2021屆高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺模擬卷三

考前30天沖刺高考模擬考試卷（3）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={0,1,2,3,4},集合B={x|萬二三,1},則A0|B=（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4）

2.（5分）等差數(shù)列{3〃-2}與等差數(shù)列{5-2〃}的公差之和為（）

A.1B.2C.3D.8

3.（5分）若/表示兩個(gè)不同的平面，機(jī)為平面a內(nèi)一條直線，則（）

A.umllpn是aaHpn的充分不必要條件

B.“〃//￡”是“a//￡”的必要不充分條件

C."是“的必要不充分條件

D.“加，力”是“a工0”的充要條件

4.（5分）2020年12月18日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了2019年《中國兒童發(fā)展綱要（2011-2020

年）》統(tǒng)計(jì)監(jiān)測報(bào)告，報(bào)告指出學(xué)前教育得到進(jìn)一步重視和加強(qiáng).如圖為2010年-2019年全

國幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率的統(tǒng)計(jì)圖：

2010年—2019年幼兒園數(shù)及學(xué)前教育毛入園率

則以下說法正確的是（）

A.2015年我國約有75萬所幼兒園

B.這十年間我國學(xué)前教育毛入園率逐年增長且增長率相同

C.2019年我國幼兒園數(shù)比上年增長了約5.2%

D.2019年我國學(xué)前教育毛入園率比上年提高了1.7%

5.（5分）函數(shù)/（x）=sinxcosx+Gcos2x的圖象的一條對稱軸為（)

71「冗

AA.x=—B.YC.x=—D.可

123

6.（5分）“華東五市游”作為中國一條精品旅游路線一直受到廣大旅游愛好者的推崇.現(xiàn)

有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備2021年高考后到“華東五市”中的上海市、南京市、蘇州市、杭州市

四個(gè)地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中任意選取一個(gè)去旅游，則恰有一個(gè)地方未被

選中的概率為（）

A-5B-AD-費(fèi)

7.（5分）已知雙曲線C：W-m=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)為F（4,0）,直線y=3互x與雙曲

arZr7

線C相交于A,3兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AF、8F的中點(diǎn)分別為尸、Q,且加_L而,

則雙曲線C的離心率為（）

A.WB.小C.4D.2

8.（5分）對于函數(shù)f=（x）,若存在使，（%）=-/（-%），則點(diǎn)（％，/（%））與點(diǎn)（~/，

16-a￥,x>0「-W,-

-/（%））均稱為函數(shù)f（x）的“先享點(diǎn)”.已知函數(shù)/（%）=3,且函數(shù)/(x)存在5

6x—x,芭，()

個(gè)“先享點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（)

A.(0,6)B.(-oo,6)C.(3,-K?)D.(6,+oo)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯(cuò)的得0分。

4x-3,x<l

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=,則下列結(jié)論正確的是（）

Inx,x.A

A.函數(shù)/a）的定義域?yàn)镽B.函數(shù)/（外在R上為增函數(shù)

C.函數(shù)/（x）的值域?yàn)椋═+oo）D.函數(shù)/（X）只有一個(gè)零點(diǎn)

10.已知。>0,人>0,且4a+Z?=〃〃,則（)

A.述..16B.2。+人..6+44

1161

C.a-b<0D.

11.（5分）若實(shí)數(shù)a<b,則下列不等關(guān)系正確的是（）

B.若。＞1,則log“ab＞2

j22

C.若a＞0,則/-＞工

1+a1+b

D.若a,Z?G(1,3),則;(/一//)一〃2(.2一/)+々一匕＞0

12.(5分)已知三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，4?=3C=2,

PA=PC<,AB^BC,過3作平面ABC的垂線8Q,且伏2=AB,尸Q=3,P與。都

在平面ABC的同側(cè)，則()

A.三棱錐尸一ABC的體積為*B.PArAB

3

C.PCIIBQD.球O的表面積為97

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知隨機(jī)變量X~N(2Q2),P(X>0)=0.9,則P(2<X,,4)=.

