2024屆一輪復(fù)習人教A版 第7章數(shù)列第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 學(xué)案

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法考試要求：1．了解數(shù)列的概念和表示方法(列表法、圖象法、公式法)．2．了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．數(shù)列的概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an(1)數(shù)列研究的是有順序的一列數(shù)，歸納與猜想是研究數(shù)列的重要方法．(2)有序性是數(shù)列的主要特征，數(shù)列的項an是序號n的函數(shù)，其中n是正整數(shù)．(3)數(shù)列的前n項和是從a1一直加到an，而不是從中間取出某n項的和．2．數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(n，an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式用公式an＝f(n)，n∈N*給出數(shù)列遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法1．數(shù)列的圖象是由離散的點(n，an)組成．2．用遞推公式表示數(shù)列時，必須含有初始值，初始值可能是一項，也可能是兩項或若干項．3．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝S1．當n≥2時，an＝Sn－Sn－1不能表示a1.2．需要驗證當n＝1時是否滿足統(tǒng)一的an與n之間的規(guī)律，如果不滿足，則通項公式是分段的．4．數(shù)列的分類如果數(shù)列的項先遞增，后遞減，則數(shù)列有最大項；如果數(shù)列的項先遞減，后遞增，則數(shù)列有最小項．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)所有數(shù)列的第n項都可以用公式表示出來． (×)(2)依據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個． (√)(3)若an＋1－an>0(n≥2)，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． (×)(4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－8n＋15，則()A．3不是數(shù)列{an}中的項B．3只是數(shù)列{an}中的第2項C．3只是數(shù)列{an}中的第6項D．3是數(shù)列{an}中的第2項或第6項D解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，故3是數(shù)列{an}中的第2項或第6項．故選D．3．數(shù)列1，－4，9，－16，25，…的一個通項公式是()A．a(chǎn)n＝n2B．a(chǎn)n＝(－1)n·n2C．a(chǎn)n＝(－1)n+1·n2D．a(chǎn)n＝(－1)n·(n＋1)2C解析：因為每一項的絕對值都是該項序號的平方，奇數(shù)項符號為正，偶數(shù)項符號為負，所以an＝(－1)n+1·n2.故選C．4．已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．(－3，＋∞)解析：因為{an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)． (*)因為n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.考點1由數(shù)列的前幾項求通項公式——基礎(chǔ)性根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)－11×2(2)23(3)12，2，92，8，(4)5，55，555，5555，….解：(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故它的一個通項公式an＝(－1)n·1n(2)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，故所求數(shù)列的一個通項公式an＝2n2n(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察，即12，42，9(4)將原數(shù)列改寫為59×9，59×99，59×999，…，易知數(shù)列9，99，999，…的一個通項公式為10n－1，故所求的數(shù)列的一個通項公式an＝51．錯誤地表示符號規(guī)律致誤：項正負相間的數(shù)列可以用-1n，(－1)n2．未對項變形致誤：若已知的項的形式不統(tǒng)一，則不便求通項公式，因此可以先將項通過變形統(tǒng)一形式后再觀察求通項公式，如題(3)．3．求通項公式時要注意聯(lián)想：對于如題(4)這樣的數(shù)列，可以通過聯(lián)想10，100，1000，10000→9，99，999，9999→1，11，111，1111進而得到通項公式．考點2由Sn與an的關(guān)系求通項——綜合性(1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n，則此數(shù)列的通項公式為an＝________．(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項公式為an＝________．(1)2n－11(2)3，n=1，2n-1，n≥2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當n＝1時，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n-1＋1)＝2n－2n-1＝2n-1.當n＝1時，a1＝S1＝21＋1＝3，不滿足上式，綜上有an＝3將本例(1)的條件變?yōu)椋簲?shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an.解：當n＝1時，由已知，可得a1＝21＝2.因為當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1.②由①－②，得nan＝2n－2n-1＝2n-1，所以an＝2n顯然當n＝1時不滿足上式，所以an＝2已知Sn求an的步驟(1)利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出當n≥2時an的表達式．(3)檢驗n＝1時的值是否符合n≥2時的表達式，再寫出通項公式an.1．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝3C．a(chǎn)n＝2n-1 D．a(chǎn)n＝2n+1B解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n+1，即Sn＝2n+1－1.當n＝1時，a1＝S1＝3.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，顯然當n＝1時不滿足上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3，2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，則an＝________．4，n=1，2n+1，n≥2解析：當n≥2時，an＝當n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1，顯然不滿足上式．