2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市第五十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市第五十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知且，則復(fù)數(shù)

A.必為實(shí)數(shù)

B.必為虛數(shù)C.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)

D.可能是實(shí)數(shù)，也可能是虛數(shù)參考答案：A2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)

(

)A．

B．

C．

D．1參考答案：C略3.將函數(shù)的圖象向_________單位可得到函數(shù)的圖象。A．向左平移

B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移參考答案：A4.復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)為（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i參考答案：D【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z，由此能求出z的共軛復(fù)數(shù)．【解答】解：z=====﹣2﹣i，∴復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)為﹣2+i．故選：D．5.若a，b，c，滿足，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A分析：先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的取值范圍，再通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，進(jìn)而比較三個(gè)數(shù)的大小．詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以．點(diǎn)睛：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力．6.在矩形中，.若，則的值為（

）A．2

B．4

C．5

D．7參考答案：D考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算．7.已知是虛數(shù)單位，則等于（

） A． B． C． D．參考答案：A8.已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－∞,e]

B．(－∞,e)

C.(－e,+∞)

D．[－e,+∞)參考答案：A由函數(shù)，可得，有唯一極值點(diǎn)有唯一根，無根，即與無交點(diǎn)，可得，由得，在上遞增，由得，在上遞減，，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故選A.

9.已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，則（）A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B參考答案：B【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算；74：一元二次不等式的解法．【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求出集合A，再根據(jù)的定義求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故選B．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式的解法，以及并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．4π B．12π C．24π D．48π參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求出外接球的半徑，得出球的表面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中點(diǎn)O，AC中點(diǎn)D，連結(jié)OA，OD，BD，OB，則AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱錐P﹣ABC外接球的球心，外接球半徑r=OA=，∴外接球表面積S=4πr2=12π．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，球與內(nèi)接多面體的關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且對任意都有，函數(shù)，方程的根從小到大組成數(shù)列{an}，則的取值范圍是

．參考答案：

12.已知函數(shù)，若方程有且僅有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位),則刻幾何體的體積為

．參考答案：考點(diǎn)：三視圖的識讀和幾何體的體積的計(jì)算．14.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，，點(diǎn)在線段上，且.若，則

．參考答案：，有正弦定理得，則，所有。由題意，是角平分線，，設(shè)，則，由，所有，，由得，，解得，所以。

15.已知函數(shù)f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），給出下列結(jié)論：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，]；②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；③對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，]．其中所有正確結(jié)論的序號是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】閱讀型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判斷①；化簡g（x），判斷g（x）的單調(diào)性即可判斷②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解的a的范圍，即可判斷③；由③得，有解的條件為：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范圍，即可判斷④．【解答】解：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）=﹣x是遞減函數(shù)，則f（x）∈[0，]，當(dāng)x∈（，1]時(shí)，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，則f（x）在（，1]上遞增，則f（x）∈（，]．則x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[0，]，故①正確；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acosx﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，則g（x）在[0，1]上是遞增函數(shù)，故②正確；由②知，a＞0，x∈[0，1]時(shí)g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)無解，故③錯；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，則解得≤a≤．故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域和單調(diào)性及運(yùn)用，考查存在性命題成立的條件，轉(zhuǎn)化為最值之間的關(guān)系，屬于易錯題和中檔題．16.觀察下列等式，按此規(guī)律，第n個(gè)等式的右邊等于

．參考答案：3n2﹣2n【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】由圖知，第n個(gè)等式左邊是n個(gè)奇數(shù)的和，第一個(gè)奇數(shù)是2n﹣1，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算出第n個(gè)等式的和，即可得結(jié)果．【解答】解：由圖知，第n個(gè)等式的等式左邊第一個(gè)奇數(shù)是2n﹣1，故n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和故有n×=n×（3n﹣2）=3n2﹣2n．故答案為3n2﹣2n．17.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且滿足：，，則該雙曲線的離心率是________．參考答案：2考點(diǎn)：雙曲線因?yàn)椋訤為AB的中點(diǎn)，所以軸，即

又，所以所以

即等式兩邊除以得：解得e=2.

故答案為：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）下圖為某校語言類專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績（百分制）分布直方圖，已知80-90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人（1）求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；（2）現(xiàn)欲將90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的名人分配到幾所學(xué)校，從中安排2人到甲學(xué)校去，若人中僅有兩名男生，求安排結(jié)果至少有一名男生的概率．參考答案：（1）6；（2）．試題分析：（1）分?jǐn)?shù)段頻率為,此分?jǐn)?shù)段的學(xué)員總數(shù)為人所以畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)為，分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為所以分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)（2）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人中有兩名男生,名女生設(shè)男生為;女生為,設(shè)安排結(jié)果中至少有一名男生為事件從中取兩名畢業(yè)生的所有情況（基本事件空間）為共種組合方式,每種組合發(fā)生的可能性是相同的其中,

至少有一名男生的種數(shù)為共種，所以,。19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，令bn=log9an+1．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Hn，求H2017．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出數(shù)列通項(xiàng)公式，代入bn=log9an+1，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為Hn，則H2017可求．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n≥2時(shí)，．a(chǎn)1=1適合上式，∴．則bn=log9an+1=，即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）由，得．則．于是=，則．20.已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值為4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】一般形式的柯西不等式．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值；（2）運(yùn)用柯西不等式，注意等號成立的條件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，當(dāng)且僅當(dāng)﹣a≤x≤b時(shí)，等號成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值為a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥當(dāng)且僅當(dāng)==，即a=，b=，c=時(shí)，等號成立．所以a2+b2+c2的最小值為．【點(diǎn)評】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.如圖，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長與直線PQ相交于點(diǎn)Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求證：QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求弦AB的長．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：（Ⅰ）利用切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC，即可證明QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的長．解答： （Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴由切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC