2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷（解析版）卷01（北京卷）

卷01(北京卷數(shù)學(xué))-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項。

1.已知集合4={*|1082兀>1},B={x|xNl},則AB=()

A.(1,2]B.(l,+oo)C.(1,2)D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合A，然后由并集定義計算.

【詳解】

由題意4={%|1082%>1}={》|*>2},；.4B={x|x>l}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的并集運算，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(l+i)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，得出其對應(yīng)的點，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

因為z=i(l+i)=-l+i,

所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-L1)位于第二象限.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限，考查復(fù)數(shù)的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題型.

3.在極坐標(biāo)系中，直線/:pcos61+psin6?=2與圓C:Q=2cos。的位置關(guān)系為（）

A.相交且過圓心B.相交但不過圓心C.相切D.相離

【答案】B

【分析】

首先把直線和圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步可利用點到直線的距離公式求出

結(jié)果.

【詳解】

解：直線/：Qcos61+Qsin，=2,

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x+y-2=（）.

圓Cp=2cos9,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：N+y2=2x,整理得：（x-1）2+y2=1,

所以圓心（1,。到直線％+。-2=。的距離〃=J"：=變<1=;?，所以直線與圓相交.又

由于直線不經(jīng)過點（1,0）故：直線與圓相交但不過圓心.

故選B.

【點睛】

本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化.點到直線的距離公式的應(yīng)用，以及直線與圓的

位置關(guān)系.

4.已知々=（2_］，分C=log3丁則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

2

【分析】

分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)值的范圍即可;

【詳解】

函數(shù)>=是單調(diào)遞減函數(shù),所以0<4=1,

函數(shù)y=(|)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以6=

2

函數(shù)y=log3X是單調(diào)遞增函數(shù)，所以c=log3—<log31=0，

即c<a<b.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)向量a=(l,l),b-(—1,3)>c=(2,l),且(a—zlb)J_c,貝U%=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則先計算得出a_4b，然后根據(jù)(a-%b)_Lc,利用向量垂直的坐標(biāo)

運算法則求解2的值.

【詳解】

因為a=(1,1),/?=(—1,3),所以a—4人=(1+4,1—32),

當(dāng)(。一助)J_c時,則有2(1+4)+(1—3X)=0,解得2=3.

故選：A.

3

【點睛】

本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)運算公式，設(shè)向量：=（4y）,力=（%，丫2），則'儲，b時,

中2+)|必=0

6.為了解某年級400名女生五十米短跑情況,從該年級中隨機(jī)抽取8名女生進(jìn)行五十跑測試，

她們的測試成績（單位：秒）的莖葉圖（以整數(shù)部分為莖，小數(shù)部分為葉）如圖所示.由此可

估計該年級女生五十米跑成績及格（及格成績?yōu)?.4秒）的人數(shù)為（）

78

8618

91578

A.150B.250C.200D.50

【答案】B

【分析】

結(jié)合古典概型公式求出成績合格的概率，再由頻數(shù)=總數(shù)x頻率即可求解

【詳解】

由莖葉圖可知，成績在9.4秒以內(nèi)的都為合格，即合格率為P=（,故估計該年級女生五十米

跑成績及格的人數(shù)為400x|=250,

故選：B

【點睛】

本題考查概率及頻數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題

7.下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是（）

1_-X+2,xW0

A.y=——B.y=tan（-x）C.y=-e~xD.y

x~x-2,x>0

【答案】D

【分析】

4

對選項逐一分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，由此判斷出正確選項.

【詳解】

對于A選項，了=-^的定義域為{》|》。0},在定義域上沒有單調(diào)性，不符合題意.

對于B選項，y=tan（-x）=-tanx,定義域為{x|xR%r+1^,Aez},在定義域上沒有

單調(diào)性，不符合題意.

對于C選項，y=-"、=-5的定義域為R,在R上遞增，不符合題意.

對于D選項，y={.八的定義域為R，在R上遞減，符合題意.

-x—2,尤〉0

故選：D

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬「基礎(chǔ)題.

8.，■一%）的展開式中/的系數(shù)是（）

A.-210B.-120C.120D.210

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的通項公式，可得2r—10=4,則r=7,將r=7代入通項公式計

算可得答案.

【詳解】

（1\l0-r

由二項展開式，知其通項為7；+1=!（—為）'=（—D'CZfzo,

令2r—10=4,解得r=7.

5

所以/的系數(shù)為（-I）,C]=-120.

故選B.

【點睛】

本題考查指定項的系數(shù)，應(yīng)該牢記二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

兀2萬

9,已知函數(shù)fa）=sin（oM3>O）,貝IJ“函數(shù)八元）在上單調(diào)遞增”是“0<尤2”的（）

63

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由1w4得出6yx的取值范圍，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組可得。范圍，即可

_63

判斷出關(guān)系.

