2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題7.6 數(shù)學(xué)歸納法 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題7.6數(shù)學(xué)歸納法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到等式左邊需增添的項(xiàng)是（）A．B．C．D．2．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立 B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立 D．n=2(k+2)時(shí)等式成立3．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時(shí)，由n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋14．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為證明（）A．B．C．D．5．（2019·浙江高二月考）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．6．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．7.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______________．8.（2019屆江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)摸底）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=1,9.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.10．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}滿足：，點(diǎn)在直線上．（1）求的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國(guó)）已知數(shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，則（）A． B．C． D．3．（2020·浙江省桐廬中學(xué)）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的個(gè)數(shù)（）①；②；③對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）.A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．D．5．（2021·上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.6．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，均有，，則_______；______.7．（2020·江蘇南通·高三其他）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）請(qǐng)寫出，，滿足的關(guān)系式，并加以證明；（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：．8.（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，證明：，．10.已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足（1）求過點(diǎn)P1（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．2.（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．證明：當(dāng)時(shí)（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．3．(湖北省高考真題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大?。唬á颍┯?jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：．4.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．5.(江蘇省高考真題)已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對(duì)任意的，等式成立．6.（2021·上海普陀區(qū)·高三其他模擬）如圖，曲線與直線相交于，作交軸于，作交曲線于，……，以此類推.（1）寫出點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）猜想的坐標(biāo)，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.專題7.6數(shù)學(xué)歸納法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，從到等式左邊需增添的項(xiàng)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分別寫出和時(shí)，等式左邊的表達(dá)式，比較2個(gè)式子，可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，共個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，當(dāng)時(shí)，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項(xiàng)是.故選：C.2．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立 B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立 D．n=2(k+2)時(shí)等式成立【答案】B【解析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】解：由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證下一個(gè)偶數(shù)，即時(shí)等式成立，不是，因?yàn)槭桥紨?shù)，是奇數(shù)，故選：．3．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時(shí)，由n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法、不等式特點(diǎn)知有左側(cè)，有左側(cè)，即可判斷增加的項(xiàng)數(shù).【詳解】時(shí)，左邊=，而n＝k＋1時(shí)，左邊＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項(xiàng)，故選：C.4．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各選項(xiàng)左側(cè)一樣，要轉(zhuǎn)化證明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【詳解】根據(jù)放縮法證明不等式，首先排除A，C；D選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，左端值為，右端為，不等式不成立，故只要證明B成立，原不等式即成立.故選：B.5．（2019·浙江高二月考）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，假設(shè)“”成立;當(dāng)時(shí)，左邊為故增加的項(xiàng)數(shù)為項(xiàng).故答案為：C.6．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．【答案】5【解析】分別寫出和時(shí)的對(duì)應(yīng)的結(jié)果，再比較差異，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，原式為：，當(dāng)時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng).故答案為：57.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，猜想得，故，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①，滿足，②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即，可得，則，，也滿足，結(jié)合①②可知，，故答案為．