適用于老高考新教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題二數(shù)列課件

專題二數(shù)列上篇內(nèi)容索引010203高考小題突破3等差數(shù)列、等比數(shù)列培優(yōu)拓展?數(shù)列中的創(chuàng)新與數(shù)學(xué)文化◎高考滿分大題二數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用04培優(yōu)拓展?數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題考情分析1.從題型和題量上看,高考對(duì)本專題的考查基本穩(wěn)定在“一大一小”的形式上,總分約15分或17分.2.從內(nèi)容上看,小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算,等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等.解答題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、等差(等比)數(shù)列的判斷與證明、數(shù)列求和、數(shù)列的綜合問(wèn)題等.同時(shí),可能命制結(jié)構(gòu)不良型的題目.難度中等.3.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等.備考策略1.熟記公式:熟練記憶等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式等,并要注意各個(gè)公式應(yīng)用的條件.2.重視對(duì)運(yùn)算正確率的訓(xùn)練:本專題中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)無(wú)處不在,需要加強(qiáng)訓(xùn)練.如乘公比錯(cuò)位相減法求和等,要掌握方法,規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn),不但要會(huì)做,還要做對(duì).3.注重歸納規(guī)律方法:本專題知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰,重點(diǎn)突出,題型規(guī)律明顯.要通過(guò)題目總結(jié)方法,并了然于胸,如什么情況下應(yīng)用什么樣的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和,對(duì)癥下藥,事半功倍.4.重視數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)列試題:本專題內(nèi)容非常適宜于與數(shù)學(xué)文化結(jié)合命題,尤其是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中涉及的一些常見(jiàn)數(shù)列題,要理解題意,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)列問(wèn)題.真題感悟1.(2022·全國(guó)乙·理8)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則a6=(

)A.14 B.12 C.6 D.3答案D

解析

設(shè)公比為q(q≠0),則a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q-a1q4故選D.2.(2021·全國(guó)甲·理7)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B

解析

當(dāng)數(shù)列{an}滿足q=1>0,a1=-1時(shí),an=-1,Sn=-n,{Sn}不是遞增數(shù)列;當(dāng){Sn}是遞增數(shù)列時(shí),n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1>0,q>0,所以甲是乙的必要條件但不是充分條件.3.(2022·全國(guó)乙·文13)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=

.

答案

2

解析

設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由題意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.4.(2022·新高考Ⅱ·17)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù).(1)證明

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得證.(2)解

由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,得2k-1=2m.∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1

000.∴2≤k≤10.又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)為9.5.(2021·新高考Ⅰ·17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求{an}的前20項(xiàng)和.解

(1)(方法一

最優(yōu)解)顯然2n為偶數(shù),則a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以{bn}是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,于是b1=2,b2=5,bn=2+(n-1)×3=3n-1.(方法二)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.則bn=a2n=(a2n-a2n-1)+(a2n-1-a2n-2)+…+(a2-a1)+a1=1+2+…+1+1+a1=n×1+2(n-1)+1=3n-1.所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=3n-1.(2)(方法一

奇偶分類(lèi)討論)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S20=a1+a2+a3+…+a20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=(b1-1+b2-1+b3-1+…+b10-1)+b1+b2+b3+…+b10=2×-10=300.(方法二

分組求和)由(1)知,數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列,由已知得an=an+1-1,n為奇數(shù),所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列也是以3為公差的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)知識(shí)精要1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式

應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),若公比不確定,一定要分析其為1的情況

名師點(diǎn)析數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)镹*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù).2.等差數(shù)列、等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)

等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)一樣多,避免出現(xiàn)am+an=am+n的錯(cuò)誤

誤區(qū)警示在應(yīng)用上述等比數(shù)列的性質(zhì)③時(shí),要注意m為偶數(shù)且q=-1的情況不適用此公式.3.判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法:an+1-an=d(d為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(2)通項(xiàng)公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(3)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.4.判斷數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法

