數(shù)理統(tǒng)計教程

第三章假設檢驗§3.1假設檢驗的基本概念

1湘潭大學數(shù)學與計算科學學院假設檢驗參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題.總體分布已知，檢驗關于未知參數(shù)的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.2湘潭大學數(shù)學與計算科學學院讓我們先看一個例子.這一講我們討論對參數(shù)的假設檢驗.3湘潭大學數(shù)學與計算科學學院生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標準.這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.4湘潭大學數(shù)學與計算科學學院每隔一定時間，抽查若干罐.如每隔1小時，抽查5罐，得5個容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.如發(fā)現(xiàn)不正常，就應停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進行抽樣檢查.5湘潭大學數(shù)學與計算科學學院很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因為停產(chǎn)的損失是很大的.當然也不能總認為正常，有了問題不能及時發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關系，假設檢驗面對的就是這種矛盾.6湘潭大學數(shù)學與計算科學學院在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位.因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來討論這個問題.罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.7湘潭大學數(shù)學與計算科學學院它的對立假設是：稱H0為原假設（或零假設，解消假設）；稱H1為備選假設（或?qū)α⒓僭O）.在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設.H0：（=355）H1：這樣，我們可以認為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個常數(shù).當生產(chǎn)比較穩(wěn)定時，現(xiàn)在要檢驗的假設是：8湘潭大學數(shù)學與計算科學學院那么，如何判斷原假設H0

是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應由什么原則來確定？由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來判斷H0

是否成立.-

||較小時，可以認為H0是成立的；當-

||生產(chǎn)已不正常.當較大時，應認為H0不成立，即-

||9湘潭大學數(shù)學與計算科學學院問題歸結為對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機波動.10湘潭大學數(shù)學與計算科學學院然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”11湘潭大學數(shù)學與計算科學學院問題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限.12湘潭大學數(shù)學與計算科學學院問題是：如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.13湘潭大學數(shù)學與計算科學學院下面我們用一例說明這個原則.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.這里有兩個盒子，各裝有100個球.一盒中的白球和紅球數(shù)99個紅球一個白球…99個另一盒中的白球和紅球數(shù)99個白球一個紅球…99個14湘潭大學數(shù)學與計算科學學院小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子，問這個盒子里是白球99個還是紅球99個？15湘潭大學數(shù)學與計算科學學院小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.我們不妨先假設：這個盒子里有99個白球.現(xiàn)在我們從中隨機摸出一個球，發(fā)現(xiàn)是此時你如何判斷這個假設是否成立呢？16湘潭大學數(shù)學與計算科學學院假設其中真有99個白球，摸出紅球的概率只有1/100，這是小概率事件.這個例子中所使用的推理方法，可以稱為小概率事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，不能不使人懷疑所作的假設.帶概率性質(zhì)的反證法不妨稱為概率反證法.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.17湘潭大學數(shù)學與計算科學學院它不同于一般的反證法概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設.一般的反證法要求在原假設成立的條件下導出的結論是絕對成立的，如果事實與之矛盾，則完全絕對地否定原假設.18湘潭大學數(shù)學與計算科學學院現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設H0后，如何作出接受和拒絕H0的結論呢？在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實際情況而定。19湘潭大學數(shù)學與計算科學學院罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.一批可樂出廠前應進行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？20湘潭大學數(shù)學與計算科學學院提出假設選檢驗統(tǒng)計量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使21湘潭大學數(shù)學與計算科學學院故我們可以取拒絕域為：也就是說,“”是一個小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.22湘潭大學數(shù)學與計算科學學院如果H0

是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個小概率事件.如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認為H0不可信而否定它.

