專題四因式分解及方程競賽

專題四因式分解與方程一、根本知識和方法因式分解將一個多項式寫成一個或幾個多項式相乘的形式，稱為因式分解。習(xí)慣上，我們要求因式分解的結(jié)果中的多項式為既約多項式。既約多項式也稱為不可約多項式，不能分解為次數(shù)更低的多項式的乘積。如果一個多項式能夠分解為次數(shù)更低的多項式的乘積，則這個多項式稱為可約多項式這里忽略系數(shù)含有公因子的整系數(shù)多項式。習(xí)慣上，這類多項式的因式分解要求提取系數(shù)的公因數(shù)。這里忽略系數(shù)含有公因子的整系數(shù)多項式。習(xí)慣上，這類多項式的因式分解要求提取系數(shù)的公因數(shù)。即約多項式的判定依賴于多項式所在的數(shù)集。在較小的數(shù)集上既約的多項式，在較大的數(shù)集上可能是可約的。例如，多項式在整數(shù)上是既約的，但是在實數(shù)上可以分解為；多項式在整數(shù)與實數(shù)上都是既約的，但是在復(fù)數(shù)上可以分解為。有理系數(shù)多項式可以通過提取適當(dāng)?shù)挠欣頂?shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項式。在有理數(shù)上分解因式，本質(zhì)上與在整數(shù)上分解因式是一樣的。在上一節(jié)，我們提到了多項式在運算上與整數(shù)的相似之處。多項式的因式分解與整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解也是非常相似的。多項式中既約多項式的地位與整數(shù)中質(zhì)數(shù)的地位是相似的，多項式的因式分解與整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解也非常相似。更進一步，整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解是唯一的；類似地，在相差一個數(shù)的倍數(shù)的意義下，多項式的因式分解也是唯一的。上述事實被稱為因式分解唯一定理。利用這一定理，我們可以處理一些不太容易處理的問題。考慮多項式的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公式，然后利用立方差與立方和公式，可得：為什么兩種方式分解出來的結(jié)果不一樣呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我們就可以確信：，多項式乘法顯然可以驗證這一等式，我們也可以通過“拆添項〞的技巧來到達同樣的目標(biāo)：下面我們來看一個更復(fù)雜的例子，考慮多項式的因式分解。一方面，我們有：另一方面，我們還可以得出：又一次地，我們得出了兩個不同的結(jié)果。不過根據(jù)前面的知識與經(jīng)歷，我們可以確信，，利用多項式的除法，我們可以算出：與，這樣我們最終殊途同歸：。這是年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道賽題，后來又被一位教授用作對研究生的考題"因式分解技巧"頁，單墫，華東師*大學(xué)。。得出最后的結(jié)果，一方面需要因式分解唯一定理這一知識，另一方面還需要證明多項式是既約的可以利用愛森斯坦〔Eisenstein〕判別法來證明這一多項式是既約多項式；另外，這一多項式是分圓多項式"因式分解技巧"頁，單墫，華東師*大學(xué)?？梢岳脨凵固埂睧isenstein〕判別法來證明這一多項式是既約多項式；另外，這一多項式是分圓多項式，而分圓多項式在有理數(shù)*圍內(nèi)都是既約的。因式分解的理論就介紹到這里，下面我們來重點介紹因式分解的方法。除了在中學(xué)課本中介紹的方法之外，因式分解有一個非常重要的方法——十字相乘法；其中，又以含有字母系數(shù)的十字相乘法最易被無視，而這一方法在初等數(shù)學(xué)問題中有非常廣泛與重要的應(yīng)用。整數(shù)系數(shù)的二次三項式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用頻率非常高，這里我們就不贅述了。下面，我們從二元二次六項式開場。考慮多項式的因式分解，根本的方法分為三個步驟：首先選取主元，將多項式整理為關(guān)于降冪排列的形式：，然后分解“常數(shù)項〞：，最后利用十字相乘進展分解，得：，即。這一方法同樣適用于三元齊二次多項式。例如：。首先關(guān)于降冪排列：，然后分解“常數(shù)項〞：，最后十字相乘：。即使多項式的次數(shù)超過二次，但是只要有一個字母的最高次數(shù)恰好為二次，這一方法就很有可能成功。下面我們再來看兩個較復(fù)雜的例子?？