式或者函數(shù)單調(diào)性比如對勾函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)最值或范圍.二、多選題9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限C．的共軛復(fù)數(shù)為D．若，則的最大值是【答案】CD【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項.【詳解】因為，則.對于A選項，的虛部為，A錯；對于B選項，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，B錯；對于C選項，的共軛復(fù)數(shù)為，C對；對于D選項，因為，，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當且僅當時，等號成立，即的最大值是，D對.故選：CD.10．關(guān)于函數(shù),下列說法正確的有（

）A．的最大值為，最小值為B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的最小正周期為D．的對稱中心為【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得D..D..A；同理結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期以及對稱中心可判斷B，C，D..【詳解】由題意得，則最大值為，最小值為，A正確；令，即，故單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；的最小正周期為，C錯誤；令，故的對稱中心為，D正確，故選：ABD.11．如圖，已知的內(nèi)接四邊形中，，，，下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積為 B．該外接圓的半徑為C． D．過作交于點，則【答案】BCD【分析】A選項，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補及余弦定理求出，，進而求出，利用面積公式進行求解；B選項，在A選項基礎(chǔ)上，由正弦定理求出外接圓直徑；C選項，作出輔助線，利用數(shù)量積的幾何意義進行求解；D選項，結(jié)合A選項和C選項中的結(jié)論，先求出∠DOF的正弦與余弦值，再利用向量數(shù)量積公式進行計算.【詳解】對于A，連接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四邊形的面積為，故A錯誤；對于B，設(shè)外接圓半徑為，則，故該外接圓的直徑為，半徑為，故B正確；對于C，連接，過點O作OG⊥CD于點F，過點B作BE⊥CD于點E，則由垂徑定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影長為1，且與反向，故，故C正確；對于D，由C選項可知：，故，且，因為，由對稱性可知：DO為∠ADC的平分線，故，由A選項可知：，顯然為銳角，故，，所以，所以，故D正確.故選：BCD12．如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，沿AE?AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使得B?C?D三點重合于點S，得到四面體（如圖2）.下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面SAFB．四面體的體積為C．二面角正切值為D．頂點S在底面AEF上的射影為的垂心【答案】BD【分析】（１）作輔助線，證為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，從而判斷A選項．（２）先證平面AEF，從而得到錐體的高，計算出所需長度，算出體積即可．（３）證為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角，計算的正切值．（４）先證O為S在平面AEF上的射影，由于AM，只需證，即可．【詳解】如圖，作EF的中點M，連結(jié)AM、SM，過S作AM的垂線交AM于點O，連結(jié)SO，過O作AF的垂線交AF于點N，連結(jié)SN由題知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角又平面ASM，平面ASM，SO，作法知，，平面AEF，所以SO為錐體的高．所以O(shè)為S在平面AEF上的射影.平面AEF，所以，由作法知，平面SON，平面SON，為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，故A錯．由題知，，又AS＝２，，SE＝１，，四面體S?AEF的體積為，故B正確．在直角三角形ASM中：故C不正確．因為，，所以，，由對稱性知，又AM故D正確．故選：BD．三、填空題13．圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)扇形弧長與底面半徑關(guān)系得，解出弧長，最后利用側(cè)面積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線為,則,所以,則圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.14．已知，則的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.【詳解】因為，所以，故答案為：5.15．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，那實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，觀察圖象即可得到結(jié)果.【詳解】作出的圖象，如下圖所示：

∵關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與有且只有一個交點，由圖可知，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、雙空題16．已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別，角．若是的平分線，交于，且，則的最小值為；若的外接圓的圓心是，半徑是1，則的取值范圍是．【答案】.【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代換，基本不等式即可得出結(jié)果.(2)根據(jù)銳角三角形的角度范圍，表示出，進而得出結(jié)果.【詳解】(1)由是的平分線，得，又，即，化簡得，，當且僅當，即，時，取等號．(2)，=，是銳角三角形，，，．故答案為：；.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，，i為虛數(shù)單位．(1)若是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出；（2）根據(jù)求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求出結(jié)果即可.【詳解】（1），，所以，因為是純虛數(shù)，所以，得.（2）由（1）知，，因為，所以，得，所以，，所以.18．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點，，．(1)求證：平面；(2)求點D到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）通過證明，，得證平面．（2）由，利用體積法求點D到平面ABE的距離．【詳解】（1）證明：∵，D，E分別為AC，的中點，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．（2）∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴邊上的高為．∴．設(shè)點D到平面ABE的距離為d，根據(jù)，得，解得，所以點D到平面ABE的距離為．19．在中，，，，為的三等分點（靠近點）．(1)求的值；(2)若點滿足，求的最小值，并求此時的．【答案】(1)(2)【分析】（1）將化為和表示，利用和的長度和夾角計算可得結(jié)果；（2）用、表示，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為為的三等分點（靠近點），所以，所以，所以.（2）因為，所以，因為，所以，所以當時，取得最小值.20．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求C；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由題給條件求得，進而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構(gòu)造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【詳解】（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為21．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點．在翻折過程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計算可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，為線段的中點，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面.（2）取中點，中點，連接，，，由，，為邊的中點，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為22．已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)若關(guān)于的方程在有實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求解函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)