否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：23湘潭大學數(shù)學與計算科學學院不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設檢驗又叫“顯著性檢驗”24湘潭大學數(shù)學與計算科學學院如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會比較小.其產(chǎn)生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.基于這個理由，人們常把時拒絕H0稱為是顯著的，而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的.25湘潭大學數(shù)學與計算科學學院在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設檢驗的基本思想和方法.下面，我們再結合另一個例子，進一步說明假設檢驗的一般步驟.26湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

例2

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現(xiàn)在要檢驗E(X)是否為32.5.27湘潭大學數(shù)學與計算科學學院提出原假設和備擇假設第一步：已知X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布28湘潭大學數(shù)學與計算科學學院第三步：即“

”是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.032229湘潭大學數(shù)學與計算科學學院得否定域W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量t

的實測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域這并不意味著H0一定對，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.30湘潭大學數(shù)學與計算科學學院假設檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生31湘潭大學數(shù)學與計算科學學院如果H0成立，但統(tǒng)計量的實測值落入否定域，從而作出否定H0的結論，那就犯了“以真為假”的錯誤.如果H0不成立，但統(tǒng)計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表32湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

假設檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.33湘潭大學數(shù)學與計算科學學院兩類錯誤是互相關聯(lián)的，當樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.34湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例3

某織物強力指標X的均值=21公斤.改進工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設強力指標服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強力是否有提高?解:提出假設:取統(tǒng)計量否定域為W:=2.33是一小概率事件35湘潭大學數(shù)學與計算科學學院代入=1.2,n=30，并由樣本值計算得統(tǒng)計量U的實測值U=2.51>2.33故拒絕原假設H0.落入否定域解:提出假設:取統(tǒng)計量否定域為W:=2.33此時可能犯第一類錯誤，犯錯誤的概率不超過0.01.36湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

其它情況可參看書上表，否定域請自己寫出.注意：我們討論的是正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗，或樣本容量較大，可用正態(tài)近似的情形.下面我們對本講內(nèi)容作簡單小結.37湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

提出假設

根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查的目的,提出原假設H0

和備選假設H1作出決策抽取樣本檢驗假設

對差異進行定量的分析，確定其性質(zhì)(是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域總結38湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3.2參數(shù)假設檢驗一、單個總體參數(shù)的檢驗二、兩個總體參數(shù)的檢驗39湘潭大學數(shù)學與計算科學學院一、單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗)U

,檢驗的檢驗關于為已知(.ms2140湘潭大學數(shù)學與計算科學學院對于給定的檢驗水平由標準正態(tài)分布分位數(shù)定義知，因此，檢驗的拒絕域為其中為統(tǒng)計量U的觀測值,這種利用U統(tǒng)計量來檢驗的方法稱為U檢驗法。41湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例1

某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量,其結果如下:假定切割的長度X服從正態(tài)分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?解42湘潭大學數(shù)學與計算科學學院查表得43湘潭大學數(shù)學與計算科學學院44湘潭大學數(shù)學與計算科學學院由t分布分位數(shù)的定義知45湘潭大學數(shù)學與計算科學學院在實際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題.上述利用t

統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.46湘潭大學數(shù)學與計算科學學院如果在例1中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解查表得t分布表例247湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3.方差已知時總體均值的單側假設檢驗48湘潭大學數(shù)學與計算科學學院于是問題就是檢驗:H0:μ=μ0

━━即新技術或新配方對于提高產(chǎn)品質(zhì)量無效果.還是H1:μ>μ0

━━即新技術或新配方確實有效,提高了產(chǎn)品質(zhì)量.解決問題的思路:如果μ=μ0,即原假設成立時,那么:就不應該太大.反之,如果它過于大,那么想必是原假設不成立.49湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

當原假設H0:μ=μ0

成立時,有:求解:拒絕域為50湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解

建立假設取統(tǒng)計量分布未知51湘潭大學數(shù)學與計算科學學院但由題設因而事件故在H0真實的前提下，由可知52湘潭大學數(shù)學與計算科學學院因而拒絕域查正態(tài)分布函數(shù)表知由于53湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解

建立假設拒絕域應取作由樣本求得故應拒絕H0，不能接受這批玻璃紙.54湘潭大學數(shù)學與計算科學學院表:一個正態(tài)總體均值的假設檢驗(顯著性水平為α)55湘潭大學數(shù)學與計算科學學院要檢驗假設:根據(jù)56湘潭大學數(shù)學與計算科學學院57湘潭大學數(shù)學與計算科學學院拒絕域為:58湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解例3

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差

=5000(小時2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所變化.現(xiàn)隨機的取26只電池,測出其壽命的樣本方差=9200(小時2).問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?59湘潭大學數(shù)學與計算科學學院拒絕域為:可認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化.60湘潭大學數(shù)學與計算科學學院4方差的單邊假設檢驗當H0為真時有61湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解

建立假設查表得拒絕域為現(xiàn)由樣本求得故可接受原假設,在α=0.05水平上認為這批導線的電阻波動合格62湘潭大學數(shù)學與計算科學學院表:一個正態(tài)總體方差的假設檢驗(顯著性水平為α)63湘潭大學數(shù)學與計算科學學院二、兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗1.已知方差時兩正態(tài)總體均值的檢驗需要檢驗假設:上述假設可等價的變?yōu)?/p>

利用u檢驗法檢驗.64湘潭大學數(shù)學與計算科學學院65湘潭大學數(shù)學與計算科學學院故拒絕域為由標準正態(tài)分布分位數(shù)的定義知66湘潭大學數(shù)學與計算科學學院67湘潭大學數(shù)學與計算科學學院68湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2.未知方差時兩正態(tài)總體均值的檢驗

利用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設.69湘潭大學數(shù)學與計算科學學院70湘潭大學數(shù)學與計算科學學院對給定的71湘潭大學數(shù)學與計算科學學院故拒絕域為72湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例2有甲、乙兩臺機床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中隨機地抽取若干件,測得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著差異?假定兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解73湘潭大學數(shù)學與計算科學學院即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異.74湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3方差未知時均值的單側假設檢驗以例子說明75湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解

城市考生平均成績農(nóng)村考生平均成績且76湘潭大學數(shù)學與計算科學學院建立假設檢驗統(tǒng)計量為查分布表得由于故接受H0，表示無充分的證據(jù)顯示來自城市的中學考生的平均成績比來自農(nóng)村的中學考生的平均成績要高一些.77湘潭大學數(shù)學與計算科學學院表:兩個正態(tài)總體均值的假設檢驗(顯著性水平為α）78湘潭大學數(shù)學與計算科學學院需要檢驗假設:3.兩正態(tài)總體方差的檢驗（F檢驗）79湘潭大學數(shù)學與計算科學學院80湘潭大學數(shù)學與計算科學學院為了計算方便,習慣上取81湘潭大學數(shù)學與計算科學學院檢驗問題的拒絕域為上述檢驗法稱為F檢驗法.82湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解某磚廠制成兩批機制紅磚,抽樣檢查測量磚的抗折強度(公斤),得到結果如下:已知磚的抗折強度服從正態(tài)分布,試檢驗:(1)兩批紅磚的抗折強度的方差是否有顯著差異?(2)兩批紅磚的抗折強度的數(shù)學期望是否有顯著差異?(1)檢驗假設:例383湘潭大學數(shù)學與計算科學學院查表7-3知拒絕域為84湘潭大學數(shù)學與計算科學學院(2)檢驗假設:85湘潭大學數(shù)學與計算科學學院查表7-3知拒絕域為86湘潭大學數(shù)學與計算科學學院4兩個正態(tài)總體方差的單側假設檢驗對于假設選用統(tǒng)計量在假設H0成立時從而得H0的拒絕域為但是從而分布未知87湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解

設舊工藝的精度設新工藝的精度且X、Y相互獨立檢驗的假設查表及計算得故拒絕H0,新工藝的精度比老工藝的精度顯著地好.88湘潭大學數(shù)學與計算科學學院表:兩個正態(tài)總體方差的假設檢驗(顯著性水平為α）89湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3.3參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計三、小結90湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

引言前面，我們討論了參數(shù)點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.91湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.92湘潭大學數(shù)學與計算科學學院也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.習慣上把置信水平記作，這里是一個很小的正數(shù).93湘潭大學數(shù)學與計算科學學院置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的94湘潭大學數(shù)學與計算科學學院尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.我們選取未知參數(shù)的某個估計量，根據(jù)置信水平，可以找到一個正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.95湘潭大學數(shù)學與計算科學學院下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.96湘潭大學數(shù)學與計算科學學院一、區(qū)間估計基本概念1.

