河南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)摸底測(cè)試卷數(shù)學(xué)（二）

2023—2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測(cè)試卷數(shù)學(xué)（二）本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B．3 C． D．43．如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為和，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（）圖1圖2A． B． C． D．4．已知向量，則“”是“與的夾角為銳角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．2023年5月21日，中國羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種6．若，則（）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減10．如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為3，為棱的中點(diǎn)，分別在棱上，且滿足取得最小值．記四棱錐、三棱錐的體積分別為，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則（）A．的離心率為B．若軸，則C．若，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）D．點(diǎn)到的兩條漸近線的距離之積為12．若實(shí)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若隨機(jī)變量，且，則______．14．若直線與曲線相切，則______．15．已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）如圖，在四邊形中，的面積為．（1）求；（2）證明：．18．（本小題滿分12分）A市天文臺(tái)在該市朝陽區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100位天文愛好者的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的分位數(shù)（精確到0.01）；（2）已知該朝陽區(qū)天文愛好者的占比為，且該朝陽區(qū)年齡位于區(qū)間的人口數(shù)占該區(qū)總?cè)丝跀?shù)的．用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，從該朝陽區(qū)任選1人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人是天文愛好者的概率．（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到直線的距離之和的最小值為3．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，點(diǎn)在上．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立．①點(diǎn)在上；②直線與相切；③點(diǎn)在直線上．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．參考答案及解析數(shù)學(xué)（二）一、選擇題1．D【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選D．2．B【解析】因?yàn)?，所以，所以的虛部?．故選B．3．A【解析】正六棱臺(tái)的斜高為，所以該花燈的表面積為．故選A．4．B【解析】若與的夾角為銳角，則且與不共線，所以，解得且．故選B．5．C【解析】當(dāng)丙站在左端時(shí)，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，有種站法，所以一共有30種不同的站法．故選C．6．A【解析】因?yàn)?，所以．故選A．7．D【解析】如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，連接，則六邊形所在平面即為平面．由全等三角形可知，分別為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以六邊形的周長(zhǎng)為．故選D．8．C【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，且，都有，即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)，即時(shí)，由，得，所以，此時(shí)無解；當(dāng)，即時(shí)，由，得，所以，解得或．綜上所述，不等式的解集為．故選C．二、選擇題9．BD【解析】由圖象可得，且，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，，由圖象可知，解得，又，所以，故A錯(cuò)誤；所以，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不取最值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故D正確．故選BD．10．ABD【解析】正三棱柱的體積為，由圖可知，所以，所以A正確；沿著側(cè)棱將棱柱展開得到一個(gè)矩形，連接，因?yàn)槿〉米钚≈?，即線段，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，所以B正確，C不正確，D正確．故選ABD．11．ACD【解析】因?yàn)椋?，解得，故雙曲線．對(duì)于A，雙曲線的離心率，故A正確；對(duì)于B，由題可得，又軸，所以，則，解得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為或，所以點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，故D正確．故選ACD．12．ABD【解析】由，得，令，得，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選ABD．三、填空題13．0.39【解析】因?yàn)?，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線，因?yàn)?，所以?4．【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，且，由，得，所以，所以，所以，所以，則．15．【解析】以線段為直徑的圓的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以線段為直徑的圓外，所以圓心到直線的距離，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，則由題意可得，，又，所以．因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以．設(shè)，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以．四、解答題17．解：（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以．（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．18．解：（1）記該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的分位數(shù)為，則，解得，故估計(jì)該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的分位數(shù)為28.21歲．（2）記事件為：“任選一人，此人年齡位于區(qū)間”，事件為：“任選一人，此人是天文愛好者”，由條件概率公式可得，，故此人是天文愛好者的概率約為0.12．19．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，因?yàn)?，所以，解得，所以．?）因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；依次類推，當(dāng)時(shí)，，則，又，且集合中的元素互異，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)．20．解：（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗?，所以，所以，又，所以，所以．在中，，又，所以，所以，又平面，所以平面．過作，則平面，則兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．21．解：（1）設(shè)，由題意知準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和為，由題意知當(dāng)時(shí)，距離之和最小，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）由（1）可得．由題意可知直線的斜率不為0，故設(shè)，直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，即，解得，所以直線，即．若選擇①②作為條件，證明③成立：設(shè)，同理可得直線，設(shè)，則，所以點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)在直線上，即③成立．若選擇②③作為條件，證明①成立：設(shè)，同理可得直線，聯(lián)立，即，解得．設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，所以，所以點(diǎn)在上，即①成立．若選擇①③作為條件，證明②成立：設(shè)，同理若直線與相切，則直線，在直線中，令，得，所以．設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，則，所以，所以，則直線，又，所以，所以直線與相切，