2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題-解三角形真題匯編2019-2022含解析

試卷第=page44頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page33頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)P(yáng)age31．（2019·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．2．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．3．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．4．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：5．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．6．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.7．（2019·全國(guó)·高考真題（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．8．（2019·北京·高考真題（理））在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2020·全國(guó)·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．11．（2020·全國(guó)·高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.12．（2020·全國(guó)·高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.13．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．14．（2020·海南·高考真題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．15．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．16．（2020·北京·高考真題）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．（2020·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.19．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長(zhǎng)．條件①：；條件②：的周長(zhǎng)為；條件③：的面積為；20．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．21．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．22．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．23．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．答案第=page2424頁(yè)，共=sectionpages2525頁(yè)答案第=page2525頁(yè)，共=sectionpages2525頁(yè)參考答案：1．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得，利用、兩角和差正弦公式可得關(guān)于和的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）即：由正弦定理可得：

（2），由正弦定理得：又，整理可得：

解得：或因?yàn)樗?，?（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即

由，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.2．（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.3．(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．4．(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．5．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).（1）解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.6．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)?，所以，故，又，所以，，而，所以，故?．(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘撸鶕?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題.8．(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9．（1）；（2）.【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長(zhǎng)c的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)椋?，從?因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.10．（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)?，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．11．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問(wèn)題；方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問(wèn)題.12．（1）；（2）.【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）方法一：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得，的面積；（2）[方法一]：多角換一角，，，.[方法二]：正弦角化邊由正弦定理及得．故．由，得．又由余弦定理得，所以，解得．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問(wèn)法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過(guò)余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.13．（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.14．詳見(jiàn)解析【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時(shí).若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問(wèn)題中的三角形不存在．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．15．（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結(jié)合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因?yàn)?，并利用余弦定理整理得，?結(jié)合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡(jiǎn)得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.16．選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)椋?，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.19．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②