新疆烏魯木齊市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page24新疆烏魯木齊市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于（）A.1 B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，再由模的定義求得模．【詳解】由題意，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模．屬于基礎(chǔ)題．2.若圓臺(tái)兩底面周長(zhǎng)的比是1∶4，過(guò)高的中點(diǎn)作平行于底面的平面，則圓臺(tái)被分成兩部分的體積比是A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由題意首先求得截面半徑，然后求解體積的比值即可.【詳解】由題意設(shè)上、下底面半徑分別為r、4r,截面半徑為x,圓臺(tái)的高為2h,則有則.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，方程思想的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.如圖，點(diǎn)，，，，是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中不能滿足平面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由下圖可知，平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)A不符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，，所以六點(diǎn)共面，故平面，因此選項(xiàng)B符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，由下圖可知，平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)C不符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由于四邊形是矩形，所以是中點(diǎn)，由于是中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)D不符合題意.故選：B4.已知向量，滿足，，，則向量，夾角的大小等于（）A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】將展開(kāi)并結(jié)合求解出的值，再根據(jù)向量的數(shù)量積定義即可求解出的值，從而可求.【詳解】由可得，所以，所以，而則向量，夾角的大小為30°．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的模長(zhǎng)以及向量數(shù)量積的定義和結(jié)果，計(jì)算出的值.5.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則角B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，則，從而可得，求出的值，從而可求出角【詳解】解：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，所?,,因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故選：C6.圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn).其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)(，，三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是15°和60°，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，再在三角形中，運(yùn)用正弦定理可得，再解直角三角形，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：在直角三角形中，．在中，，，故，由正弦定理，，故．在直角三角形中，．故選：D．7.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，，，則=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，設(shè)小正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為，利用向量的線性運(yùn)算構(gòu)建關(guān)于的向量方程，從而可得．【詳解】如圖，設(shè)小正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為，則，因?yàn)椋烧叫蔚膶?duì)稱性可得，所以，故，故，所以，故選：A．8.已知點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，若，則cos∠BAC=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則四邊形為菱形，設(shè)該菱形的邊長(zhǎng)為，則，表示出內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)等積法可以求出的長(zhǎng)，然后轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理即可【詳解】解：由，設(shè)，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，所以，所以四邊形為菱形，設(shè)該菱形的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)椤?，，所以的?nèi)切圓半徑，所以，所以，解得，所以為等腰三角形，所以，故選：C二、多選題（每小題5分，共20分）9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則B.若復(fù)數(shù)z滿足，則C.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓D.若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為6【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，先求得，再計(jì)算即可；對(duì)于B，設(shè)，得，從而可判斷；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的幾何意義可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件得到的表達(dá)式，再求最值即可.【詳解】對(duì)于A，，則，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，則可知，而，若時(shí)，，故B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可知是正確的；對(duì)于D，設(shè)，由z滿足，則有，令，則，所以的最小值為2，故D不正確..故選：AC10.（多選題）設(shè)，是兩個(gè)非零向量．則下列命題為假命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則存在實(shí)數(shù)，使得D.若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】ABD【解析】【分析】將兩邊同時(shí)平方可得即可判斷A；由判斷是否成立可判斷B；計(jì)算，的夾角可判斷C；舉反例可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則，得，所以不成立，故選項(xiàng)A不正確，假命題；對(duì)于B：若，則，因?yàn)椋?，所以，所以不成立，故選項(xiàng)B不正確，為假命題；對(duì)于C：由選項(xiàng)A的解析可知：若，則，因?yàn)椋?，所以，所以，是方向相反的兩個(gè)向量，即，共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，故選項(xiàng)C為真命題；對(duì)于D：取實(shí)數(shù)，使得，則，而，此時(shí)，所以選項(xiàng)D不正確，為假命題，故選：ABD11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)判斷，對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，然后利用面面平行判斷，對(duì)于C，把截面補(bǔ)形為四邊形,由等腰梯形計(jì)算其面積，對(duì)于D，由等體積法計(jì)算即可【詳解】解：對(duì)于A，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知‖，在中，，而，所以與不垂直，所以直線與直線不垂直，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則有‖，‖，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以‖平面，‖平面，因?yàn)?，所以平面‖平面，因?yàn)槠矫?，所以直線與平面平行，所以B正確對(duì)于C，如圖所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以‖，所以四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形，因?yàn)?所以，即，即，因?yàn)椋?，即，，所以等腰三角形的高為，梯形的高為，所以梯形的面積為，所以C正確，對(duì)于D，，在中，由余弦定理得所以，所以設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，可得，解得，所以D正確，故選：BCD12.