置信區(qū)間的定義97湘潭大學數(shù)學與計算科學學院關于定義的說明98湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例如99湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內(nèi).這里有兩個要求:由定義可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量)100湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.101湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)102湘潭大學數(shù)學與計算科學學院103湘潭大學數(shù)學與計算科學學院單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出104湘潭大學數(shù)學與計算科學學院二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計1.I單個總體的情況105湘潭大學數(shù)學與計算科學學院推導過程如下:106湘潭大學數(shù)學與計算科學學院107湘潭大學數(shù)學與計算科學學院這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為108湘潭大學數(shù)學與計算科學學院包糖機某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1109湘潭大學數(shù)學與計算科學學院110湘潭大學數(shù)學與計算科學學院附表2-2查表得111湘潭大學數(shù)學與計算科學學院推導過程如下:112湘潭大學數(shù)學與計算科學學院113湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2114湘潭大學數(shù)學與計算科學學院就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.115湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設糖包的重量服從正態(tài)分布116湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解例4117湘潭大學數(shù)學與計算科學學院118湘潭大學數(shù)學與計算科學學院119湘潭大學數(shù)學與計算科學學院推導過程如下:根據(jù)II.120湘潭大學數(shù)學與計算科學學院121湘潭大學數(shù)學與計算科學學院進一步可得:注意:在密度函數(shù)不對稱時,習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).122湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

(續(xù)例2)

求例2中總體標準差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標準差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例5123湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2、兩個總體的情況討論兩個總體均值差和方差比的估計問題.124湘潭大學數(shù)學與計算科學學院推導過程如下:I.125湘潭大學數(shù)學與計算科學學院126湘潭大學數(shù)學與計算科學學院127湘潭大學數(shù)學與計算科學學院128湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例6機床廠某日從兩臺機床加工的零件中,分別抽取若干個樣品,測得零件尺寸分別如下(單位:cm):

第一臺機器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0

第二臺機器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假設兩臺機器加工的零件尺寸均服從正態(tài)分布,且方差相等,試求兩機床加工的零件平均尺寸之差的區(qū)間估計129湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解用表示第一臺機床加工的零件尺寸,用

表示第二臺機床加工的零件尺寸,由題設130湘潭大學數(shù)學與計算科學學院經(jīng)計算，得131湘潭大學數(shù)學與計算科學學院置信下限置信上限故所求的置信度為95%的置信區(qū)間為

[0.0912,0.5088].132湘潭大學數(shù)學與計算科學學院推導過程如下:II.133湘潭大學數(shù)學與計算科學學院根據(jù)F分布的定義,知134湘潭大學數(shù)學與計算科學學院135湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解例7研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只,測得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設兩樣本相互獨抽取機器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信136湘潭大學數(shù)學與計算科學學院137湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解例8的置甲、乙兩臺機床加工同一種零件,在機床甲加工的零件中抽取9個樣品,在機床乙加工的零件信區(qū)間.假定測量值都服從正態(tài)分布,方差分別為在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺機床加工精度之比中抽取6個樣品,并分別測得它們的長度(單位:mm),138湘潭大學數(shù)學與計算科學學院139湘潭大學數(shù)學與計算科學學院三、單側置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間.140湘潭大學數(shù)學與計算科學學院于是引入單側置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設是一個待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信下限.141湘潭大學數(shù)學與計算科學學院又若統(tǒng)計量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側置信區(qū)間.稱為單側置信上限.142湘潭大學數(shù)學與計算科學學院設燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側置信下限.