14.(5分)函數(shù)/(x)=x/n?在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

15.(5分)某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對比了解“科目二”的培訓(xùn)過程采用大密度集中培訓(xùn)與周

末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：接受大密度集中培訓(xùn)的55

個(gè)學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過，接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過的有30個(gè).根

據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過—.

2

4“2_n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(KLk)0.050.0250.0100.001

k3.8415.0246.63510.828

22

16.(5分)設(shè)橢圓二+與=l(a>6>0)的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn),,P是橢圓上一點(diǎn)，且Nf；PK=生,

a"b~3

若△片P鳥的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為A,r,當(dāng)R=4r時(shí)，橢圓的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

=aa

17.(10分)從“①5"=〃(〃+?■)；②S2=/，\i；③4=2,。4是%，%的等比中

項(xiàng).”三個(gè)條件任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處，并解答.

已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,公差d不等于零，,〃wN'.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

(2)若b?=52??-S2?,數(shù)列｛仇｝的前”項(xiàng)和為叱,，求明.

18.(12分)已知AAfiC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,且°=布，b=1,

c-b=2bcosA.

(1)求sin3的值；

(2)若4)平分NBAC交BC于。，求三角形4X7的面積S的值.

19.(12分)如圖，在四棱錐E-ABC。中，四邊形ABCD為平行四邊形，ABCE為等邊三

角形，點(diǎn)O為3E的中點(diǎn)，且AC=8C=2Q4=2.

(1)證明：平面平面BCE.

(2)若相=小，求二面角3—CE-O的正弦值.

20.(12分)某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品

就可以贈送元旦禮品.而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶A,4中的一個(gè)，每個(gè)乙系列

盲盒可以開出玩偶片，B2中的一個(gè).

(1)記事件E,,：一次性購買〃個(gè)甲系列盲盒后集齊A,A,,4玩偶；事件工：一次性購

買〃個(gè)乙系列盲盒后集齊修，打玩偶；求概率2紜)及P(K)；

(2)禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買

時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系

列的概率為上1，購買乙系列的概率為4而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的

55

Ia

概率為上，購買乙系列的概率為三；前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率

44

為購買乙系列的概率為g；如此往復(fù)，記某人第"次購買甲系列的概率為Q..

①。.；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估

計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).

22

21.(12分)已知雙曲線C:=—、=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，點(diǎn)尸(3』)在

a~h~

C上，且|P/"|P&|=10.

(I)求C的方程；

(2)斜率為-3的直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為O.若直線B4,

包?的斜率存在且分別為勺，k2,證明：勺?占為定值.

22.(12分)己知函數(shù)f(x)=/nr+a(x2+x),g(x)=f+5x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，證明：/(x)<5(x)-1.

考前30天沖刺高考模擬考試卷(3)答案

1.解：?/A=｛0,1,2,3,4｝,8=｛x|2領(lǐng)k3｝,

AQB=｛2,3｝.

故選：C.

2.解：?.?等差數(shù)列｛3"-2｝的公差為3,

等差數(shù)列｛5-2〃｝的公差為-2,

等差數(shù)列｛3〃-2)與等差數(shù)列｛5-2〃｝的公差之和為3-2=1.

故選：A.

3.解：因?yàn)榧訛槠矫鎍內(nèi)一條直線，，*//￡,所以a///或a與尸相交，

故umllpn不能推出“a///”，

而a//￡,則兩平面沒有公共點(diǎn)，而，H為平面a內(nèi)一條直線，所以機(jī)//月，

所以“a/夕'可以推出“機(jī)//尸”，

所以“機(jī)//￡”是“a//月”的必要不充分條件，故A不正確，8正確；

根據(jù)面面垂直的判定可知，，"為平面a內(nèi)一條直線，“〃?，力”可以推出“

但“a_L￡”不能推出“ml。”,所以“〃?，￡”是“a'B”的充分不必要條件，故C、

。不正確.

故選：B.

