第五章三角函數(shù)5.2三角函數(shù)的概念(新教材教師用書(shū))

eq\o(\s\up7(),\s\do5(第五章三角函數(shù),5.2三角函數(shù)的概念))課時(shí)作業(yè)44三角函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的定義1.已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，則cosα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(1,2)答案A解析由三角函數(shù)的定義可知cosα＝－eq\f(\r(3),2).2．若角α的終邊上有一點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，則2sinα＋cosα的值是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)C．－eq\f(2,5) D．與a有關(guān)但不能確定答案B解析當(dāng)a>0時(shí)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；當(dāng)a<0時(shí)，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα的值是eq\f(2,5)或－eq\f(2,5).3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5m,12)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則m＝________.答案－1解析cosα＝－eq\f(5,13)<0，則α的終邊在第二或第三象限，又點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是正數(shù)，所以α是第二象限角，所以m<0，由eq\f(5m,\r(25m2＋144))＝－eq\f(5,13)，解得m＝－1.4．已知角α終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(3),4)y，求cosα和tanα的值．解sinα＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y.當(dāng)y＝0時(shí)，sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.當(dāng)y≠0時(shí)，由eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y，解得y＝±eq\f(\r(21),3).當(dāng)y＝eq\f(\r(21),3)時(shí)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(21),3)))，r＝eq\f(4\r(3),3)，∴cosα＝－eq\f(3,4)，tanα＝－eq\f(\r(7),3).當(dāng)y＝－eq\f(\r(21),3)時(shí)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(21),3)))，r＝eq\f(4\r(3),3)，∴cosα＝－eq\f(3,4)，tanα＝eq\f(\r(7),3).知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)的符號(hào)5.若sinθ<cosθ，且sinθ·cosθ<0，則角θ的終邊位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析由sinθ·cosθ<0，可知sinθ，cosθ一正一負(fù)，又sinθ<cosθ，可知cosθ>0，sinθ<0，則θ為第四象限角，故選D．6．α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，則eq\f(α,2)所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所?kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.所以kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)，所以eq\f(α,2)在第二、四象限．又因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，所以coseq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)在第二象限．7．當(dāng)α為第二象限角時(shí)，eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)的值是()A．1 B．0C．2 D．－2答案C解析∵α為第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴eq\f(|sinα|,sinα)－eq\f(cosα,|cosα|)＝eq\f(sinα,sinα)－eq\f(cosα,－cosα)＝2.8．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義，則角α在第________象限．答案四解析由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以α在第四象限.知識(shí)點(diǎn)三三角函數(shù)求值9.求下列各式的值．(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解(1)因?yàn)閏oseq\f(25π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋8π))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，所以coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)因?yàn)閟in420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.一、選擇題1．cos1110°的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)答案B解析cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2．若tanα>0，則()A．sinα>0 B．cosα>0C．sin2α>0 D．cos2α>0答案C解析因?yàn)閠anα>0，所以α為第一或第三象限角，即2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)或2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.那么4kπ<2α<4kπ＋π或4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.所以2α為第一或第二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸上，從而sin2α>0.3．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2答案D解析因?yàn)閞＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函數(shù)的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.故選D．4．若點(diǎn)P(sinα，tanα)在第三象限，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析因?yàn)辄c(diǎn)P(sinα，tanα)在第三象限，所以sinα<0，tanα<0，所以α是第四象限角，故選D．5．若角α的終邊在直線y＝2x上，則sinα等于()A．±eq\f(1,5) B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(1,2)答案C解析當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，可設(shè)直線上一點(diǎn)P(1,2)，sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)；當(dāng)角α的終邊在第三象限時(shí)，可設(shè)直線上一點(diǎn)P(－1，－2)，此時(shí)sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，∴sinα＝±eq\f(2\r(5),5).二、填空題6．如果角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2sin30°，－2cos30°)，則sinα＝________.答案－eq\f(\r(3),2)解析所給點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－eq\r(3))，故sinα＝－eq\f(\r(3),2).7．求值：coseq\f(13π,6)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝________.答案eq\f(3\r(3),2)解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(5π,3)))＝coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).8．已知α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα<0，則a的取值范圍是________．答案(－2,3)解析∵α終邊過(guò)(3a－9，a＋2)，則sinα＝eq\f(a＋2,\r(3a－92＋a＋22))>0，且cosα＝eq\f(3a－9,\r(3a－92＋a＋22))<0，即a＋2>0且3a－9<0，解得－2<a<3.三、解答題9．已知角α的終邊落在直線y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．解當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，在角α的終邊上取點(diǎn)P(1,1)，由r＝eq\r(2)，得sinα＝eq\f(\r(2),2)，cosα＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝1；當(dāng)角α的終邊在第三象限時(shí)，在角α的終邊上取點(diǎn)Q(－1，－1)，由r＝eq\r(2)，得sinα＝－eq\f(\r(2),2)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，tanα＝1.10．計(jì)算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)))＋tanπ－2cos0°＋taneq\f(9π,4)－sineq\f(7π,3).