例4從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸量解：的點估計取為樣本均值143湘潭大學數(shù)學與計算科學學院對給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側置信區(qū)間為

144湘潭大學數(shù)學與計算科學學院將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側置信下限是1065小時的置信水平為的單側置信下限為即145湘潭大學數(shù)學與計算科學學院三、小結點估計不能反映估計的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計.求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).146湘潭大學數(shù)學與計算科學學院條件統(tǒng)計量置信區(qū)間μσ2σ2已知μ已知μ未知σ2未知單個正態(tài)總體期望與方差的1-α置信區(qū)間(小結)147湘潭大學數(shù)學與計算科學學院兩個正態(tài)總體均值差與方差比的1-α置信區(qū)間(小結)條件統(tǒng)計量置信區(qū)間σ12,σ22已知σ12=σ22未知μ1—μ2σ12/σ22μ1，μ2已知μ1，μ2未知P{|U|＜U1-α/2}=1-αP{|t|＜t1-α/2}=1-αP{Fα/2＜F＜F1-α/2}=1-α148湘潭大學數(shù)學與計算科學學院正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計149湘潭大學數(shù)學與計算科學學院但n充分大時近似置信區(qū)間150湘潭大學數(shù)學與計算科學學院151湘潭大學數(shù)學與計算科學學院附表2-1標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645152湘潭大學數(shù)學與計算科學學院z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標準正態(tài)分布表153湘潭大學數(shù)學與計算科學學院附表3-1

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315154湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-2分布表155湘潭大學數(shù)學與計算科學學院附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表27.488156湘潭大學數(shù)學與計算科學學院附表4-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912分布表6.262157湘潭大學數(shù)學與計算科學學院

從浩瀚無垠的宇宙到微小的分子、原子，從無機界到有機界，從自然到社會，無一事物不處在與其他事物的聯(lián)系之中.事物之間不僅存在著相互聯(lián)系，而且還具有一定的內(nèi)部規(guī)律.第四章線性回歸分析例②生產(chǎn)特點：①可人為改變(可控因素)化工產(chǎn)品苯酚的產(chǎn)率記為影響產(chǎn)率的五個主要因素有溫度

時間

壓力

催化劑種類

堿液用量、、、、隨各的變化而變化,即是因變量③即使各相同的值也不完全相同,故是即有問題回歸分析對回歸函數(shù)進行統(tǒng)計推斷一般地,

未知,如何確定？是普通函數(shù),表示與各之間的確定性關系不可觀測的隨機誤差

可用函數(shù)表示帶有隨機性,不能用確定的函數(shù)表示

人的身高與體重之間存在一定關系

人的年齡與血壓之間存在一定關系

某地溫度與濕度之間存在一定關系

廣告投入與銷量之間存在一定關系

復習時間與成績之間存在一定關系確定性關系變量之間的關系非確定性關系確定性關系特點：非確定性關系特點：

x、y之間存在一種隨機的相依關系例例例例例可以任意給定，或可以控制，或可以觀察的量隨著的變化而變化，即使對于相同的值，的取值也不相同，因而是r.v稱為自變量，或控制變量稱為因變量，或響應變量研究自變量與因變量之間的相關關系。變量的特點回歸分析研究的內(nèi)容

從數(shù)量的角度去研究這種關系，是數(shù)理統(tǒng)計的一個任務.包括通過觀察和試驗數(shù)據(jù)去判斷變量之間有無關系，對其關系大小作數(shù)量上的估計、推斷和預測,等等.

