新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第43講解析幾何中的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題教師版

第43講解析幾何中的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題一．解答題（共21小題）1．（2021?金牛區(qū)校級(jí)期末）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長為8．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心，則即：，即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：，（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)，，，設(shè)不垂直于軸的直線：，則有：，所以：，，因?yàn)檩S是的角平分線，所以：即：即：，則：，所以：所以直線過定點(diǎn)．2．（2021?雅安模擬）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）橢圓過點(diǎn)，且離心率為，則，．則橢圓的方程；（2）方法一：當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然，與以線段為直徑的圓的外面，當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為：，點(diǎn)，，，，中點(diǎn)為，．由，得，所以，，從而，所以，，故，所以，故，在以為直徑的圓外．解法二：當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，顯然，與以線段為直徑的圓的外面，當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為：，設(shè)點(diǎn)，，，，則，，，，由，得，，，，，，又，不共線，所以為銳角，故點(diǎn)，在以為直徑的圓外．3．（2021?全國月考）如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線平行于為原點(diǎn)），且與橢圓交于兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)介于、兩點(diǎn)之間）．當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程；求證：．【解答】解：（1）由，即為，可得，由在橢圓上，可得，解得，，則橢圓方程為；（2）由題設(shè)條件可得，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，可得，△，即，設(shè)，，，，可得，，所以弦長，到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，由介于，之間，可得，這時(shí)直線的方程為；證明：因?yàn)?，同理可得，所以，所以直線，關(guān)于直線對(duì)稱，即為的角平分線，所以由角平分線的性質(zhì)可得，即為．4．（2021?福清市一模）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．（1）求的方程；（2）已知直線不經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，若與交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，且直線．的傾斜角分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）離心率為，，，，由，得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線，，，，，由，消去得，，由△，故，，，，根據(jù)題意，與的斜率存在，所以，，設(shè)直線，的斜率分別為，，，故，由，故．5．（2021春?田家庵區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，且．證明：直線過定點(diǎn)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，又，即有，點(diǎn)在橢圓上，可得，解得，，故橢圓的方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去，得，△，，，，，由，可得，，化為，可得，化為，可得，直線不過，，則，直線的方程為，即，直線過定點(diǎn)，．6．（2021?河北區(qū)一模）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且在直線上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，求直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的離心率為．即，由橢圓過點(diǎn)，代入可知：，解得：，則，橢圓的方程；（Ⅱ）顯然，直線的斜率存在，設(shè)，，則，，（1）當(dāng)，直線的垂直平分線為軸，軸與直線的交點(diǎn)為，，由丨丨，丨丨，，則為等邊三角形，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，整理得：，解得：丨丨，則丨丨，則的垂直平分線為，則，解得：，則，，丨丨，為等邊三角形，則丨丨丨丨，，解得：（舍去），，直線的方程為，綜上可知：直線的方程為或．7．（2021春?錫山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)，由得，，可得，又，可得，，橢圓方程為：；設(shè)直線的方程為，，，，由方程組得，，解得，或，由題意可知，進(jìn)而得，由（1）知，，設(shè)，則，，由題意得，，解得，直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在中，由，得，得，，解得，或，故直線的斜率的取值范圍為：．8．（2021?南昌縣校級(jí)二模）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此（4分）所以橢圓的方程為．（5分）（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．設(shè)，，由方程組，整理得．解得，或，由題意得，從而．（7分）由（1）知，，設(shè)，有，．由，得，解得．因此直線的方程為．（9分）設(shè)，，由方程組消去，解得．（10分）在中，，即，化簡得，即，解得，或．（11分）所以，直線的斜率的取值范圍為．（12分）9．（2021?煙臺(tái)期末）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)作斜率為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使在以為直徑的圓外？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以．①又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以．②聯(lián)立①，②得，．故的方程為．（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得．設(shè)，，，，于是有，．因?yàn)椋裕芍阍跒橹睆降膱A內(nèi)．不存在實(shí)數(shù)，使在以為直徑的圓外．10．（2021?薌城區(qū)校級(jí)期末）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且同向．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若，求直線的斜率．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓中，，，所以橢圓（3分）（Ⅱ）因?yàn)橥蚯?，所以．設(shè)，，，，，，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為則即（5分）聯(lián)立得：，所以（7分）聯(lián)立得：所以（10分）所以，解得：（12分）11．（2015?湖南）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．與的公共弦長為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與相交于、兩點(diǎn)，且與同向．（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，，①，又與的公共弦長為，與的都關(guān)于軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以，②，聯(lián)立①②得，，故的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，，，，，，（1）因?yàn)榕c同向，且，所以，從而，即，于是，③設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由，得，而，是這個(gè)方程的兩根，所以，，④由，得，而，是這個(gè)方程的兩根，所以，，⑤將④⑤代入③，得，即，所以，解得．（2）由得，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，，，所以，，而，，于是，因此是銳角，從而是鈍角，故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形．12．（2021?