上海市普通中學(xué)三校聯(lián)考2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

上海市普通中學(xué)三校聯(lián)考2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知命題，，命題，，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為A. B.C. D.3．“”是“且”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B.C. D.5．已知，則的值是A. B.C. D.6．已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件7．已知命題：“，方程有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.8．對(duì)于空間中的直線，以及平面，，下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則9．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減；③在有個(gè)零點(diǎn)；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③10．已知冪函數(shù)的圖象過，則下列求解正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的終邊過點(diǎn)，則_______12．設(shè)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則A到直線的最大距離為________13．函數(shù)為奇函數(shù)，且對(duì)任意互不相等的，，都有成立，且，則的解集為______14．已知a，b，c是空間中的三條直線，α是空間中的一個(gè)平面①若a⊥c，b⊥c，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；④若a∥b，a∥α，則b∥α；說法正確的序號(hào)是______15．定義在上的函數(shù)滿足則________.16．若、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)且.(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明;(3)若0＜a＜1,解關(guān)于x的不等式.18．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)與點(diǎn).（1）求，的值；（2）若，且，滿足條件的的值.19．一家貨物公司計(jì)劃在距離車站不超過8千米的范圍內(nèi)征地建造倉(cāng)庫(kù)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：征地費(fèi)用（單位：萬元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離（單位：千米）的關(guān)系為.為了交通方便，倉(cāng)庫(kù)與車站之間還要修一條道路，修路費(fèi)用（單位：萬元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離（單位：千米）成正比.若倉(cāng)庫(kù)到車站的距離為3千米時(shí)，修路費(fèi)用為18萬元.設(shè)為征地與修路兩項(xiàng)費(fèi)用之和.（1）求的解析式；（2）倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用最小，并求最小值20．已知函數(shù).（1）求的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求的值.21．已知，．若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】先判斷命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷得解.【題目詳解】解：方程的，故無解，則命題p為假；而，故命題q為真；故命題、、均為假命題，為真命題.故選：D2、D【解題分析】本題首先可以根據(jù)函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)判斷出函數(shù)的對(duì)稱軸，然后通過在上單調(diào)遞減判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，最后根據(jù)即可列出不等式并解出答案【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以到?duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離，即，，化簡(jiǎn)可得，，解得，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的相關(guān)性質(zhì)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱且軸左右兩側(cè)單調(diào)性相反，考查推理能力與計(jì)算能力，考查函數(shù)方程思想與化歸思想，是中檔題3、A【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)分析判斷【題目詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，而不成立，當(dāng)且時(shí)，，所以，所以“”是“且”的必要而不充分條件，故選：A4、C【解題分析】先還原幾何體為一直四棱柱，再根據(jù)柱體體積公式求結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為，底面為直角梯形，上下底分別為、，梯形的高為，因此幾何體的體積為，選C.【題目點(diǎn)撥】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，再在具體幾何體中求體積或表面積等.5、C【解題分析】由可得，化簡(jiǎn)則，從而可得結(jié)果.【題目詳解】，，故選C.【題目點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角6、C【解題分析】在中，由求出角A，再利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【題目詳解】因角是的內(nèi)角，則，當(dāng)時(shí)，或，即不一定能推出，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C7、B【解題分析】由根的判別式列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】“，方程有解”是真命題，故，解得：，故選：B8、D【解題分析】利用線面關(guān)系，面面關(guān)系的性質(zhì)逐一判斷.【題目詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，可能有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，的夾角不一定為90°，故C錯(cuò)誤；故對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?，，故，因?yàn)?，故，故D正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題.9、A【解題分析】利用偶函數(shù)的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對(duì)值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去絕對(duì)值，即可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對(duì)于命題①，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對(duì)于命題②，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對(duì)于命題③，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，若函數(shù)取最大值時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號(hào)為①②④.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關(guān)的命題真假的判斷，解題時(shí)要結(jié)合自變量的取值范圍去絕對(duì)值，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.10、A【解題分析】利用冪函數(shù)過的點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式即可逐項(xiàng)判斷正誤【題目詳解】∵冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由三角函數(shù)定義可直接得到結(jié)果.【題目詳解】的終邊過點(diǎn)，故答案為：.12、【解題分析】求出圓心到直線的距離，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】依題意可知圓心為，半徑為1.則圓心到直線距離，則點(diǎn)直線的最大距離為.故答案：.13、【解題分析】由條件可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，分和利用單調(diào)性可解.【題目詳解】因?yàn)?，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，不等式，得；當(dāng)時(shí)，不等式，得.綜上，不等式的解集為.故答案：14、③【解題分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義，性質(zhì)判斷或舉反例說明【題目詳解】對(duì)于①，若a，b為平面α的直線，c⊥α，則a⊥c，b⊥c，但a∥b不一定成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a∥α，b∥α，則a，b的關(guān)系不確定，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，不妨設(shè)a在α上的射影為a′，則a′?α，a∥a′，由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正確；對(duì)于④，若b?α，顯然結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤.故答案為③【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題，15、【解題分析】表示周期為3的函數(shù)，故，故可以得出結(jié)果【題目詳解】解：表示周期為3的函數(shù)，【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的周期性，解題的關(guān)鍵是要能根據(jù)函數(shù)周期性的定義得出函數(shù)的周期，從而進(jìn)行解題16、【解題分析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【題目詳解】由題意：，所以或，且，所以，即，因?yàn)榛?，所?故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)奇函數(shù).（3）【解題分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于0，列出不等式組可得函數(shù)的定義域；（2）函數(shù)為奇函數(shù)，利用可得結(jié)論；（3）不等式等價(jià)于，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，解不等式即可.試題解析：（1）由題得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）函數(shù)為奇函數(shù).證明:由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù);(3)由可得,即，又0＜a＜1，所以,故,即,解得，所以原不等式的解集為.點(diǎn)睛：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)奇偶性的證明，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式解法，注重對(duì)基礎(chǔ)的考查；要使對(duì)數(shù)函數(shù)有意義，需滿足真數(shù)部分大于0，函數(shù)奇偶性的證明即判斷和的關(guān)系，而對(duì)于指、對(duì)數(shù)類型的不等式主要是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.18、（1），；（2）.【解題分析】(1)由給定條件列出關(guān)于，的方程組，解之即得；(2)由(1)的結(jié)論列出指數(shù)方程，借助換元法即可作答.【題目詳解】（1）由題意可得，解得，，（2）由（1）可得，而，且，于是有，設(shè)，，從而得，解得，即，解得，所以滿足條件的.19、（1），；（2）當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米時(shí)，總費(fèi)用最少，最小值為70萬元.【解題分析】（1）先設(shè)，依題意求參數(shù)，即得的解析式；（2）先整理函數(shù)，再利用基本不等式求最值，即得函數(shù)最小值及取最小值的條件.【題目詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)修路費(fèi)用，，解得，.，；（2）=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米時(shí)，總費(fèi)用最少，最小值為70萬元.20、（1）周期為，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）利用三角恒等變換思想可得出，利用周期公式可求出函數(shù)的周期，分別解不等式和，可得出該函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的余弦公式可求出的值.詳解】（1），所以，函