青島版八年級數(shù)學(xué)上冊 （線段的垂直平分線）教育教學(xué)課件

線段的垂直平分線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4

觀察

如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點A與點A′關(guān)于線段CD所在的直線l對稱，問線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？我發(fā)現(xiàn)

我們可以把人字形屋頂框架圖進行簡化得到下圖.

已知點A與點A′關(guān)于直線l對稱，如果沿直線l折疊，則點A與點A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)

我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.

如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點P，連接PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？探究探究

作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點A與點B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl結(jié)論

線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：動腦筋

我們知道線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，反過來，如果已知一點P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點P在線段AB的垂直平分線上嗎？（1）當點P在線段AB上時，因為PA=PB，所以點P為線段AB的中點，顯然此時點P在線段AB的垂直平分線上.（2）當點P在線段AB外時，如下圖所示.因為PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.過頂點P作PC⊥AB，垂足為點C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時點P也在線段AB的垂直平分線上.結(jié)論

到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：判斷（1）如圖，CD

AB于D，則AC＝BC。（）ABCD

ABCD練習(xí)

判斷（1）如圖，CD

AB于D，則AC＝BC。（）ABCD

ABCD（2）如圖，AD＝BD，則AC＝BC。（）練習(xí)

如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________,DA=____.ABEDC（1）4cm6cm練習(xí)例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交于點O，連接OA，OB，OC.

求證：點O在AC的垂直平分線上.舉例證明∵點O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點O在AC的垂直平分線上.練習(xí)1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交

AB，BC于點D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.2.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且

AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點O.

求證：AO=BO.證明：∵

AC=BC，AD=BD，∴點C和點D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點O∴AO=BO.

如圖，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周長是_______cm.ABCDE(2)26練習(xí)如圖，已知點D在AB的垂直平分線上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周長是（）cm。∟ADEBCMNA.6B.7C.8D.99練習(xí)角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩上端點距離相等的所有點的集合ABMNP點的集合是一條射線點的集合是一條直線二、逆定理：到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等三、

線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點距離相等的所有點的集合小結(jié)做一做如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.

根據(jù)“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點.想一想，做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線．已知：線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

2．作直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．DCBA

因為線段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點就是線段AB的中點，所以可以用這種方法作出線段的中點.

用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.1.如圖，在直線l上求作一點P，使PA=PB.練習(xí)已知：如圖,在△ABC中,AB,BC的垂直平分線相交于點P,求證：點P也在AC的垂直平分線上證明：連接AP,BP,CP.∵點P在線段AB的垂直平分線上,∴PA=PB同理,PB=PC.∴PA=PC.∴點P在線段AB的垂直平分線上,∴AB,BC,AC的垂直平分線相交于一點.ABCP2.如圖，作出△ABC的BC邊上的高.動腦筋如何過一點P作已知直線l的垂線呢？

由于兩點確定一條直線，因此我們可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點，從而確定已知直線的垂線.

如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考試題例解析∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故應(yīng)選擇C.C已知：如圖，△ABC中，AC=16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm，求BC的長。做一做解:∵DE是AB的垂直平分線∴EA=EB(線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等）∵△BCE周長=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周長-(CE+EB)=△BCE周長-AC=10cm解：∵DE是△ABC邊AB的垂直平分線∴EB=EA∴△AEC的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9

如圖，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周長解:做一做已知：如圖，P為∠MON內(nèi)一點，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，F(xiàn)B=FP，若AB長為15cm，求△PCD的周長?！逴M⊥PA于E，EA=EP，點C在OM上，∴CA=CP(線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等）同理，∵ON⊥PB于F，F(xiàn)B=FP，點D在ON上，∴DB=DP∵△PCD周長=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB又∵AB=15cm∴△PCD周長=15cm填空：4.已知:如圖,在ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=3cm,ABD的周長為13c