因此an＝4考點3由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項——應(yīng)用性考向1累加法已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1+1n，求數(shù)列{an解：因為an＋1＝an＋ln1+1所以an＋1－an＝lnn+1n所以an－an－1＝lnnn-1所以an－1－an－2＝lnn-1n-2，…，a2－a1所以an－a1＝lnnn-1＋lnn-1n-所以an＝lnn＋a1(n≥2)．又a1＝2，所以an＝lnn＋2.對形如an＋1＝an＋f(n)的模型求an，可以將式子變形為an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，通過累加方法求通項公式．考向2累乘法在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝n-1nan－1(n≥2)，求數(shù)列{a解：因為an＝n-1nan－1所以an－1＝n-2n-1an－2，an－2＝n-3n-2an－3，…，a2＝12以上(n－1)個式子等號的兩端相乘得an＝a1·12·23·…·n-1n當n＝1時，a1＝1，上式也成立．所以an＝1n(n∈N＋對形如an＋1＝an·f(n)(f(n)可求積)的模型求an，先變形為anan-1＝f(n－1)(n≥2)，再用累乘法求出an考向3待定系數(shù)法已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，求數(shù)列{an}的通項公式．解：將遞推公式an＋1＝2an＋3設(shè)為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且bn+1bn所以數(shù)列{bn}是以b1＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以bn＝4·2n-1＝2n+1，故an＝2n+1－3.對形如an＋1＝pan＋q(p≠1)模型求an，設(shè)為an＋1＋m＝p(an＋m)，構(gòu)造{an＋m}為公比為p的等比數(shù)列，先求出{an＋m}的通項公式，進而求出an.其中考向4取倒數(shù)法已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an2+an(n∈N＋2n解析：因為an＋1＝2an2+an，所以1an+1-1an＝12.因為a1＝2，即1a1＝12，所以數(shù)列1an是首項為1形如an＋1＝AanBan+C(1．若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，則an＝________．n2－2n＋2解析：因為an＋1＝an＋2n－1，所以當n≥2時，an－an－1＝2n－3，所以a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，所以an－a1＝1+2n-3n-12＝(n－1)2，所以an＝(n－1)2又當n＝1時，12－2×1＋2＝1，所以n＝1時符合上式．所以an＝n2－2n＋2.2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝________．2n+1解析：因為nan－1＝(n＋1)an，所以anan-1＝nn+1.又a1＝1，所以an＝anan-1·an-1a3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式．解：因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an+1+1an+1＝3，所以數(shù)列{又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n-1，所以an＝2·3n-1－1(n∈N＋)．考點4數(shù)列與函數(shù)——應(yīng)用性考向1數(shù)列的增減性與最大值、最小值(1)已知an＝n-1n+1，那么數(shù)列{aA．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列B解析：an＝n-1n+1＝n+1由于f(x)＝1－2x+1所以an＝n-(2)已知an＝n-7n-52(n∈N*)，設(shè)am8解析：an＝n-7n-52＝1＋52-7n-52(n∈N*)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，當n≤7或n≥8時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．因為當n≤7時，本例(2)中的條件改為在數(shù)列{an}中，an＝n-解：an＝n-2011n當1≤n≤44，n∈N*時，2012-2011n-2012為負數(shù)且an遞減；當45≤n≤100，n∈N*時，所以前100項中，最大項為a45，最小項為a44.解決數(shù)列的單調(diào)性問題的常用方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)用作商比較法，根據(jù)an+1an(an＞0或(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性直觀判斷．考向2數(shù)列的周期性已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2020的值為()A．2 B．1C．12 D．B解析：由已知得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝12由a4＝1，a5＝12，得a6＝1由a5＝12，a6＝12，得a由a6＝12，a7＝1，得a8由此推理可得數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，所以a2020＝a4＝1.故選B．解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值．考向3新定義問題若存在常數(shù)k(k∈N＋，k≥2)，q，d，使得無窮數(shù)列{an}滿足an＋1＝an+d，nk?N+，qan，nk∈N+，則稱數(shù)列{A．3 B．4C．5 D．6D解析：方法一：因為{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，所以b2017＝0×b2016＝0，所以b2018＝b2017＋3＝3，所以b2019＝b2018＋3＝6.故選D．方法二：因為{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，所以b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，所以當n≥4時，{bn}是周期為3的周期數(shù)列．所以b2019＝b6＝6.故選D．解決數(shù)列的新定義問題的要點(1)準確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，將所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式，切忌同已有概念或定義相混淆．(2)方法選?。簩τ跀?shù)列新定義問題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細認真地從前幾項(特殊處、簡單處)體會題意，從而找到恰當?shù)慕鉀Q方法．1．已知f(x)＝2a-1x+4，x≤1，ax，x＞1的定義域為R，數(shù)列{an}(n∈NA．(1，＋∞) B．1C．(1，3) D．(3，＋∞)D解析：由于{an}是遞增數(shù)列，所以a＞1，且f(2)＞f(1)，即a2＞2a＋3，解得a＜－1或a＞3，所以a＞3.故選D．2．