【詳解】

,**XG——69<CDX<CD,由于函數(shù)/（X）在—~上單調(diào)遞增，

_63J631_63_

7171..

—G）>----\-2K71

62/2-3+12々萬

〈—3<—F2Z萬（左￡Z）解得<---卜3k兀,（攵cZ）

324

69>069>0

3

故人只能取0,即0<。工一，

4

7t27r

???“函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增”是"0VCDW2”的充分不必要條件.

63

故選：A.

6

【點睛】

本題考查了簡易邏輯的判定方法、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力

與計算能力，屬于中檔題.

10.某企業(yè)生產(chǎn)A8兩種型號的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為10萬支和20萬支，為了擴(kuò)大再生

產(chǎn)，決定對兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，預(yù)計改造后的A,5兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長率

分別為50%和20%,那么至少經(jīng)過多少年后，A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會超過5產(chǎn)品的年產(chǎn)量(取

1g2=0.3010)()

A.2年B.3年C.4年D.5年

【答案】C

【分析】

直接計算出若干年后A8產(chǎn)品的產(chǎn)量，由此確定正確選項.

【詳解】

1年后，A產(chǎn)品產(chǎn)量為10x(l+50%)=15萬支；5產(chǎn)品產(chǎn)量為20x(1+20%)=24萬支.

2年后，A產(chǎn)品產(chǎn)量為15x(l+50%)=22.5萬支；B產(chǎn)品產(chǎn)量為24x(l+20%)=28.8萬支.

3年后，A產(chǎn)品產(chǎn)量為22.5x(1+50%)=33.75萬支；B產(chǎn)品產(chǎn)量為

28.8x(1+20%)=34.56萬支.

4年后，A產(chǎn)品產(chǎn)量為33.75x(l+50%)=50.625萬支；8產(chǎn)品產(chǎn)量為

34.56x(l+20%)=41.472萬支.

所以經(jīng)過4年后A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查指數(shù)增長模型，屬于基礎(chǔ)題.

第二部分(非選擇題共110分)

7

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.拋物線y=/的焦點到準(zhǔn)線的距離是.

【答案】,

2

【分析】

由拋物線的解析式求出P,即可求解

【詳解】

由y=f變形得f=y,故拋物線焦點在y的正半軸，2P=1,p=g,故拋物線y=V的

焦點到準(zhǔn)線的距離是p=；

故答案為：一

2

【點睛】

本題考查由拋物線解析式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題

12.設(shè)｛小｝是等差數(shù)列,且m=3,an+i=an-2,則數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蚐〃=.

【答案】-"+4〃

【分析】

由〃〃+1=4〃-2,可得：小+「〃〃=-2,利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.

【詳解】

由〃〃+1=斯-2,可得:小+L-2,.??數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，公差為-2.

n\n-W

則數(shù)列｛〃〃｝的前n項和Sn=3n+-----X(-2)=-n2+4n.

2

故答案為：-/+4〃.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列前〃項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8

13.過點（T,2）且與圓（x—If+V=4相切的直線方程為.

【答案】％=—1或y=2

【分析】

分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，利用圓心到直線的距離等于半徑求切線方程.

【詳解】

解：當(dāng)x=-l,y=2時，（%一1）2+/=（一1-1）2+22=8,所以（一1,2）在圓外，

由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓心為（1,0），半徑為2，當(dāng)所求切線斜率不存在時，方程為x=-l，

圓心到該直線的距離為d=2和半徑相等，所以％=—1是所求切線；

當(dāng)所求切線斜率存在時，設(shè)斜率為“，則切線方程為y—2=女（尤+1）,

\k+k+?\

即日一＞+&+2=0,圓心到直線的距離=4=2,解得&=0,

我+1

所以切線方程為y=2,綜上所述，切線方程為1=—1或y=2.

故答案為：x=—l或y=2.

【點睛】

本題考查了圓切線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.本題的易錯點是未討論全面.

2

14.雙曲線f-匯=1的漸近線方程為,焦距為.

4

【答案】y=±2x2小

【分析】

根據(jù)雙曲線的方程，可直接得出漸近線方程，以及焦距.

【詳解】

9

22

令丁―21=0得丁=±2%，即雙曲線f一上=1的漸近線方程為丁=±2》；

44

焦距為207^=26.

故答案為：y=i2x；2V5?

【點睛】

本題主要考查求雙曲線的漸近線方程，以及雙曲線的焦距，屬于基礎(chǔ)題型.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角0均以。X為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱，點

M(x,T)在角夕的終邊上.若sina=g,則sin〃=；x=.

［答案】~±20

【分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得結(jié)果.

【詳解】

解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱，

點在角§的終邊上，則N(-x,l)在a的終邊上，

11L.A-11

貝ijsina3=解得-±2點'且sm"行

3,

故答案為：一§；?