4.解：對于A,由統(tǒng)計(jì)圖可知，2015年我國約有22.4萬所幼兒園，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于3,這十年間我國學(xué)前教育毛入園率逐年增長，但是增長率不相同，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

對于C,2019年我國約有28.1萬所幼兒園，2018年我國約有26.7萬所幼兒園，

所以增長了2&1.26.7=52%,故選項(xiàng)。正確；

26.7

對于。，2019年入園率為83.4%,2018年入園率為81.7%,

所以增長了834-81.722%,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

81.7

故選：C.

5解：

f(x)=sinxcosx+y/3cos2x='sin2x+6x'：='sin2x+—cos2x+—=sin(2x+—)+—

2222232

^2x+—=—+k^^x=—+—,keZ,

32122

當(dāng)A=0時(shí)，x=—,A符合題意，B,C,。不符合題意.

12

故選：A.

6.解：現(xiàn)有4名高三學(xué)生準(zhǔn)備2021年高考后到“華東五市”中的上海市、南京市、蘇州市、

杭州市四個(gè)地方旅游，

假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中任意選取一個(gè)去旅游，

基本事件總數(shù)〃=4"=256,

恰有一個(gè)地方未被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)根=C：&=144,

則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為P=-=—=--

n25616

故選：B.

7.解：設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)坐標(biāo)為(％,手%)(%>0),

因?yàn)辄c(diǎn)P,Q,O分別為三角形AS尸的三邊的中點(diǎn)，且麗1麗，

所以四邊形OPFQ為矩形，所以AF_LB/L而OF=4,

則3=08=4,所以J，"+(乎，")2=J?,/=4,解得，〃=近(負(fù)值舍去)，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為("，3),代入雙曲線方程可得：4-4=1-

ab

Xfz2+/?2=16,解得。=2,b=2小,

所以雙曲線的離心率為6=￡=3=2,

a2

故選：D.

8.解：由題意，/3)存在5個(gè)“先享點(diǎn)”，原點(diǎn)是一個(gè)，其余還有兩對，

即函數(shù)>=61-/(工,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象恰好與函數(shù)y=i6-or(x>0)有兩個(gè)交點(diǎn)，

而函數(shù)y=6x-丁(兒,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=6x-d(工.0),

即16-or=6X-%3有兩個(gè)正根，

=%2+--6(x>0),令h(x)=x24---6(x>0),

xx

則〃(X)=2X—/=2，：8),

XX

所以當(dāng)0cx<2時(shí)，〃(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，h\x)>0,

所以/?(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,yo)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x=2時(shí)，=4+8-6=6,

且當(dāng)X—>0和Xf+8時(shí)，/(X)->+00,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(6,+O0),

故選：D.

9.解：選項(xiàng)A：由已知可得函數(shù)定義域?yàn)镽,故A正確；

選項(xiàng)8：當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當(dāng)"in寸，函數(shù)為增函數(shù)，且4J3=l>/〃l=0,

所以函數(shù)在R上不單調(diào)，故8錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：當(dāng)x<l時(shí)，-3</(x)<l,當(dāng)x..l時(shí)，f(x)..O,所以函數(shù)的值域?yàn)?―3,+oo),故C

正確；

選項(xiàng)。：當(dāng)x<l時(shí)，令4'-3=0,解得x=log&3,當(dāng)X..1H寸，令/"=0,解得x=l,

故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故。錯(cuò)誤,

故選：AC.

10.解：〃>0,b>0,ab=4a+b..2d4ab，當(dāng)且僅當(dāng).=/?時(shí)取等號,

解得就..16,即的最小值為16,A正確；

由已知得弓+'=1,

ba

所以2a+人=(24+力(2+!)=6+華+2..6+2^^=6+4應(yīng)，

當(dāng)且僅當(dāng)⑻=2時(shí)取等號，B正確;

ba

由已知無法判斷。，〃的大小，故a—人V。無法判斷，C錯(cuò)誤；

因?yàn)槭?工=1,

ba

所以_L=1_3,

ab

的“116832

mkX—+—=f11---，

a2b2bb1

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,=,，即6=8時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值,，

b82

故以-V+華??】，。正確.

a2b22

故選：ABD.