8.（2019屆江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)摸底）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=1,【答案】見解析.【解析】當(dāng)n=1時(shí)，a2=1+a11+a假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，ak<ak+2-=a所以，n=k+1時(shí)，不等式成立．綜上所述，不等式an9.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)證明見解析.【詳解】分析：（1）將n進(jìn)行賦值，分別求得前三項(xiàng)的數(shù)值，猜想歸納處通項(xiàng)；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明猜想即可.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；由此猜想；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，②假設(shè)（，且）時(shí)結(jié)論成立，即，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，由①②可知對(duì)于一切的自然數(shù)，成立.10．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}滿足：，點(diǎn)在直線上．（1）求的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）證明見解析.【解析】（1）先將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，得到遞推關(guān)系，再依次求出前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合遞推關(guān)系，用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】(1)點(diǎn)在直線上可知，數(shù)列滿足：，

，．可猜得．

(2)當(dāng)時(shí)，成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，成立，

就是說，猜想正確；綜上，．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國(guó)）已知數(shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)特殊值法，分別令，，即可判斷ABD錯(cuò)誤；再由數(shù)學(xué)歸納法證明C選項(xiàng)正確.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，若，則，不滿足，故A錯(cuò)誤；若，則，，，不滿足，故D錯(cuò)誤；又此時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；構(gòu)造函數(shù)，，，所以，則在上顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞增；因此在上單調(diào)遞增，所以，猜想，對(duì)任意恒成立；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即恒成立；則時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，對(duì)任意恒成立；故C正確.故選：C.2．（2021·浙江高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】轉(zhuǎn)化條件為，令，通過導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，通過數(shù)學(xué)歸納法可證明如果，則，再令，通過導(dǎo)數(shù)證明后，適當(dāng)放縮可得，進(jìn)而可證明，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由題意，，如果，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?duì)于任意的，均有，所以.故選：B.3．（2020·浙江省桐廬中學(xué)）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的個(gè)數(shù)（）①；②；③對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)及遞推關(guān)系得，然后作差，可判斷①，已知等式變形為，求出平方和可得②成立，利用簡(jiǎn)單的放縮可得，可判斷③，利用數(shù)學(xué)歸納法思想判斷④．【詳解】，若，則，∴，∴，①正確；由已知，∴，②正確；由及①得，，∴，顯然對(duì)任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，③正確；(i)已知成立，(ii)假設(shè)，則，又，即，∴，由數(shù)學(xué)歸納法思想得④正確．∴4個(gè)命題都正確．故選：D．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）.A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則有，，，構(gòu)建，求導(dǎo)分析可知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，分別判定，，即得單調(diào)性，數(shù)列與的單調(diào)性一致，可判定A選項(xiàng)正確；B、C選項(xiàng)利用分析法證明，可知B正確，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】∵，，∴，，，設(shè)，，，則，令，則，∴單調(diào)遞增，將，看作是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則，∴數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，，同理，，，即，，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，而數(shù)列與的單調(diào)性一致，∴是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；由得，要證，即證，即，即證，也即要證，等價(jià)于，顯然時(shí)，，時(shí)，，故成立，∴不等式成立．B正確；欲證，只需證，即即，顯然成立，故，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；欲證，因單調(diào)性一致則只需證，只需證因?yàn)?，若，則；又因?yàn)椋?，則，由數(shù)學(xué)歸納法有，則成立故D選項(xiàng)正確。故選：C5．（2021·上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【答案】1010【解析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計(jì)算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，均有，，則_______；______.【答案】12146【解析】由遞推關(guān)系計(jì)算出，再計(jì)算出，然后可以計(jì)算，歸納出的通項(xiàng)公式（可用數(shù)學(xué)歸納法證明），求得和．【詳解】因?yàn)?，，由已知，，，，，，，，，歸納結(jié)論，，證明：（1），由上面知已經(jīng)成立；假設(shè)時(shí)，假設(shè)成立，即，，則，，，由數(shù)學(xué)歸納法知，，對(duì)一切成立．．故答案為：1；2146．7．（2020·江蘇南通·高三其他）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）請(qǐng)寫出，，滿足的關(guān)系式，并加以證明；（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：．【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），，之間滿足的關(guān)系式是：，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即，當(dāng)時(shí)，，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立，所以.