【點睛】

本題考查任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本小題13分)

10

在①后?cos01￡=asin6,②JGasin8=3bcosA這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面

問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.

在ABC中，BC=6,cosB=—

3

（1）求AC的長；（2）求ABC的面積.

【答案】條件選擇見解析；（1）AC=4；⑵672+2^.

【分析】

若選擇條件①，（1）在AA5C中，由正弦定理可得、行sinBcosOtC=sinAsinB,利用誘

2

導(dǎo)公式及二倍角公式可求cos?=3的值，結(jié)合正弦定理得到AC的長；（2）利用兩角和正

22

弦公式得到sinC，利用三角形的面積公式即可求解.若選擇②（1）由正弦定理，可得

tanA=6,結(jié)合正弦定理得到AC的長；（2）同選擇①.

【詳解】

選擇①

B+C

（1）由正弦定理可得JJsinBcossinAsinB,

2

7T-A.

又sinBwO,；?下cos-----=smA,

2

4...C°s4=立，即2

^3sin—=2sin—cos—,

22222263

由cosB=可得sinB=\/\—

33

6AC

BCAC

根據(jù)正弦定理，即丑一忑.，AC=4.

sinAsinBTT

it

sinAcosB4-cosAsinB=小X亞+L3=3拒+g

(2)sinC=sin(A+B)

23236

S=-AC-BC-sinC=-x4x6x^i^=672+2^.

226

選擇②

(1)由GasinB=3/?cosA，可得6sinAsinB=3sinBcosA，

又sinBwO,

sinAr7廣.人

------=J3,8cP1rltanA=V3r??A

又sin8=Jl-cos?8=且，結(jié)合正弦定理阮=

3sinAsinB

6AC

逅―邁???AC=4.

T~T

石#1G3a+指

(2)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=—x------1—x——--------------

23236

S=-AC-BC-sinC=-x4x6x^i^=6>/2+2^.

226

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角恒等變換公式，余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒

等變換的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.（本小題13分）

如圖，三棱柱ABC-ABCi中，AA_L底面4BC,。是A8的中點,

AAi=AC=CB=2,AB=26-

D

12

B

(I)證明：8C"/平面4CZ)；

(ID求直線A4與平面AC。所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見解析；(II)立.

3

【分析】

(I)連結(jié)AG,交AC于o,連結(jié)8,推導(dǎo)出。。/IBC\,由此能證明BCJ!平面A}CD.

(II)以C為原點，C4為x軸，CB為V軸，CG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法能求出直線4A與平面\CD所成角的正弦值.

【詳解】

解：(I)證明：連結(jié)A￡,交AC于0，則。是A￡的中點，

連結(jié)8,(5。是4?的中點，二。。//8&,

平面ACD,0。(=平面4。。，，8。1//平面4。。.

(II)三棱柱ABC—AMG中，A4,，底面ABC，。是AB的中點，A4,=AC=C8=2,

AB=2?：.AC2+BC2AB2-AACIBC，

以C為原點，C4為x軸，C8為y軸，CG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則42,0,0),4(2,0,2),B(0,2,0),D(1,1,0),C(0,0,0),

AA=(0,0,2),6=(2，0，2),8=(1,1,0),

設(shè)平面AC。的法向量〃=(x,y,z),

/z-CA=2x+2z=0

則｛?。?1得〃=(1-1?T)，

n-CD=x+y=0

設(shè)直線M與平面\CD所成角為e,

13

則sg記｝3邛

直線AA與平面ACD所成角的正弦值為且

3

【點睛】

本題考查線面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置有關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考杳運算求解能力，是中檔題.

18.（本小題14分）

"十一''黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在10時，12

時，14時，16時公布實時在園人數(shù).下表記錄了10月1日至7日的實時在園人數(shù)：

1S2H3B4B5S6S7日

10時在園人

115261800519682828413830101016663

數(shù)

12時在園人

26518370894293116845340172316814800

數(shù)

14時在園人

37322380454063120711365582470615125

數(shù)

14

16時在園人

27306296873063816181208211616910866

數(shù)

通常用公園實時在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時段在園人數(shù)的飽和量）之比來表示游

園舒適度，40%以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是8萬人.

（I）甲同學(xué)從10月1日至7日中隨機(jī)選1天的下午14時去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概

率；

（II）從10月1日至7日中任選兩天，記這兩天中這4個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)

為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）根據(jù)10月1日至7日每天12時的在園人數(shù)，判斷從哪天開始連續(xù)三天12時的在園人數(shù)

的方差最大？（只需寫出結(jié)論）

【答案】（I）,；（II）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望￡（X）=S：（用）從10月3日開始

連續(xù)三天12時的在園人數(shù)的方差最大.