已知數(shù)列{an}滿足an+1-ann＝2，A．45 B．45－1C．8 D．9C解析：由an＋1－an＝2n知，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，當n＝1時，a1＝20符合上式，所以an＝n2－n＋20，n∈N*，所以ann＝n＋20n－1，n∈所以當n≤4時，ann單調(diào)遞減，當n≥5時，ann單調(diào)遞增．因為a44＝a53．在數(shù)列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an-1(n≥2，n∈NA．－14C．45 D．B解析：在數(shù)列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an-1(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－1-14＝5，a3＝1－15＝45，a4＝1－145＝－14課時質(zhì)量評價(三十九)A組全考點鞏固練1．數(shù)列{an}為12，3，112，8，A．a(chǎn)n＝5n-42 B．a(chǎn)C．a(chǎn)n＝6n-52 D．a(chǎn)A解析：方法一：數(shù)列{an}為12，62，11方法二：當n＝2時，a2＝3，而選項B，C，D都不符合題意．故選A．2．(2022·濰坊一模)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＝n2＋4n＋1，則a1＋a3＋a5＝()A．27 B．28C．29 D．30B解析：因為Sn＝n2＋4n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝6，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.經(jīng)檢驗，當n＝1時不符合，所以an＝6，n=1，2n+3，n≥2，3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝n+1C．a(chǎn)n＝n D．a(chǎn)n＝n2C解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，an+1n+1＝ann，所以ann為常數(shù)列，即ann4．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝12，且an＋1＝22-an(n∈NA．425 B．428C．436 D．437A解析：由數(shù)列的遞推公式可得：a2＝22-a1＝43，a3＝22-a2＝3，a4＝22-據(jù)此可得數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，則6S100＝6×25×125．(多選題)大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是()A．此數(shù)列的第20項是200B．此數(shù)列的第19項是180C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為a2n＝2n2D．此數(shù)列的前n項和為Sn＝n(n－1)ABC解析：觀察此數(shù)列，偶數(shù)項通項公式為a2n＝2n2，奇數(shù)項是它的后一項減去這一項的項數(shù)，a2n－1＝a2n－2n，故C正確；由此可得a20＝2×102＝200，故A正確；a19＝a20－20＝180，故B正確；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一個等差數(shù)列的前n項，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不可能有Sn＝n·(n－1)，故D錯誤．6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________．1121解析：方法一：由a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3Sn+12，所以Sn+1方法二：由a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1=1，a2=3，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，兩式相減得an＋2－an＋1＝2an＋1，即a7．已知{an}滿足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．(－∞，3)解析：因為{an}是遞增數(shù)列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n+1＞(n－λ)2n，化簡得λ＜n＋2，對任意n∈N＋都成立．所以λ＜3.8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝n+23an(1)求a2，a3；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解：(1)因為Sn＝n+23an，且a1所以S2＝43a2，即a1＋a2＝43a2，得a由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3(2)由題意知a1＝1.當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝n+23an－n+13an整理，得an＝n+1n-1an－1，即a所以a2a1＝3，a3a2＝42將以上n－1個式子等號的兩端分別相乘，得ana1所以an＝nn+12(又a1＝1適合上式，故an＝nn+12(n∈NB組新高考培優(yōu)練9．《算學(xué)啟蒙》中提到一些堆垛問題，如“三角垛果子”，就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐，每層皆堆成正三角形，從上向下數(shù)，每層果子數(shù)分別為1，3，6，10，….現(xiàn)有一個“三角垛果子”，其最底層每邊果子數(shù)為10，則該層果子數(shù)為()A．50 B．55C．100 D．110B解析：由題意可知三角垛從上向下，每層果子數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可變形為a1＝1×1+12，a2＝2×2+12，a3＝3×3+12，a4＝4×4+12，由此得數(shù)列{a10．若數(shù)列{an}滿足12≤an+1an≤2(n∈N＋)，則稱{an}是“緊密數(shù)列”．若{an}(n＝1，2，3，4)是“緊密數(shù)列”，且a1＝1，a2＝32，a3＝A．[1，3) B．[1，3]C．[2，3] D．[2，3)C解析：依題意可得12≤x3211．(2022·浙江卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an-13anA．2＜100a100＜52 B．52＜100aC．3＜100a100＜72 D．72＜100aB解析：因為an＋1－an＝-1所以{an}為遞減數(shù)列．又an＋1＝an-13所以an+1an＝1－13a又a1＝1＞0，則an＞0，所以an－an＋1＝13an2≥1所以1a所以1an≥1a1+13(n－1)＝1所以100a100≤100×3102＜306由an＋1＝an-13an2得an＋1＝an1累加可得，1an+1≤13n所以1a100≤34＋13所以100a100＞100×140＝5綜上，52＜100a10012．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋log31-22n+1，則－3解析：因為an＋1＝an＋log31-22n+1＝an＋log32n-12n+1＝an＋log3(2n－1)－log3(2n＋1)，所以a