回歸分析就是研究相關關系的一種重要的數(shù)理統(tǒng)計方法.變量之間既互相聯(lián)系但又不是完全確定的關系，稱為相關關系.最小二乘法產(chǎn)生的歷史最小二乘法最早稱為回歸分析法。由著名的英國生物學家、統(tǒng)計學家道爾頓（F.Gallton）——達爾文的表弟所創(chuàng)。早年，道爾頓致力于化學和遺傳學領域的研究。他研究父親們的身高與兒子們的身高之間的關系時，建立了回歸分析法。最小二乘法的地位與作用現(xiàn)在回歸分析法已遠非道爾頓的本意已經(jīng)成為探索變量之間關系最重要的方法，用以找出變量之間關系的具體表現(xiàn)形式。后來，回歸分析法從其方法的數(shù)學原理——殘差平方和最?。ㄆ椒侥硕艘玻┏霭l(fā)，改稱為最小二乘法。父親們的身高與兒子們的身高之間

關系的研究1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千個家庭的身高、臂長和腿長的記錄企圖尋找出兒子們身高與父親們身高之間關系的具體表現(xiàn)形式下圖是根據(jù)1078個家庭的調(diào)查所作的散點圖（略圖）160165170175180185140150160170180190200YX兒子們身高向著平均身高“回歸”，以保持種族的穩(wěn)定“回歸”一詞的由來從圖上雖可看出，個子高的父親確有生出個子高的兒子的傾向，同樣地，個子低的父親確有生出個子低的兒子的傾向。得到的具體規(guī)律如下：如此以來，高的伸進了天，低的縮入了地。他百思不得其解，同時又發(fā)現(xiàn)某人種的平均身高是相當穩(wěn)定的。最后得到結論：兒子們的身高回復于全體男子的平均身高，即“回歸”——見1889年F.Gallton的論文《普用回歸定律》。后人將此種方法普遍用于尋找變量之間的規(guī)律只有兩個變量的回歸分析,稱為一元回歸分析;超過兩個變量時稱為多元回歸分析.變量之間成線性關系時,稱為線性回歸,變量間不具有線性關系時,稱為非線性回歸.一元回歸多元回歸線性回歸非線性回歸它是處理兩個變量之間關系的最簡單模型.從中可以了解到回歸分析的基本思想、方法和應用.一元線性回歸第一節(jié)其中a和

b是未知常數(shù),稱為回歸系數(shù),

ε表示其它隨機因素的影響.y=a+bx+ε如果只研究x和y的關系,可以假定:

通常假定ε服從正態(tài)分布N(0,σ2),即未知

稱y=a+bx+ε,ε

～N(0,σ2)(1)

為一元線性回歸模型.由(1)得E(y)=a+bx

稱（2）為y關于x的一元線性回歸方程

.用E(y)作為y的估計得模型(1)中的變量x,y進行n次獨立觀察,得樣本觀測值：(x1,y1),…,(xn,yn)

（3）由此樣本得方程組：這里εi是第

i次觀察時的隨機誤差，它是不可觀察的.

(4)式和(5)式結合，給出了樣本(x1,y1),…,(xn,yn)的概率性質(zhì).它是對理論模型進行統(tǒng)計分析推斷的依據(jù).也常稱(4)+(5)為一元線性回歸模型.即由于各次觀察獨立，故有由于此方程的建立依賴于通過觀察或試驗取得的數(shù)據(jù),故又稱其為經(jīng)驗回歸方程或經(jīng)驗公式.

回歸分析的任務是利用n組獨立觀察數(shù)據(jù)(x1,y1),…,(xn,yn)來估計a和b,以估計值和分別代替(2)式中的a和b,得回歸方程問題：如何利用n組獨立觀察數(shù)據(jù)來估計a和b？1．用最小二乘法估計a,b

的值首先舉例說明最小二乘法的思想：

假設為了估計某物體的重量,對它進行了n次稱量,因稱量有誤差,故n次稱量結果x1,x2,…,xn有差異,現(xiàn)在用數(shù)去估計該物體的重量,則它與上述n次稱量結果的偏差的平方和為:估計原則:用這種方法作出的估計叫最小二乘估計.