證畢.8.（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明【答案】（1），；（2）詳見解析.【解析】（1）由題意，得，即，解得或，已知故．，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，，．（2）法1．，，累加得當(dāng)，，當(dāng)，∴法2．先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)，．①當(dāng)時(shí)，，左式>右式，不等式成立．②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得證當(dāng)，．.9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，證明：，．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以是公比為2的等比數(shù)列，即，即，由，得，所以的通項(xiàng)公式．（2）方法一（放縮法）：因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，取到“”號(hào)，綜上所述，，方法二（數(shù)學(xué)歸納法）：因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，左邊，右邊，原不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即，那么，當(dāng)時(shí)，左邊，即時(shí)也成立，由此可知，原不等式對(duì)于任意的均成立．10.已知點(diǎn)Pn(an,bn)滿足（1）求過點(diǎn)P1（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn【答案】（1）2x+y-1=0.（2）見解析.【解析】(1)由P1的坐標(biāo)為(1,?1)知：a1=1，b1=?1.∴b2=b11-4a12=13,∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為13∴直線l的方程為2x+y-1=0.(2)要證明原問題成立只需證明點(diǎn)Pn都滿足2x+y=1即可①當(dāng)n=1時(shí)，2a1+b1=2×1+(?1)=1，成立.②假設(shè)n=k(k∈N*,k?1)時(shí)，2ak+bk=1成立，即則2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1=bk1-4∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由①②知，對(duì)n∈N?，都有2an+bn=1，即點(diǎn)Pn在直線l上練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．證明：當(dāng)時(shí)（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，，那么時(shí)，若，則，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得記函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0，因此故（Ⅲ）因?yàn)樗缘糜傻盟怨示C上，．3．(湖北省高考真題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大?。唬á颍┯?jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）見解析.【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推測(cè)：．②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②．（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即．當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得．所以當(dāng)時(shí)，②也成立．根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)n都成立．（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得，即．4.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）由錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.5.(江蘇省高考真題)已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對(duì)任意的，等式成立．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明：見解析.【解析】（Ⅰ）由已知，得于是所以故（Ⅱ）證明：由已知，得等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得，即，類似可得，，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有的都成立.(i)當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即.因?yàn)?，所?所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.綜合(i),(ii)可知等式對(duì)所有的都成立.令，可得().所以()．6.（2021·上海普陀區(qū)·高三其他模擬）如圖，曲線與直線相交于，作交軸于，作交曲線于，……，以此類推.（1）寫出點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）猜想的坐標(biāo)，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】（1），，；，，；（2），證明見解析.【解析】（1）將直線，曲線方程聯(lián)立，由即可求得，由垂直關(guān)系可得直線方程，令即可求得坐標(biāo)，依次類推即可求得結(jié)果；（2）由（1）可歸納出；設(shè)，，由直線方程可求得坐標(biāo)，由直線斜率為可推導(dǎo)得到遞推關(guān)系式；根據(jù)遞推關(guān)系式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得：，即；直線方程為：，即，令，解得：，；直線方程為：，由得：，即；直線方程為：，即，令，解得：，；直線方程為：，由得：，即；直線方程為，即，令，解得：，；（2）由（1）猜想的坐標(biāo)為，設(shè)，，則直線的方程為：，令，解得：，，直線的斜率為，即，即，，用數(shù)學(xué)歸納法證明的坐標(biāo)如下：①當(dāng)時(shí)，滿足；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，由得：，解得：，即當(dāng)時(shí)，成立；綜上所述：.專題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·廣西興寧?南寧三中高一期末）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱 B．上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱 D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱2.（2021·江西師大附中高二月考（理））如圖是一個(gè)棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們?yōu)槿鹊牡妊苯侨切危瑒t該棱錐的俯視圖不可能是（）A． B．C． D．3.（2021·江蘇高一期末）已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A．1 B． C． D．24.（2020·河北易縣中學(xué)高三其他（文））若圓臺(tái)的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺(tái)的高為（）A． B．2 C． D．5.（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個(gè)圖形①②中，可能是其俯視圖的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，每個(gè)圓錐的底面直徑和高均為，現(xiàn)有體積為的細(xì)沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A． B． C． D．