解(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋3×1－(－1)＝5.(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,2)))＋tanπ－2cos0°＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,2)＋tanπ－2cos0°＋taneq\f(π,4)－sineq\f(π,3)＝1＋0－2＋1－eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(3),2).課時(shí)作業(yè)45同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值1.若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，則cosα等于()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．±eq\f(3,5) D．±eq\f(3,4)答案A解析由α是第二象限角，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).2．已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝________.答案－eq\f(12,5)解析∵sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169)<0，又α∈(0，π)，則sinα>0，cosα<0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故sinα－cosα＝eq\r(sinα＋cosα2－4sinαcosα)＝eq\f(17,13)，可得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，tanα＝－eq\f(12,5).3．已知sinα＝eq\f(4,5)，求cosα，tanα的值．解因?yàn)閟inα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝eq\f(9,25).若α是第一象限角，則cosα>0，于是cosα＝eq\f(3,5)，從而tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)；若α是第二象限角，則cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).4．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求下列各式的值．(1)sinx－cosx；(2)eq\f(1,cos2x－sin2x).解(1)∵sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，∴(sinx＋cosx)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，∴2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)解法一：由已知條件及(1)，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)，,sinx－cosx＝－\f(7,5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＝－\f(3,5)，,cosx＝\f(4,5)，))∴eq\f(1,cos2x－sin2x)＝eq\f(1,\f(16,25)－\f(9,25))＝eq\f(25,7).解法二：由已知條件及(1)，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx＝\f(1,5)，,sinx－cosx＝－\f(7,5)，))∴eq\f(1,cos2x－sin2x)＝eq\f(1,cosx＋sinxcosx－sinx)＝eq\f(1,\f(1,5)×\f(7,5))＝eq\f(25,7).5．已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)eq\f(sin2α－2sinαcosα－cos2α,4cos2α－3sin2α)；(2)eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α.解(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.原式的分子、分母同除以cos2α，得原式＝eq\f(tan2α－2tanα－1,4－3tan2α)＝eq\f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq\f(2,23).(2)原式＝eq\f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq\f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq\f(29,40).知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明6.化簡(jiǎn)：eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°)).解原式＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.7．求證：eq\f(1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x).證明左邊＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f(cos2x－sin2x2,cos2x－sin2xcos2x＋sin2x)＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝右邊．∴原等式成立．一、選擇題1．化簡(jiǎn)eq\r(1－sin2160°)的結(jié)果是()A．cos160° B．±|cos160°|C．±cos160° D．－cos160°答案D解析eq\r(1－sin2160°)＝eq\r(cos2160°)＝|cos160°|＝－cos160°.2．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，則sinα·cosα等于()A．eq\f(\r(7),4) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(9,32) D．eq\f(9,32)答案C解析因?yàn)閟inα－cosα＝－eq\f(5,4)，平方可得1－2sinαcosα＝eq\f(25,16)，所以2sinαcosα＝－eq\f(9,16)，即sinαcosα＝－eq\f(9,32).3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，則sinθcosθ的值是()A．eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C．eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)答案C解析由條件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,1＋32)＝eq\f(3,10).4．已知eq\f(1＋sinx,cosx)＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(cosx,sinx－1)的值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2答案A解析因eq\f(1＋sinx,cosx)·eq\f(sinx－1,cosx)＝eq\f(sin2x－1,cos2x)＝－1，故eq\f(cosx,sinx－1)＝eq\f(1,2).5．若cosα＋2sinα＝eq\r(5)，則tanα＝()A．eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2答案B解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝\r(5)，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2\r(5),5)，,cosα＝\f(\r(5),5)，))所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.解法二：∵cosα＋2sinα＝eq\r(5)，∴(cosα＋2sinα)2＝5，則eq\f(cosα＋2sinα2,sin2α＋cos2α)＝5，即eq\f(cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝5，∴eq\f(1＋4tan2α＋4tanα,1＋tan2α)＝5，解得tanα＝2.解法三：設(shè)tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝t，則sinα＝tcosα，代入題設(shè)cosα＋2sinα＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(\r(5)t,2t＋1)，cosα＝eq\f(\r(5),2t＋1)，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2.解法四(秒殺解)：注意到本題中的勾股數(shù)為(1,2，eq\r(5))，因此可以用eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，\f(2,\r(5))))代入條件式驗(yàn)證，注意到eq\f(1,\r(5))＋2×eq\f(2,\r(5))＝eq\r(5)，因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2\r(5),5)，,cosα＝\f(\r(5),5)，))所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2.二、填空題6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.答案eq\f(2\r(2),3)解析∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3).7．化簡(jiǎn)eq\f(cosθ,1＋cosθ)－eq\f(cosθ,1－cosθ)的結(jié)果是________．答案－eq\f(2,tan2θ)解析原式＝eq\f(cosθ－cos2θ－cosθ－cos2θ,1＋cosθ1－cosθ)＝eq\f(－2cos2θ,1－cos2θ)＝eq\f(－2cos2θ,sin2θ)＝－eq\f(2,tan2θ).8．在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r(2),3)