(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=Aqn-A(A為非零常數(shù),q≠0,1)?{an}是等比數(shù)列.名師點(diǎn)析1.如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列;數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件.2.=an·an+2(n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件,也就是在判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí),要注意各項(xiàng)均不為0.5.常用的數(shù)列求和方法(1)分組轉(zhuǎn)化法若數(shù)列是幾個(gè)數(shù)列的和或差的組合,如:等差數(shù)列加等比數(shù)列,等比數(shù)列加等比數(shù)列.對(duì)于這類(lèi)數(shù)列求和,就是對(duì)數(shù)列進(jìn)行分解,然后分別對(duì)每個(gè)數(shù)列名師點(diǎn)析通項(xiàng)公式中含有(-1)n的數(shù)列求和時(shí),要把結(jié)果寫(xiě)成n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況的分段形式.(2)錯(cuò)位相減法如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解.誤區(qū)警示1.注意“錯(cuò)位對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確求解.2.利用錯(cuò)位相減法求和時(shí),要注意尋找規(guī)律,不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),尤其要注意相減后最后一項(xiàng)的符號(hào).3.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.(3)裂項(xiàng)相消法實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)公式分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng).①裂項(xiàng)原則:一般是前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng),直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.②消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).誤區(qū)警示

2.消項(xiàng)后,不一定剩余兩項(xiàng),也可能有剩余四項(xiàng)等情況.高考小題突破3

考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典例突破1(1)(2020·全國(guó)Ⅱ·文6)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1

D.21-n-1A.d=1 B.a10=20(3)(2020·山東·14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為

.

(2)(2022·福建莆田模擬)已知{an}是等差數(shù)列,公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,若答案

(1)B

(2)A

(3)3n2-2n

(3)數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列得到的新數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項(xiàng)和為增分技巧等差(等比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d(或公比q).(2)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a1和d(或q)的方程(組),解方程(組)得到a1和d(或q).對(duì)點(diǎn)練1(1)(2022·廣東汕頭一模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,4a1,2a3,a5成等差數(shù)列,則a1=(

)(2)(2022·湖南永州三模)已知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S7=S8,則(

)A.d>0B.a8>0C.S15>0D.S7,S8均為Sn的最大值答案

(1)A

(2)D

解析

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),易知a1≠0,由題意可得

考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考向1等差數(shù)列的性質(zhì)典例突破2(1)(2022·河北石家莊二模)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,若a2+a2021=6,則S2022=(

)A.3033 B.4044 C.6066 D.8088(2)(2022·安徽蚌埠三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=15,S9=99,則S6=

.

(3)(2022·重慶七中模擬)已知數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和分別解析

(1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以a2+a2

021=a1+a2

022=6,(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6).因?yàn)镾3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.(3)因?yàn)閿?shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn,所以可設(shè)Sn=An(4n+2),Tn=An(3n-1),增分技巧等差(等比)數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略(1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手,選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.對(duì)點(diǎn)練2(1)(2022·安徽滁州模擬)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S7=5,S14=20,則S28=(

)A.35 B.50 C.80 D.110(2)(2022·江西新余二模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2020>0,S2021<0,則當(dāng)Sn取最大值時(shí),n=(

)A.1011 B.1010 C.1009 D.1012(3)(2022·河北秦皇島二模)已知{an}是等差數(shù)列,a3+a9=12,則a13-a20=

.

答案

(1)C

(2)B

(3)3

解析

(1)因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,所以S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21也成等差數(shù)列,所以5,15,S21-20,S28-S21成等差數(shù)列,即S21-20=25,S28-S21=35,所以S28=80.a1

010>0,即a1

011+a1

010>0,a1+a2

021=2a1

011<0,即a1

011<0,可得a1

010>0且a1

011<0,所以等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,所以當(dāng)Sn取最大值時(shí),n=1

010.考向2等比數(shù)列的性質(zhì)典例突破3(1)(2021·全國(guó)甲·文9)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=(

)A.7 B.8 C.9 D.10(2)(2022·江西宜春模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a2a6=9,則log3a1+log3a2+…+log3a7=

.

答案

(1)A

(2)7

解析

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知q≠1.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故選A.(2)由已知得數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,對(duì)點(diǎn)練3(1)(2020·全國(guó)Ⅰ·文10)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=(

)A.12 B.24 C.30 D.32(2)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,則{an}的前8項(xiàng)和為(

)(3)(2022·四川石室中學(xué)模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=

.