若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.角一定為銳角 B.C. D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合降次公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知條件，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，，為鈍角，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，B選項(xiàng)正確.，由正弦定理得，，，由于，為鈍角，為銳角，所以兩邊除以得，.C選項(xiàng)正確.，，整理得，由于為鈍角，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（每小題5分，共20分）13.如圖所示，直觀圖四邊形是一個(gè)底角為，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫(huà)法可知，原圖為直角梯形，上底為1，高為2，下底為，利用梯形面積公式求解即可．也可利用原圖和直觀圖的面積關(guān)系求解．【詳解】解：根據(jù)斜二側(cè)畫(huà)法可知，原圖形為直角梯形，其中上底，高，下底為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查水平放置的平面圖形的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法，比較基礎(chǔ)．14.在三棱錐中，已知，，則直線與平面所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】##0.5【解析】【分析】取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明，結(jié)合三角形全等證明平面ABC，然后根據(jù)線面角定義可得.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，因?yàn)?，所以，又，所以，且，所以，又，所以平面ABC，所以PB與平面ABC所成角為，所以.故答案為：15.足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)古老的體育活動(dòng)，眾多的資料表明，中國(guó)古代足球的出現(xiàn)比歐洲早，歷史更為悠久，如圖，現(xiàn)代比賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共32個(gè)面的多面體，著名數(shù)學(xué)家歐拉證明了凸多面體的面數(shù)(F)，頂點(diǎn)數(shù)(V)，棱數(shù)(E)滿足F+V-E=2，那么，足球有______.個(gè)正六邊形的面，若正六邊形的邊長(zhǎng)為，則足球的直徑為_(kāi)_____.cm(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)【答案】①.20②.22【解析】【分析】首先根據(jù)足球表面的規(guī)律，設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，列出方程組，解方程組即可.分別計(jì)算正六邊形和正五邊形的面積，從而得到足球的表面積，再利用球體表面積公式即可得到足球的直徑.【詳解】因?yàn)樽闱蚴怯烧暹呅闻c正六邊形構(gòu)成，所以每塊正五邊形皮料周?chē)际钦呅纹ち?，每?jī)蓚€(gè)相鄰的多邊形恰有一條公共邊，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三塊皮料，而且都遵循一個(gè)正五邊形，兩個(gè)正六邊形結(jié)論.設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，有題知：，解得.所以足球有個(gè)正六邊形的面.每個(gè)正六邊形的面積為.每個(gè)正五邊形的面積為.球的表面積.所以，.所以足球的直徑為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)傳統(tǒng)文化背景，考查球體的直徑和表面積公式，同時(shí)考查了學(xué)生理解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.16.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，它的面積等于，且，則A=_______，△ABC的面積的取值范圍是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由結(jié)合余弦定理可得，由△ABC面積等于，可是，兩式結(jié)合可求得，從而可求出角；利用正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)等變換的應(yīng)用可得，可求出范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求解的范圍，進(jìn)而可求得△ABC的面積的取值范圍【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，所以，因?yàn)椤鰽BC面積等于，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，，，所?所以，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，所以，故答案為：，四、解答題(第17題10分，第18題-第22題每題12分)17.已知，，方程的一個(gè)根為，復(fù)數(shù)，滿足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將代入方程，化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的知識(shí)列方程組，由此求得，從而求得.（2）設(shè)，利用、來(lái)求得，進(jìn)而求得.【詳解】（1）依題意，得，即，由復(fù)數(shù)相等的定義及a，，得，解得.故復(fù)數(shù).（2）設(shè)（，），由，得，，又，得，即，所以，解得，所以.18.如圖甲，已知在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)，，分別在，，上（1）若，求證：平面平面；（2）如圖乙所示，若滿足，，當(dāng)為何值時(shí)，平面．【答案】（1）證膽見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）由已知比例式結(jié)合平行線截線段成比例證明線線平行，進(jìn)一步得到線面平行，再由面面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，則可得∥，可得∥平面，取的中點(diǎn),連接，則∥，可得∥平面，則平面∥平面，則∥平面，可得為的中點(diǎn).【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以∥，因?yàn)椤?，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，，所以∥平面，因?yàn)?平面,平面，所以平面平面；（2）連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，則∥，因?yàn)槠矫?平面，所以∥平面，取的中點(diǎn),連接，則∥，因?yàn)槠矫?，平面，，所以∥平面，因?yàn)?，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫?，所以∥平面，此時(shí)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?9.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若D為BC的中點(diǎn)，且△ABC的面積為，，求AD的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量?jī)?nèi)積和所給條件結(jié)合余弦定理，得到關(guān)于的二次方程，從而得解；（2）利用已知條件結(jié)合面積公式求出，利用面積公式求出,利用正弦定理求出，再根據(jù)，求出，對(duì)三角形ABD使用余弦定理求出.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以即，即，解得或，又因?yàn)殇J角，即，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】（2）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，且，可得，解得，則，所以，又由，可得，則，因?yàn)?，所以，又由，所以，所?20.已知向量.（1）求與平行的單位向量；（2）設(shè)，若存在，使得成立，求k的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)坐標(biāo)后列方程組求解（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題【小問(wèn)1詳解】設(shè)，根據(jù)題意得解得或或.【小問(wèn)2詳解】..，.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程在內(nèi)有解.令，①當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)，方程在內(nèi)無(wú)解.②當(dāng)，即時(shí)，由，解得或.③當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)，由得.解得.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.21.在中，滿足：，M是的中點(diǎn).（1）若O是