7.（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）A．8 B．6 C． D．8．（2021·浙江高三三模）如圖，等腰直角三角形在平面上方，，若以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影不可能的是（）A． B． C． D．9．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末）設(shè)是半徑為的球的直徑，則兩點(diǎn)的球面距離是________．10．（2020·全國(guó)）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來(lái)，畫出它的直觀圖．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圓柱的高為，底面周長(zhǎng)為，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·寧波市北侖中學(xué)高一期中）如圖，棱長(zhǎng)為的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)是的中心．勞動(dòng)課上需過點(diǎn)將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側(cè)面的交線平行于側(cè)面3.（2021·湖北隨州市·廣水市一中高一月考）如圖所示，矩形是水平放置一個(gè)平面圖形的直觀圖，其，，則原圖形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形4．（2021·肇州縣第二中學(xué)高一月考）如圖是利用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖，已知，且的面積為16，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．15．（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）三棱錐及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．6．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)）點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心7.（2021·上海高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為____________8．（2021·浙江紹興市·高一期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為4，點(diǎn)滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長(zhǎng)度為______.9.（2020屆浙江杭州四中高三上期中）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是_____，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為_____．10．（2019·全國(guó)高考真題（理））中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2021·全國(guó)高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2021·北京高考真題）定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來(lái)判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨3.（2020·全國(guó)高考真題（理））如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A． B． C． D．4．(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線5.（2018·北京高考真題（文））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.46.（2021·全國(guó)高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．專題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·廣西興寧?南寧三中高一期末）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱 B．上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱 D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱【答案】A【解析】結(jié)合圖形分析知上面為圓臺(tái)，下面為圓柱.故選：A.2.（2021·江西師大附中高二月考（理））如圖是一個(gè)棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們?yōu)槿鹊牡妊苯侨切?，則該棱錐的俯視圖不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)棱錐的三視圖想象原幾何體的結(jié)構(gòu)，可以在正方體中想象描出原幾何體，確定其結(jié)構(gòu)．【詳解】若幾何體為三棱錐，由其正視圖和側(cè)視圖可知，其底面在下方且為直角三角形，故ABD均有可能，若幾何體是四棱錐，由其正視圖和側(cè)視圖可知，其底面在下方，且為正方形，俯視圖為正方形，但對(duì)角線應(yīng)從左上到右下，C不正確．故選：C．3.（2021·江蘇高一期末）已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由側(cè)面積求出圓錐的底面圓半徑，再根據(jù)勾股定理可求得其高.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.（2020·河北易縣中學(xué)高三其他（文））若圓臺(tái)的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺(tái)的高為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺(tái)高為，由題可知：，即，所以．故選：D5.（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個(gè)圖形①②中，可能是其俯視圖的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱錐；若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；所以①②都有可能，故選：A.6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，每個(gè)圓錐的底面直徑和高均為，現(xiàn)有體積為的細(xì)沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圓錐的體積公式列方程求出沙堆的高．【詳解】解：細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為，設(shè)高為，則沙堆的體積為，解得，所以圓錐形沙堆的高度為．故選：．7.（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）A．8 B．6 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，得到原圖形的形狀為平行四邊形，進(jìn)而求得其邊長(zhǎng)，即可求解.【詳解】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得原圖形為是一個(gè)平行四邊形，如圖所示，因?yàn)樗椒胖玫囊粋€(gè)平面圖形的直觀圖的邊長(zhǎng)為1的正方形，可得，所以原圖形中，在直角中，可得，所以原圖形的周長(zhǎng)為.故選：A.8．