最小二乘法認為,一個好的估計,應使這個平方和盡可能地小.尋找一個使上述平方和達到最小的，作為這個物體重量的估計值,這種方法稱為最小二乘法.對(x,y)作n次觀察(試驗),得到n對數(shù)據(jù),要求找一條直線,盡可能好地擬合這些數(shù)據(jù).yx

由回歸方程,當x取值xi時,應取值a+bxi,而實際觀察到的為yi,這樣就形成了偏差依照最小二乘法的思想，提出目標量Q(7)它是所有實測值yi與回歸值的偏差平方和.yx設法求出a,b的估計值,,使偏差平方和Q達到最小.由此得到的回歸直線

是在所有直線中偏差平方和Q最小的一條.

yx通?？刹捎梦⒎e分中求極值的辦法,求出使Q達到最小的,.即解方程：

得

(8)

其中

可以證明,用最小二乘法求出的估計分別是a,b的無偏估計,即它們都是y1,y2,…,yn的線性函數(shù),而且在所有y1,y2,…,yn的線性函數(shù)中,最小二乘估計的方差最小.由于是從觀察值得到的回歸方程，它會隨觀察結果的不同而改變，并且它只反映了由x的變化引起的y的變化，并沒有包含誤差項.由此引出兩個問題:(1)回歸方程是否有意義?即自變量x的變化是否真的對因變量y有影響?因此有必要對回歸效果作出檢驗.(2)如果方程真有意義，用它預測y時，預測值與真值的偏差能否估計？下面討論這兩個問題。

2.回歸方程的顯著性檢驗對任意兩個變量的一組觀察因此需要考察y與x間是否確有線性相關關系,這就是回歸效果的檢驗問題.都可以用最小二乘法形式上求得y對x的回歸方程,如果y與x沒有線性相關關系,這種形式的回歸方程就沒有意義.(xi,yi)，i=1,2,…,n

注意到只反映了x對y的影響，所以回歸值就是yi中只受xi影響的那一部分,而

則是除去xi的影響后,受其它種種因素影響的部分,故將

稱為殘差.

于是觀測值yi可以分解為兩部分和,

并且也可分解為兩部分.y1,y2,…,yn

的總偏差為

(9)因此,可以證明(10)即可以分解為兩部分:回歸平方和與殘差平方和.

反映了由于自變量x的變化引起的因變量y的差異，體現(xiàn)了x對y的影響；

反映了其它因素對y的影響,這些因素沒有反映在自變量中,它們可作為隨機因素看待.

可見,／為x的影響部分與隨機因素影響部分的相對比值.其作用和隨機因素的作用相當,于是由數(shù)據(jù)得到的回歸方程就沒有什么意義.若該比值不是顯著地大,表明我們所選的x

并不是一個重要的因素.通常可假設H0

：y和x沒有線性相關關系，對回歸方程是否有意義進行顯著性檢驗.(11)因此用

易證:~F(1，n-2)(12)的關系式中b=0時,有當來檢驗b的絕對值是否顯著大于0(或者說檢驗回歸方程是否有意義).給定顯著性水平,通過查F分布分位數(shù)表,求出否定域,便可判斷回歸方程是否有意義.拒絕域為：

由上面的討論可知,要問回歸方程是否有意義,就是要檢驗假設H0:b=0;H1:b≠0使用的檢驗統(tǒng)計量為:~F(1，n-2)(14)(13)回歸平方和與殘差平方和的計算：

當檢驗認為回歸方程確有意義.則可用來進行予測或控制,這也是建立回歸方程的重要目的.3．預測對給定的x值，由回歸方程就可得的值.小結y=a+bx+ε一元線性回歸模型:回歸系數(shù)一元線性回歸方程:無偏估計下面討論多元線性回歸.它是處理多個變量之間關系的模型.多元線性回歸第二節(jié)一般地，設影響試驗結果的因素為

x1，……，xp

，它們是可以精確測量或可控制的一般變量，y是可觀測的隨機變量，ε～N(0,σ2)是不可測的隨機誤差。p元線性回歸模型為y=β0+β1

x1+…+βp

xp+εyi=β0+β1

xi1+…+βp

xip+εi,(i=1,2,…,n)若獲得了n組獨立觀測樣本值：

(yi；xi1，…，xip)，（i=1,…,n），則有εi～i.i.d.N(0,σ2)對p元線性回歸模型，研究以下三個問題：1)據(jù)樣本觀測值估計未知參數(shù)β0