11.解：對于A：基函數(shù)y=x",當(dāng)a=-l時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以《尸＞弓尸，故A錯(cuò)

誤；

對于8：當(dāng)log”ah=log4a+log”〃>1+1=2,故8正確;

“不b2a2(b-a)(b2+O2+ab+a+b)

\+a\+b(1+。)(1+。)

由于b＞a＞0,故心一＞又一成立，故C正確；

1+a\+b

對于D：原不等式變形為(；廿_nia2+々)一($3一加"+力＞0,

令g(x)=—x3-me+x

則g'(x)=x2-2fwc+1,△=4m2-4>0,

g'(%)=0,

2

解得：x1=tn-\/ni-1,x2=m+-1

由于n?>*,

3

所以不<1,x2>3,

所以函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以g(a)-g(b)>0,故。正確.

故選：BCD.

12.解：如圖，

長方體的高為1,底面是邊長為2的正方形，滿足AB=BC=2,PA=PCf,AB±BC,

ii7

三棱錐P-ABC的體積為一x—x2x2x1=—,故A正確；

323

PB=>jPD2+BD2=>JPD2+AB2+AD2=V22+22+l2=3,

滿足幺2+=依2,可得抬_LAB,故B正確；

8Q_L平面ABC,PZ)_L平面ABC,則8Q//PO,

假設(shè)PC//8。，則PC//PD,與與PC相交于P矛盾，故C錯(cuò)誤；

三棱錐P-ABC的外接球即長方體DG的外接球，設(shè)其半徑為R,

則2/?="==3,即R=j可得球O的表面積為4萬x(3)2=9乃，故。正確.

22

故選：ABD.

13.解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)。>0),且P(X>0)=0.9,

所以該正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=2,故尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,

所以P(2<X及勢)=P(0<X2)=P(X>0)-P(X>2)=0.9-0.5=0.4.

故答案為：04

14.解：由,f(x)=x/nr,得/'(x)=x/nr=/nr+1,

:.f'(1)=1,即函數(shù)/(x)=x/z1r在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為1.

函數(shù)/(x)=x/nr在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y-O=lx(x-l),

即x-y—1=0.

故答案為：x-y—1=0.

15.解：2x2列聯(lián)表如下:

通過未通過總計(jì)

集中培訓(xùn)451055

分散培訓(xùn)302050

總計(jì)7530105

105x(45x20-30xl0)2一-

K'=-------------------=6.109>5.024,

75x30x50x55

二認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025,

故答案為：0.025.

16.解：△耳尸工的外接圓的半徑R,由正弦定理27?=上以一2c

sinZFJP/ssi.n—71

3

所以R=2叵。

3

又由于R=4〃，所以r

在△片尸工中，由余弦定理可得|斗名|2=|。用2+|也|2—2|出"上八|?85/￡尸乙，而

71

^PF2=-,,

所以4c2=4.2—3|P4I，

22

所以可得：\PFl\\PF2\=^(a-c),

由三角形的面積相等可得：^\PFl\+\PF2\+\FtF2\)-r^^\PFl\\PF2\sinZFtPF2,

所以(2a+2c)r=^(a2-c2)-等，

所以2(a+c)3c=±(/-c2)?—.

632

整理可得：3e2—e—2=0f解得e=—或e=—1,

3

故答案為：

3

17.解：(1)選①S"=”(〃+；?),

可得4=￡=1+?，解得q=2,

2

即Sn=n+n>

則4+%=6,即%=4,d=a2-a]=2,

所以a“=2+2("-1)=2〃；

選②S2=a3,aA=a}a2,

可得2q+d=%+2d,at+3d=a}(at+d),

解得<7,=d=2,

所以q=2+2(〃-l)=2〃；

選③q=2,是外,4的等比中項(xiàng)，

2

可得a：=a2a8,即(2+3J)=(2+d)(2+Id),

解得d=2(d=0舍去)，

所以4”=2+2(〃-1)=2”；

(2)由S“=〃2+”,

n+12

可得bn=S2,,?-Sr=(2)+2同—.4"+2",

所以叱=3(4+42+4'+…+4")+(2+2?+2?+…+2")

.4(1-4"),2(1-2")

1-41-2

=4w+,-4+2M+,-2=4n+,+2M+,-6.