【分析】

（I）由題意得，在園人數(shù)為8x40%=3.2萬人以下為“舒適”，由此根據(jù)古典概型的概率計

算公式求解即可；

（II）從］0月1日至7日中，這4個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，得X

的取值可能為0,I,2,且服從超幾何分布，由此可求出答案；

（III）根據(jù)方差的定義觀察波動幅度，由此可得出結(jié)論.

【詳解】

解：：40%以卜稱為“舒適”，該公園的最大承載量是8萬人，

二在園人數(shù)為8x40%=3.2萬人以下為"舒適”，

（I）10月1日至7日的下午14時去該公園游覽，“舒適”的天數(shù)為3天，

3

.??甲同學(xué)遇上“舒適”的概率P=—；

7

（II）從10月1日至7日中,這4個時間的游覽舒適度都為“舒適'’的有4日、6日、7日,

15

.??X的取值可能為0，1,2,且服從超兒何分布,

???尸”。）=等4爭"）=等若爭（X=2）=普V

7

6

（III）從10月3II開始連續(xù)三天12時的在園人數(shù)的方差最大.

【點睛】

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查古典概型的概率計算公式，考查方

差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

19.（本小題15分）

設(shè)函數(shù)/（x）=odnx,其中aeR,曲線＞=/（可在點（1,〃1））處的切線經(jīng)過點（3,2）.

（1）求。的值；

（2）求函數(shù)/（x）的極值：

y2

（3）證明:/（%）＞———.

【答案】1)<7=1;（2）極小值/，沒有極大值；（3）證明見解析.

【分析】

（1）由題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程，代入已知點的坐標(biāo)

可求。:

16

(2)先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求解：

VOV*O1

(3)由于—W等價于xlnx—±+*>0,結(jié)合(2)可得〃x)=xlnxN—

exee'ee

1x

故只要證明——即可，(需驗證等號不同時成立)結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證.

ee

【詳解】

解：(1)f'[x}=a\nx+a,則7(1)=0,/'⑴=。，

故V=/(X)在(1J'。))處的切線方程y=1)，

把點(3,2)代入切線方程可得，a=l,

(2)由(1)可得/'(x)=lnx+l,x>0,

易得，當(dāng)0<x<工時，1f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時./'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

11

故當(dāng)x=一時，函數(shù)取得極小值/一=一一，沒有極大值，

e3e

無2x2

證明：(3)/(%)>-----等價于xlnx——+->0,

exeexe

由(2)可得/(x)=xlnx>--(當(dāng)且僅當(dāng)x=L時等號成立)①，

ee

“-ix2、1x

所以xinx---1-2------,

exeeex

1Y

故只要證明——7之。即可，(需驗證等號不同時成立)

ee

設(shè)g(尤)=：-十，X>0則

當(dāng)0<x<l時.，g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)X>1時，g'(x)>o,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以g(x"g⑴=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，②

因為①②等號不同時成立,

17

Y2

所以當(dāng)%>0時，/（%）>———.

ee

【點睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，還考查「利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

20.（本小題15分）

己知桶圓C的兩個頂點分別為A（—2,0）,B（2,0）,焦點在x軸上，離心率為!.

2

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)。為原點，點P在橢圓。上，點。和點P關(guān)于x軸對稱，直線AP與直線8Q交于

點M，求證：P，M兩點的橫坐標(biāo)之積等于4,并求的取值范圍.

22

【答案】（I）亍+（=1；（11）證明見解析；|。加|的取值范圍是（2,+8）.

【分析】

（I）根據(jù)橢圓的頂點、離心率以及〃=匕2+’2求得a,b,c,從而求得橢圓的方程.

（II）設(shè)出P,。的坐標(biāo)，求得直線A尸和直線的方程，由此求得交點M的坐標(biāo)，進(jìn)而證

得RM兩點的橫坐標(biāo)之積等于4.求得的表達(dá)式，由此求得|OM|的取值范圍.

【詳解】

a=2（.

a=2

c1

（I）由于橢圓焦點在X軸上，所以<一=7=>〈C=1,

a2

a2^b2+c2U3

22

所以橢圓的方程為上+匯=1.

43

22（2\

（II）設(shè)P（m,〃）則。（租,一〃）、g+彳=1=>〃2=3.依題意可知一2</〃<2,

18

〃77

且根w0.直線AP的方程為y=------（X+2）,直線BQ的方程為y=-------（x-2）.由

m+22-m

~^—(x+2)x=-

y

"2+2解得，m,B|JM4

.所以兩點的橫坐標(biāo)之積為“2?一=4.

n/八2nm

y

由|0M|

28/OQ

由于一2（根<2,且相。0,所以0</"<4,標(biāo)>7,—3>2.也即|QW|的取值范圍

是（2收）.

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)"c求橢圓方程，考查橢圓中的定值問題，考查橢圓中的范圍問題，屬

于中檔題.

21