,β1

,…,βp

;σ2

。建立y與x1,…,xp的數(shù)量關系式（回歸方程）；2)對此數(shù)量關系式的可信度進行統(tǒng)計檢驗;3)檢驗各變量x1,…,xp分別對指標y是否有顯著影響1.參數(shù)估計,為此令得正規(guī)方程組稱此方程組的解為未知參數(shù)

β0

,β1

,…,βp

的最小二乘估計。

為方便起見，設結構矩陣

則上述正規(guī)方程組可改寫為X′X稱為系數(shù)矩陣，是(p+1)×(p+1)方陣

X′Y

稱為常數(shù)項矩陣，是(p+1)×1

的列向量殘差:

殘差(列)向量:

殘差平方和

（剩余平方和）殘差平方和性質(zhì)：至此，第一個問題已得到解決，即下面看第二個問題：回歸方程的顯著性檢驗2.回歸方程的顯著性檢驗平方和分解：其中檢驗問題：說明得到的回歸方程是顯著的。3.回歸系數(shù)的顯著性檢驗即認為第j個變量xj對指標值y的影響顯著。

例鐵水的總含碳量在不斷降低。一爐鋼在冶煉初期總的去碳量y與所加的二種礦石的量x1,x2及熔化時間x3有關。經(jīng)實測某號平爐得如下表的49組數(shù)據(jù)。由經(jīng)驗知y與x1,x2及x3之間有數(shù)據(jù)結構式

y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+ε，ε~N(0,σ2)。求β0、β1、β2、β3的最小二乘估計，寫出回歸方程，并求出σ2的估計。編號x1槽x2槽x35分鐘y噸編號x1槽x2槽x35分鐘y噸1218504.33022696392.7066279403.648527125515.63143514464.48328613415.81524123435.54682912747549730024615.3916312403.112531512374.45337317645.118232415494.6569865393.875933020454.5212978374.6734616424.86510023554.953635417485.356611316605.00636104484.609812018495.270137414362.38151384505.377238513363.8746編號x1槽x2槽x35分鐘y噸編號x1槽x2槽x35分鐘y噸14614515.48493998514.591915021514.59640613545.158816314515.664541581005.437317712566.079542511443.99618160483.21944386634.39719616455.807644213554.062220015524.73064578502.29052190404.680546410454.71152246323.127247105404.53123017472.610448317645.36372490443.717449415726.077125216393.8946解：由所測的數(shù)據(jù)計算得正規(guī)方程組解得最小二乘估計為由此得回歸方程為故回歸方程高度顯著

故三個變量的作用均顯著4.回歸系數(shù)的區(qū)間估計對置信水平

的置信區(qū)間為5.利用回歸模型進行預測對給定的預測區(qū)間

對y0的區(qū)間估計方法可用于給出已知數(shù)據(jù)殘差ei

服從均值為零的正態(tài)分布，所以若某個ei

的置信區(qū)間不包含零點，則認為這個數(shù)據(jù)是異常的，可予以剔除。

的置信區(qū)間，預測值第五章：方差分析方差分析方差分析是英國大統(tǒng)計學家費歇爾（R.A.Fisher）在20世紀20年代創(chuàng)立的．起初用于農(nóng)田間試驗結果的分析，隨后迅速發(fā)展完善，被廣泛應用于在工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，經(jīng)濟、管理領域，工程技術和科學研究中．方差分析與回歸分析方法有許多相似之處，但又有本質(zhì)區(qū)別，回歸分析研究兩個或多個數(shù)值型變量之間的關系，而方差分析是研究分類變量對數(shù)值型變量的影響，從形式上看，方差分析是比較多個總體均值是否相等，但本質(zhì)上它所研究的是變量之間的關系.本章學習單因素方差分析和雙因素方差分析的基本理論和方法.方差分析【營銷策略問題】某蘋果汁廠家開發(fā)了一種新產(chǎn)品