18.解:(1)因?yàn)閏——=>cosA,

又由余弦定理可得。2=b2+c2-2hccosA,

所以〃2=從+H一c(c一力，可得從+0c=/,

因?yàn)閍=#,b=2,

可得c=1,

由余弦定理a2=/?24-c2-2bccosA,將a=>]6,b=2,c=l,代入，可得

6=4+1—2x2x1xcosA,可得cos4=,

4

所以sinA=姮，由正弦定理，_=_2_,可得sinB=典.

4sinAsin54

(2)由(1)可知sinA=MX,a=-76,c=1,

4

則由正弦定理可得，一=—J,可得sinC=巫，

sinAsinC8

在A43D中，———=——...①

sinNBADsinZADB

在AACD中，———=———，②

sinADACsinZADC

又因?yàn)锳￡>平分/ADC,

所以sinZADB=sinZADC,

②+①，可得2=生=0=2,可得cr>=辿，

cA.BBD3

所以SWK=—DC-AC-sinC=—xx2x邊0=也5.

M,x22386

19.(1)證明：連接OC,因?yàn)锳BCE為等邊三角形，所以O(shè)CL8E,

因?yàn)锳C=2,04=1,OC=2--=y/3,所以AC?=AO?+OC2,所以O(shè)C_LOA,

2

又因?yàn)镺AnBE=。，所以O(shè)CJ■平面ABE,

又因?yàn)镺Cu平面BCE,所以平面BCEJ_平面43E,

故平面ABEJ■平面BCE.

(2)解：因?yàn)锳B=AE,所以。所以O(shè)E、OC、。4兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

E(1,0,0),8(-1,0,0),A(0,0,1),C(0,衣,0),

EC=(-1,小,0),CD=BA=(\,0,1),設(shè)平面ECZ)的法向量為比=(x,y,z),

里加一+底=。，令x=6麗=(用，1,一百),

CDm=x+z=0

平面BEC的法向量為萬=(0,0,1),

設(shè)二面角8-CE-D的大小為6?,

\nt-n\

則|cos01=sin8=

I訓(xùn)?|萬I

20.解：（1）由題意尸（線）=y+產(chǎn)《+卷,

p（居）=1一二!?=竺，

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（2）①由題意可知：Q=g,

當(dāng)”..2時(shí),Q,=；Q_|+g（l-2i）=：-；Qi,

212Q-g2=-11

所以｛Q-2｝是以為首項(xiàng)，-；為公比的等比數(shù)列，

②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的100人都已購買過很多次，所以，對于每一個(gè)人來說，某天來購買盲

盒時(shí)，可以看作"趨向無窮大，

所以購買甲系列的概率近似于|,假設(shè)用g表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則

g~8（100,|），

所以E（g）=100x|=40,即購買甲系列的人數(shù)的期望為40,

所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè).

21.解：(1)設(shè)4(-c,0),F式c,0)(00),其中c=J"+從，

因?yàn)閨PEI|PRI=10，所以J(3+C、)2+1.J(3-C)2+1=10,解得C=4,

所以2a=J(3+4)2+l-J(3-4)2+l=4日解得a=20,

所以。*=c2-a2=8,

所以雙曲線。的方程為三-E=i；

88

(2)證明：設(shè)A(F，y),B(X2,y2),則。(一々，一%)，

設(shè)直線/的方程為y=-3工+機(jī)，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去y,可得，8x2-6twc+m2+8=0,

由△=(一6加y-32。/+8)>0,可得|相|>8,演+々=羊，尤儼2='

所以Y必=(-3%+ih)(-3x2+ni)

八八/、2cm2+8-3m2c機(jī)2

=9^^-3/n(Xj+x2)+m~=9-------3m?—+tn=9———,

2

[i,18-----3(%—x>)

所以她:江i?士1=t=7一二=T,

%-3-x2-3+3%-3%-92_8+3(王_/)

8

所以K"為定值-1.

22.解：⑴f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),

〃，/、1-2ax2+ax+1

/'(x)=-+a(2x+l)=-----------,

xx

令h(x)=2ax2+a