（2021·浙江高三三模）如圖，等腰直角三角形在平面上方，，若以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影不可能的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，判斷出投影的形狀，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影如D選項(xiàng)所示；若，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影為正方形；若與所成的角的取值范圍是時(shí)，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影如A、B選項(xiàng)所示.投影不可能如C選項(xiàng)所示.故選：C.9．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末）設(shè)是半徑為的球的直徑，則兩點(diǎn)的球面距離是________．【答案】【解析】是半徑為的球的直徑，則兩點(diǎn)所對(duì)的球心角為，球面距離為．故答案為：．10．（2020·全國(guó)）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來(lái)，畫出它的直觀圖．【答案】見解析【解析】由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為2，其直觀圖如圖所示.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圓柱的高為，底面周長(zhǎng)為，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)三視圖分析出所在的位置，然后結(jié)合圓柱的側(cè)面展開圖即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖：即點(diǎn)在距離點(diǎn)在底面投影的圓弧處，沿所在的母線得到如圖所示的側(cè)面展開圖，圓柱的底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開圖的長(zhǎng)，圓柱的高即為側(cè)面展開圖的寬，而線段的距離即為所求到的路徑中的最短路徑，因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為,所以，又因?yàn)楦邽椋瑒t，所以,故選：B.2.【多選題】（2021·寧波市北侖中學(xué)高一期中）如圖，棱長(zhǎng)為的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)是的中心．勞動(dòng)課上需過點(diǎn)將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側(cè)面的交線平行于側(cè)面【答案】BCD【解析】過點(diǎn)構(gòu)建四邊形，通過相關(guān)直線間的平行關(guān)系進(jìn)一步證明為平行四邊形，找對(duì)應(yīng)線之間的垂直證明截面為矩形，從而計(jì)算截面面積【詳解】解：如圖所示，在正四面體中，4個(gè)面均為正三角形，由于點(diǎn)為的中心，所以位于的中線的外，分別取的三等分點(diǎn)，則∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面為平行四邊形，所以A錯(cuò)誤，延長(zhǎng)交于，連接，由于為的中心，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)椤危?，所以，所以截面為矩形，所以B正確，因?yàn)椋?，所以C正確，對(duì)于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正確，故選：BCD3.（2021·湖北隨州市·廣水市一中高一月考）如圖所示，矩形是水平放置一個(gè)平面圖形的直觀圖，其，，則原圖形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】由已知得原圖為平行四邊形，，利用勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)得到,可判斷原圖形的形狀.【詳解】因?yàn)椋?，所以直觀圖還原得，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，所以，故原圖形為菱形．故選：C.4．（2021·肇州縣第二中學(xué)高一月考）如圖是利用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖，已知，且的面積為16，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】利用面積公式，求出直觀圖的高，求出，然后在直角三角形中求解即可【詳解】解：由直觀圖可知，在中，，因?yàn)榈拿娣e為16，,所以，所以，所以，因?yàn)?，軸于點(diǎn)，所以，故選：A5．（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）三棱錐及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，結(jié)合幾何體的數(shù)量關(guān)系，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)三棱錐及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖，可得底面中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，且底面，又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，且根據(jù)側(cè)視圖，可得，在直角中，可得又由，在直角中，可得.故選：B.6．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)）點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】過點(diǎn)作平面，因?yàn)椋玫?，即可求?【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作平面，可得因?yàn)椋傻?，所以為的外?故選：A.7.（2021·上海高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為____________【答案】2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值．【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設(shè)軸截面頂角為，因?yàn)閳A錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則，截面的面積為，因?yàn)?，所以時(shí)，．故答案為：2．8．（2021·浙江紹興市·高一期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為4，點(diǎn)滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長(zhǎng)度為______.【答案】【解析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征求得到面的距離，進(jìn)而利用球的截面的性質(zhì)求得各面所在平面與球的截面圓的半徑，注意與各面的三角形內(nèi)切圓的半徑比較，確定此截面圓是否整個(gè)在面所在的三角形內(nèi)，進(jìn)而確定球與各面的交線，得到球與四面體表面所得交線總長(zhǎng)度．【詳解】已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為4，所以四面體ABCD是正四面體，因?yàn)辄c(diǎn)O滿足，所以為正四面體ABCD的中心設(shè)正三角BCD的中心為F，正三角ACD的中心為G，CD的中點(diǎn)為E，則連接則．

則，，，

．

因?yàn)榍騉的半徑為，所以球O被平面截得圓半徑為，

因?yàn)檎切蜝CD的邊長(zhǎng)為4，所以正三角形內(nèi)切圓半徑為，故球O與四面體ABCD的每一個(gè)面所得的交線為正好為內(nèi)切圓，每個(gè)內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，所以球與四面體ABCD表面所得交線總長(zhǎng)度．

故答案為：．9.（2020屆浙江杭州四中高三上期中）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是_____，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面的四棱錐，且梯形上下邊長(zhǎng)為1和2，高為2，如圖：，，，，，平面，，∴底面的面積，∴幾何體的體積，可得，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為：，故答案為：；．10．（201