越城區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，已知拋物線和拋物線的焦點(diǎn)分別為和，是拋物線上一點(diǎn)，過且與相切的直線交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，求直線的方程．注：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，拋物線和拋物線的焦點(diǎn)分別為，所以．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組消去，得，因?yàn)橹本€為相切，所以△，得．且的坐標(biāo)為．聯(lián)立方程組消去，得，設(shè)，，，，，，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，所以，．，，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故直線的方程是．13．（2021春?武陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)右側(cè)．記，的面積為，．（1）若直線的斜率為，求以線段為直徑的圓的面積；（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意可得，解得，所以拋物線的方程為，由已知設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，，所以，則線段，則以線段為直徑的圓的半徑為8，故圓的面積為；（2）設(shè)，，，，，，重心，，令，，則，由直線過點(diǎn)，故直線的方程為，代入，可得，所以，即，所以，又由于，，重心在軸上，故，所以，，所以直線的方程為，可得，，由于點(diǎn)在焦點(diǎn)的右側(cè)，故，故，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)．14．（2021?全國Ⅰ卷模擬）已知橢圓的離心率為，過左焦點(diǎn)且與軸垂直的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知，為橢圓上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，若，關(guān)于對(duì)稱，且，求的方程．【解答】解：（1）設(shè)，則，令，則，從而，即，又因?yàn)椋?，解得，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，整理得，，即①．設(shè)，，，，則，，，．的中點(diǎn)在直線上，則，整理得②．②式代入①式整理得，解得或．因?yàn)?，即整理得③．將②式代入③得，，且滿足或，所以，故直線的方程為，或．15．（2021?涪城區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形．（1）求的方程（2）若直線平行，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，證明直線恒過定點(diǎn)求的面積最小值．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，過點(diǎn)作軸于，，，，．為正三角形，．又，，．的方程為．當(dāng)在焦點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，又，為正三角形，，解得，的方程為．此時(shí)點(diǎn)在軸負(fù)半軸，不成立，舍．的方程為．（2）證明：設(shè)，，，，，．由直線可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，消去得①由和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得△，，這時(shí)方程①的解為，代入得，，．點(diǎn)的坐標(biāo)可化為，，直線方程為，即，直線過定點(diǎn)；直線的方程為，即．聯(lián)立方程，消去得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)到直線的距離為：，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的面積最小值為16．16．（2009?臺(tái)州二模）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），于點(diǎn)．試求點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意知：，，，解得，．故橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，，（1）若軸，可設(shè)，，因，則，．由，得，即．若軸，可設(shè)，同理可得．（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，由，消去得：．則．．由，知．故，即（記為①．由，可知直線的方程為．聯(lián)立方程組，得（記為②．將②代入①，化簡得．綜合（1）、（2），可知點(diǎn)的軌跡方程為．17．（2021?吉林模擬）已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）若，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若過點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線斜率；若不能，說明理由．【解答】解：（1），橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)，，，，，的范圍是，（4分）（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，則兩式相減，得，，即，故；（8分）（3）直線過點(diǎn)，直線不過原點(diǎn)且與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是且．設(shè)，，設(shè)直線，即，由（2）的結(jié)論可知，代入橢圓方程得，，（10分）由與，聯(lián)立得．（12分）若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點(diǎn)，所以，即，整理得解得，．所以當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．（16分）18．（2021春?浙江月考）如圖，已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作拋物線的切線與軸相交于點(diǎn)，直線交拋物線另一點(diǎn)為，線段交軸于點(diǎn)．記，的面積分別為，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直線的方程為，代入拋物線方程，得．設(shè)，，，，則，，，（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，．設(shè)，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)切線的方程為，代入拋物線方程，得，△，得，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，．設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，，，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的方程為，即，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，．，，由，知，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．19．（2017?遂寧模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為．若過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，又的面積為．（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值．【解答】解：（1）由題意得，則過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為．聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，，，，則，．，，又，故得．所以拋物線的方程為．（2）設(shè)，，，，不妨設(shè)，直線的方程為，化簡得，又圓心到直線的距離為1，故，即，故，不難發(fā)現(xiàn)．同理有，，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，因?yàn)辄c(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，所以，則，又，所以．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．的面積的最小值為8．20．（2021?浙江模擬）如圖，已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于，兩點(diǎn)，不同于．（Ⅰ）求證：直線垂直軸；（Ⅱ）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，分別記，的面積為，，當(dāng)為鈍角時(shí)，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）證明：根據(jù)題意可得，，設(shè)，，，，，，則直線為，聯(lián)立，消去得，所以，所以，，直線的方程為，同理可得聯(lián)立直線與拋物線的方程，得，所以，，所以，所以直線垂直于軸．（Ⅱ）設(shè)，是拋物線于橢圓