紤]多項式的因式分解。這個三元多項式并不是齊二次的，但是其中每一個字母的次數(shù)都不超過二次，因此可以選擇作為主元進展降冪排列，然后分解：再看一個例子：。這是一個更復(fù)雜的四元四次多項式，但是將其中的與看作是字母系數(shù)，將這個多項式整理為關(guān)于與的齊二次多項式，十字相乘的方法仍然奏效：因式定理因式分解與方程有著非常嚴(yán)密的聯(lián)系。利用因式分解來解一元二次方程是使用頻率非常高的解法。反過來，利用方程也可以幫助因式分解。事實上，我們有：因式定理：設(shè)是一個多項式，是方程的一個解，則多項式有因式。下面，我們用兩種方法來證明這一定理。設(shè)，其中，都是預(yù)先給定的數(shù)，則。因為，所以根據(jù)公式，對于每一個， ，即，因此，即有因式。我們用多項式的帶余除法給出另一種證明。設(shè)多項式除以的商式為，余式為，即，則多項式的次數(shù)低于除式的次數(shù)，即實際上是一個數(shù)，設(shè)為。因此，在上式中代入，得，因此有，而，所以，即有因式。根據(jù)這一證明，我們可以得到因式定理的一個推廣：余數(shù)定理多項式除以所得的余數(shù)等于。當(dāng)我們需要計算一元多項式中，一個多項式除以一個一次多項式的余式時，余數(shù)定理提供了可能更為快捷的計算方法。因式定理用于多項式的因式分解，有兩個比擬重要的應(yīng)用：一個是進展高次多項式——特別是三次多項式——的因式分解，另一個是對稱多項式的因式分解。下面我們通過幾個例子，主要介紹利用因式定理因式分解一元三次方程。多項式在整數(shù)圍是既約的，但是在實數(shù)圍可以分解。一種方式是利用因式定理，先求解一元二次方程的兩根分別為，，因此；另一種方式就是利用配方與平方差公式：。當(dāng)多項式的次數(shù)增加到三次時，配方的方法就無法奏效了。例如多項式，我們無法進展配方以利用平方差公式，但是此時因式定理仍然可以幫助我們。觀察到當(dāng)時，多項式的值為零，因此是這個多項式的一個因式，即。在這里，觀察到是這個多項式的一根并不完全依靠運氣。事實上，我們有:定理〔多項式的有理根〕設(shè)有理數(shù)，其中、、；多項式，其中，都是整數(shù)。如果，則且。這一定理說的是，如果一個整系數(shù)多項式有有理根，則將這個有理數(shù)寫成既約分?jǐn)?shù)的形式后，分子一定整除常數(shù)項，分母一定整除多項式最高次項的系數(shù)。對多項式應(yīng)用這一定理，可以得出：使這個多項式的值為零的有理數(shù)，其分母一定整除最高次項系數(shù)，其分子一定整除常數(shù)項。即這些有理數(shù)一定都是整數(shù)，并且都是的因數(shù)，因此可能的數(shù)只有、、與。根據(jù)這一定理，任意給定一個整系數(shù)多項式，可以列出這個多項式所有可能的有理根，然后依次進展驗證。一旦確定一根，根據(jù)因式定理，就可以確定一個一次因式。繼而利用多項式除法確定另一個因式，然后繼續(xù)分解這個因式即可。試有理根的這個方法，能夠解決相當(dāng)數(shù)量的一元整系數(shù)高次多項式的因式分解問題。但是，當(dāng)多項式?jīng)]有有理根時，這一方法就無能為力了。例如上一節(jié)給出的多項式。這個多項式的有理根只可能是或，分別代入驗證，可以確認(rèn)都不是多項式的根。結(jié)論就是這個多項式?jīng)]有有理根，因此在有理數(shù)圍也沒有一次因式。事實上，，在整數(shù)圍，它恰有兩個二次因式。當(dāng)多項式的系數(shù)與常數(shù)項中含有無理數(shù)時，上面所說的試有理根的方法就不存在了。但是只要我們能夠找到多項式的無理根，一樣可以利用因式定理來分解因式。例如多項式，觀察到當(dāng)時，多項式的值為零，因此，利用多項式的除法可得，其中，二次三項式的判別式小于零，在實數(shù)上是既約的。在這個例子中，運用“拆添項〞的技巧，也不是不能直接進展因式分解：但是觀察出多項式有一根應(yīng)該比找到上述的“拆添項〞容易一些。下面我們來看一個復(fù)雜一點的例子，考慮多項式?，F(xiàn)在，需要有歐拉一般的直覺，才能找到正確的“拆添項〞；似乎需要比歐拉更敏銳的直覺，才能找到多項式的一根，以便因式定理能夠發(fā)揮作用。在這里，試有理根的方法通過另一種方式發(fā)揮作用，提供一些找到無理根的可能。注意到多項式的系數(shù)與常數(shù)項，都具有的形式，其中。我們將這類數(shù)全體構(gòu)成的集合記為，具有與整數(shù)類似的性質(zhì)。類比對整系數(shù)多項式試有理根的方法，我們先將常數(shù)項在上分解：，這樣我們得到在中共有八個因數(shù)：、、與。依次試算，當(dāng)時，多項式的值為零，因此有，利用多項式除法可以算出，一元二次方程的兩解為,因此。