答案

(1)D

(2)A

(3)81

解析

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.(2)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數(shù)列.因?yàn)閍1+a2=6,a3+a4=12,所以a5+a6=24,a7+a8=48.故{an}的前8項(xiàng)和為a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.(3)因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,且Sn≠0,所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,S3,S6-S3,S9-S6,…成等比數(shù)列,即(S6-S3)2=S3(S9-S6).又S3=9,S6-S3=36-9=27,所以S9-S6=81,所以a7+a8+a9=S9-S6=81.考點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式典例突破4(1)(2022·河南濮陽(yáng)高三檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-5n+2,則數(shù)列{|an|}的前12項(xiàng)和為(

)A.93 B.94 C.95 D.96(2)(2022·甘肅天水模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=n(an+1-an),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(

)解析

(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-5n+2-(n-1)2+5(n-1)-2=2n-6.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=即數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列.由an<0得n<3,即數(shù)列的前2項(xiàng)為負(fù),所以數(shù)列{|an|}的前12項(xiàng)和為|a1|+|a2|+…+|a12|=-a1-a2+a3+…+a12=2+2+=4+5×(0+18)=94.(方法三

特殊值法)當(dāng)n=1時(shí),a1=a2-a1.又a1=1,所以a2=2.由選項(xiàng)可知,當(dāng)n=2時(shí),只有選項(xiàng)D滿足a2=2.增分技巧

2.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)公式法:利用等差(等比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)累加法:在已知數(shù)列{an}中,滿足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(3)累乘法:在已知數(shù)列{an}中,滿足

=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(4)構(gòu)造法:將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列).對(duì)點(diǎn)練4(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

(2)(2022·遼寧葫蘆島一模)已知數(shù)列{an},a1=1,對(duì)于任意正整數(shù)m,n,都滿足(3)(2022·遼寧撫順一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an+n-7,若30<ak<50,則k的值為

.

解析

(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3×12-2×1+1=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,顯然當(dāng)n=1時(shí),不滿足上式.(2)令m=1,得an+1=a1+an+n=1+an+n,所以an+1-an=n+1.則an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,…,a3-a2=3,a2-a1=2,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(3)因?yàn)镾n=2an+n-7,所以Sn-1=2an-1+n-1-7(n≥2),兩式相減,整理得an=2an-1-1(n≥2),所以an-1=2(an-1-1).當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1+1-7=a1,解得a1=6,所以a1-1=5,所以數(shù)列{an-1}是以5為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an-1=5·2n-1,即an=5·2n-1+1.因?yàn)?0<ak<50,所以30<5·2k-1+1<50,培優(yōu)拓展?現(xiàn)在高考越來(lái)越重視情境命題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性.數(shù)列與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切,也成為情境問(wèn)題的常見(jiàn)命題背景.特別是數(shù)學(xué)文化問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的亮點(diǎn),此類(lèi)問(wèn)題把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)之美、文字之美與數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來(lái),可有效考查我們?cè)谛虑榫持袑?duì)數(shù)學(xué)文化的鑒賞、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)方法的遷移,因此備受命題者青睞.世界數(shù)學(xué)歷史上,尤其是我國(guó)浩瀚的傳統(tǒng)文化中,有豐富的與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化背景知識(shí),這也成為命題的熱點(diǎn).解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問(wèn)題的關(guān)鍵

【例1】

《九章算術(shù)》中有一道“良馬、駑馬行程問(wèn)題”.現(xiàn)有一類(lèi)似題目,若齊國(guó)到長(zhǎng)安的路程為3000里,良馬從長(zhǎng)安出發(fā)往齊國(guó)去,駑馬從齊國(guó)出發(fā)往長(zhǎng)安去,同一天相向而行.良馬第一天行155里,之后每天比前一天多行12里,駑馬第一天行100里,之后每天比前一天少行2里,則良馬和駑馬相遇在(

)A.第10天 B.第11天C.第12天 D.第60天答案A

解析

設(shè)駑馬、良馬第n(n∈N*)天分別行an,bn里,則數(shù)列{an}是以100為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列,an=102-2n,數(shù)列{bn}是以155為首項(xiàng),以12為公差的等差數(shù)列,bn=155+12(n-1)=12n+143,令

=3

000,整理可得n2+50n-600=0,所以n=10.題后反思設(shè)駑馬、良馬第n天分別行an,bn里,分析可知數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列,確定這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于n的等式,即可得解.【例2】

(2022·湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得至其關(guān).”則下列說(shuō)法不正確的是(

)A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第三天走的路程占全程的D.此人后三天共走了42里路答案

C

對(duì)于B,后五天所走的路程為378-192=186里,則第一天走的路程比后五天走的路程多192-186=6里,故B正確;破題技巧本題只給出了原文,需認(rèn)真閱讀,先理解題意,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題,再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行基本量的運(yùn)算.【例3】

(2022·湖南株洲一模)《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的“日月歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù),日月之法.十九歲為一章.四章為一蔀,七十六歲.二十蔀為一遂,遂千五百二十歲.……生數(shù)皆終,萬(wàn)物復(fù)始,天以更元作紀(jì)歷.”某老年公寓住有19位老人與1位義工,老人與義工的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中義工年齡不滿24歲,老人的年齡依次相差1歲,則義工的年齡為(

)A.18歲

B.19歲 C.20歲

D.21歲答案B

解析

設(shè)19位老人的年齡由小到大依次為a1,a2,…,a19,設(shè)義工的年齡為x,由已知可得a1+a2+…+a19+x=+x=19a10+x=1

520,則19a10=1

520-x.∵1≤x<24且x∈N*,則19a10∈[1

496,1

519),且a10∈N*.又19×78=1

482,19×79=1

501,19×80=1

520,∴a10=79,x=1

520-1

501=19.規(guī)律方法對(duì)于數(shù)學(xué)文化中涉及的數(shù)列模型,解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,從問(wèn)題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,然后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,再利用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解答,最后對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋,必要時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).高考滿分大題二考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明典例突破1(2021·全國(guó)甲·理18)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列{}是等差數(shù)列;③a2=3a1.證明

若選①②?③(方法一)設(shè)

=an+b(a>0),則Sn=(an+b)2,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=(a+b)2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).因?yàn)閧an}也是等差數(shù)列,所以(a+b)2=a(2a-a+2b),解得b=0.所以an=a2(2n-1),a1=a2,故a2=3a2=3a1.若選①③?②設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2=3a1,所以a1+d=3a1,所以d=2a1,若選②③?①(方法一

定義法)設(shè)

=an+b(a>0),則Sn=(an+b)2,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=(a+b)2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).因?yàn)閍2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,若b=0,則a1=a2,an=a2(2n-1),當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=2a2,滿足等差數(shù)列的定義,此時(shí){an}為等差數(shù)列;綜上可知,{an}為等差數(shù)列.an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當(dāng)n=1時(shí),an=(2n-1)a1也成立,∴an=(2n-1)a1,n∈N*.又an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.增分技巧判斷數(shù)列為等差(等比)數(shù)列的技巧(1)判斷給定的數(shù)列{an}是等差(等比)數(shù)列的常用方法有:①定義法,②等差(等比)中項(xiàng)法.(2)若數(shù)列{an},{bn}為等差數(shù)列,且項(xiàng)數(shù)相同,則{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差數(shù)列.對(duì)點(diǎn)練1(2021·全國(guó)乙·理19)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列{Sn}的前n(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)二分組轉(zhuǎn)化法求和典例突破2(2022·山東聊城二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且3Sn-1=Sn-1(n≥2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=log3,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.解

(1)當(dāng)n=2時(shí),3S1=S2-1=a1+a2-1,a1=1,∴a2=3.當(dāng)n≥3時(shí),3Sn-2=Sn-1-1,3Sn-1=Sn-1,增分技巧分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k個(gè)相同的數(shù)(-1)k+1·k,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求{bn}的前100項(xiàng)和S100.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和增分技巧裂項(xiàng)相消法求和的基本步驟

考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法求和典例突破4(12分)(2021·全國(guó)乙·文19)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;【規(guī)范解答】

【教師講評(píng)】1.本題以一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與另一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式間的關(guān)系為載體,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.2.第(1)問(wèn)利用與等比數(shù)列有關(guān)的三項(xiàng)成等差數(shù)列建立關(guān)于公比q的方程,解方程即可;第(2)問(wèn)利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出Tn,Sn,再作差比較即可.增分技巧錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的步驟與注意事項(xiàng)(1)適用條件:若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.(2)基本步驟(3)注意事項(xiàng)①在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn-qSn;②作差后,應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào).對(duì)點(diǎn)練4(2021·浙江·20)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{b