重慶市第十一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

重慶市第十一中學(xué)高2024屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題2023.9一、單項(xiàng)選擇：本題共8小題，每小題5分，共40分1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意，∴．故選：A．2.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.150° D.120°【答案】B【解析】【分析】先由直線方程求出斜率，再由斜率求出直線的傾斜角得解.【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查由直線方程求直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線，，若且，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由兩直線的平行與垂直求得值后可得結(jié)論.【詳解】由題意,，，，所以．故選：C．4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.8 B.0.7 C.0.9 D.0.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以.故選：A5.已知圓與圓的公共弦所在直線經(jīng)過定點(diǎn)P，且點(diǎn)在直線上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將兩圓的方程相減求得兩圓的公共弦方程，繼而求得，從而得到，由此利用配方法即可得解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，兩圓相減得，兩圓的公共弦方程為，故定點(diǎn)滿足，即，故.又點(diǎn)在直線上，故，即，所以，故的取值范圍是.故選：A.6.已知曲線與直線相切，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出切線方程，由切線方程是得出關(guān)系，消去得的關(guān)系式，然后令，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，即可得結(jié)論．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，時(shí)，，，切線方程，又切線方程為，即，所以，消去得，易知，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，，從而取得最大值．故選：C．7.已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中得兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90，在對錯(cuò)誤得數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的定義判斷．【詳解】因?yàn)?，因此平均?shù)不變，即，設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為，因此，，，∴，故選：C．8.橢圓和圓，（為橢圓的半焦距），對任意的恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓的半徑大于橢圓的短半軸長且小于橢圓的長半軸長得不等關(guān)系，從而得的不等關(guān)系，再結(jié)合可得離心率的范圍．【詳解】由題意對于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故選：B．二、多項(xiàng)選擇：本題共4小題，每小題5分，共20分9.已知圓，則下列說法正確的是（）A.直線與圓相切B.圓截y軸所得的弦長為C.點(diǎn)在圓外D.圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為【答案】AC【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系可以判斷AB，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以判斷C，由直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的公式可判斷D【詳解】因?yàn)椋?，則圓心，半徑，對于A：因?yàn)閳A心到直線的距離為，故A正確；對于B：圓截y軸所得的弦長為，故B錯(cuò)誤；對于C：，故C正確；對于D：因?yàn)閳A心到直線的距離為，則圓上點(diǎn)到直線的最小距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理以及賦值法相關(guān)知識直接計(jì)算求解即可.【詳解】對于A，令，得到，故A正確；對于B，的通項(xiàng)公式為，令，得到，令，得到，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，令，得到，故C正確；對于D，令，則，又因?yàn)椋瑑墒较鄿p得，則，故D正確.故選：ACD11.公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，與不在軸同側(cè)的焦點(diǎn)為，的一個(gè)虛軸端點(diǎn)為，為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且斜率存在的弦，為中點(diǎn)．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，正確的有（）A. B.C. D.若，則恒成立【答案】ABC【解析】【分析】由黃金分割雙曲線定義求得雙曲線的離心率，判斷A，證明，利用射影定理證明，判斷B，利用點(diǎn)差法求判斷C，聯(lián)立方程求出坐標(biāo)，計(jì)算，判斷D.【詳解】由為黃金分割雙曲線可得，即，對兩邊同除以可得，則，A正確；對繼續(xù)變形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正確；設(shè)，，，將坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正確；設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，可得，則，，將換成即得，則與，的值有關(guān)，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．【點(diǎn)睛】點(diǎn)差法是解決中點(diǎn)弦問題的常用的方法.12.對函數(shù)，以下說法正確的有（）A.在處取得極小值B.只有一個(gè)零點(diǎn)C.D.若在上恒成立，則【答案】BCD【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由它確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，判斷A，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷C，利用單調(diào)性比較大小，判斷C，用分離參數(shù)法變形不等式，然后求得新函數(shù)的最值得參數(shù)范圍判斷D．【詳解】時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，因此在處取得極大值，A錯(cuò)；，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，無零點(diǎn)，B正確；顯然，因此，C正確；在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，因此，所以由在上恒成立，得．D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4題，每題5分13.設(shè)函數(shù)，則=__；【答案】1【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后再求出【詳解】由，得，所以，故答案為：114.已知傾斜角是的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則弦長_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，利用拋物線的性質(zhì)，求出，再結(jié)合韋達(dá)定理求出即可．【詳解】解：設(shè)，，A，B到準(zhǔn)線的距離分別為，，由拋物線的定義可知，，于是，由已知得拋物線的焦點(diǎn)為，斜率，所以直線AB方程為，將代入方程，化簡得．由求根公式得，于是，故答案為：．15.臨夏刺繡是傳統(tǒng)民間工藝，歷史悠久，享有“一針一世界，一繡一繁華”的美譽(yù)，2018年被列為市級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄、刺繡精巧別致、種類多樣．現(xiàn)有兩人都準(zhǔn)備從“床布、門簾、中堂、墻幬”四個(gè)物體中隨機(jī)購買一個(gè)，設(shè)事件為“兩人至少有一人購買墻幬”，事件為“兩人選擇的物件不同”，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】，，所以.故答案為：.16.已知雙曲線，過雙曲線的上焦點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為M，交雙曲線的下支于點(diǎn)為的中點(diǎn)，則三角形的外接圓的周長為_________【答案】##【解析】【分析】先求得，根據(jù)雙曲線的定義求得，從而求得，由得到三角形的外接圓的直徑，從而求得三角形的外接圓的周長.【詳解】依題意，雙曲線，，則，，，所以，所以，設(shè)是雙曲線的下焦點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)拋物線的定義可知，，在三角形中，由余弦定理得：，解得，由于是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，由于三角形是直角三角形，，所以是三角形外接圓的直徑，所以外接圓的周長為.故答案為：【點(diǎn)睛】有關(guān)直線和圓相切的問題，要把握住圓心和切點(diǎn)的連線與切線垂直.研究雙曲線焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題，可考慮通過雙曲線的定義來列方程，建立等量關(guān)系式，從而解決所求問題.直角三角形外接圓的直徑是直角三角形的斜邊.四、解答題：本題共6小題，共70分17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）得出的極值及變化趨勢，利用的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)可得參數(shù)范圍．【小問1詳解】由已知，時(shí)，，時(shí)，，所以減區(qū)間是，增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）知時(shí)，取得極小值也是最小值，顯然時(shí)，，，時(shí)，，在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象及直線，如圖，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解．18.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)E是線段中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理與平行四邊形證得，從而利用線面平行的判定定理即可得證；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫€段中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，不妨設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，結(jié)合圖形可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19.如圖，為拋物線上四個(gè)不同點(diǎn)，直線AB與直線MN相交于點(diǎn)，直線AN過點(diǎn)（1）記A，B的縱坐標(biāo)分別為，求；（2）記直線AN，BM的斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在說明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，從而求得正確答案.（2）先求得，然后由求得正確答案.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，則.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，同（1）可求得，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，所以.，同理可求得，則，所以存在使得.20.第9屆女足世界杯正在澳大利亞和新西蘭如火如荼的進(jìn)行，中國女足再次征戰(zhàn)世界杯賽場.為了解我國女子足球水平發(fā)展?fàn)顩r，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)10個(gè)省市注冊女足職業(yè)運(yùn)動(dòng)員的數(shù)量情況（如下表）;省市遼寧山東湖北廣東吉林河南江蘇上海河北四川人數(shù)320175314212140327344159350189（1）為支持女足的發(fā)展，中國足球協(xié)會(huì)積極推廣校園足球基地建設(shè).現(xiàn)注冊女足職業(yè)運(yùn)動(dòng)員有200人以上的地區(qū)稱為開展女足運(yùn)動(dòng)發(fā)達(dá)地區(qū)，不足200人的稱為開展女足運(yùn)動(dòng)不發(fā)達(dá)地區(qū)，如果中國足球協(xié)會(huì)準(zhǔn)備在上述10個(gè)省市隨機(jī)選擇4個(gè)地區(qū)推進(jìn)女足校園足球基地建設(shè)，記X為選中的女足校園基地為不發(fā)達(dá)地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某校為組建女足運(yùn)動(dòng)隊(duì)，對學(xué)校女足愛好者進(jìn)行初步集訓(xùn)并測試，在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試，每輪的測試項(xiàng)目有：1分鐘顛球、30米往返跑、12分鐘跑.規(guī)定：在每一輪測試中，這3項(xiàng)中至少有2項(xiàng)達(dá)到“合格”，則概論測試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪測試的3項(xiàng)中，甲隊(duì)員每個(gè)項(xiàng)目達(dá)到“合格”的概率均為，每項(xiàng)測試互不影響且每輪測試互不影響.如果甲隊(duì)員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”輪次的平均值不低于3輪，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？【答案】（1）分布列解析，期望為；（2）5.【解析】【分析】（1）確定的可能值為，分別求出概率后可得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望；（2）求出甲在一輪測試中“優(yōu)秀”的概率，則其集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，然后求出不等式的最小正整數(shù)解即得．【小問1詳解】的可能值為,，，，，，所以的分布列為：01234；【小問2詳解】記甲一輪測試“優(yōu)秀”為事件，則，由題意甲隊(duì)員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以，，因?yàn)?，所以的最小值?，所以至少進(jìn)行5輪測試．21.已知圓：，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線和相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程.（2），是的軌跡方程與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），直線過點(diǎn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，求證：動(dòng)直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何性質(zhì)，得出點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓定義可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，寫出方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出方程，令代入方程，結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論求得，完成證明．【詳解】（1）由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，，，將代入，得，，，直線的方程為，令得，即，的直線方程為，代入得，所以直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，考查橢圓中直線過定點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的定義，艇橢圓定義求得橢圓方程，對定點(diǎn)問題，采取設(shè)而不的思想方法，即設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理得，求出動(dòng)直線的方程，代入定點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論完成證明．22.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，有.【答案】（1）（i）；（ii）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（ii）求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【小問1詳解】（i）當(dāng)時(shí)，，則，，所以在處切線的斜率，所以切線方程為.（ii）由（i）可知，所以，令解得，所以當(dāng)時(shí)