3.韋達定理韋達定理是描述一元方程根與系數(shù)關(guān)系的定理。考慮一元二次方程,設(shè)這個方程有兩個實數(shù)根與，則根據(jù)因式定理，可以得出，將等式右邊乘開，比擬兩邊系數(shù)，可得這個關(guān)系就是一元二次方程韋達定理的容事實上，當(dāng)一元二次方程沒有實數(shù)解時，韋達定理對于兩個復(fù)數(shù)根仍然成立。事實上，當(dāng)一元二次方程沒有實數(shù)解時，韋達定理對于兩個復(fù)數(shù)根仍然成立。進一步地，考慮一元三次方程，設(shè)這個方程有三個實數(shù)根、與，根據(jù)因式定理可以得出，比擬兩邊系數(shù)，可得這就是一元三次方程的韋達定理。類似地，可以得到一元次方程的韋達定理。利用韋達定理，我們可以簡化一些問題的計算。例如，方程的一根是，求的值與另一根。我們可以先將帶回方程中，解出，然后再求解一元二次方程得到另一根。但是利用韋達定理，我們可以直接得出另一根為，繼而得出，計算簡便許多。又例如，與是一元二次方程的兩根，求值。如果先求解方程得出，再代入中，計算將非常麻煩。但是利用韋達定理，我們有，韋達定理的逆定理也是成立的：定理〔韋達定理逆定理〕當(dāng)實數(shù)與滿足且時，與是方程的兩根。將與代入方程中，有，分解因式，因此與是方程的兩根。相對于韋達定理，其逆定理更常用。例如，實數(shù)、與滿足，我們可以得到，，因此，與是一元二次方程的兩根，因此這個方程的判別式必然大于零。然而，所以，即，繼而可以求得。二、典型例題：例1.此題背景參見閱讀材料此題背景參見閱讀材料——分圓多項式。(1)(2)(3)(4)例2.，求的值例3.〔2008〕設(shè)為非負(fù)實數(shù)，滿足，則＝。例4.〔2003市高一競賽題〕正整數(shù)滿足，求的值。例5.解方程。例6.，求方程的實數(shù)解例7.求值：.例8.當(dāng)實數(shù)取何值時，關(guān)于的方程〔1〕沒有實數(shù)解；〔2〕有且僅有一個實數(shù)解；〔3〕有且僅有兩個實數(shù)解；〔4〕有三個實數(shù)解。例9.的三個根分別為，并且是不全為零的有理數(shù)，求的值．例10．解方程組習(xí)題1．解方程2．〔06年交大〕設(shè)，解方程．3．〔復(fù)旦〕在實數(shù)圍求方程．4．方程組恰有兩組解，數(shù)的取值圍．5.(2007)設(shè)為方程的根〔〕，則.〔用表示結(jié)果〕6．方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為7．解方程組8．求所有滿足方程組的三元實數(shù)組．閱讀材料：分圓多項式。在復(fù)數(shù)域，方程的根稱為次單位根，其中。設(shè)為一個次單位根，則有。根據(jù)棣莫弗公式，有，即，因此且一定是的整數(shù)倍。設(shè)，其中，則，因此有，其中。容易看出，由上式表示的不同的的值只有個，即復(fù)數(shù)域上，恰有個次單位根。設(shè)中的表示上標(biāo)，而不是乘方。，其中，恰為輻角在中的個次單位根，它們的輻角都是的整數(shù)倍。在復(fù)平面上，它們構(gòu)成單位圓的接正邊形。中的表示上標(biāo)，而不是乘方。個次單位根關(guān)于乘法構(gòu)成元循環(huán)群。其中，有一些單位根是這個循環(huán)群的一個生成元，但是另一些不是。例如，的復(fù)根有三個，分別為，與，習(xí)慣上，也記為。可以驗證，，，因此，是三次單位根循環(huán)群的生成元。同理可以驗證，也是三次單位根循環(huán)群的生成元，但是不是。又例如，的復(fù)根有四個，分別為，，，，其中，，，，，，，，，因此與都是四次單位根循環(huán)群的生成元；但是，，，，，因此不是四次單位根循環(huán)群的生成元，也不是。次單位根循環(huán)群的生成元稱為本原次單位根〔〕。形式上，如果記，則，是本原次單位根當(dāng)且僅當(dāng)。例如，在四次單位根中，，，，，，，，，所以與不是本原四次單位根，與是本原四次單位根。直觀上，次單位根是本原次單位根，當(dāng)且僅當(dāng)它不是任意低于次單位根。還是以四次單位根為例，是方程的解是一次單位根，是方程的解是二次單位根，因此它們都不是本原四次單位根。在這里我們可以注意到，形式上，次單位根的上標(biāo)與下標(biāo)約去一個公因子后，得到的新單位根跟原單位根相等。例如，。根據(jù)上面的討論，本原次單位根共有是歐拉函數(shù)，表示與互質(zhì)的不超過的正整數(shù)的個數(shù)。個，分別記為是歐拉函數(shù)，表示與互質(zhì)的不超過的正整數(shù)的個數(shù)。，，……，。令多項式，稱為次分圓多項式，其中是不小于的整數(shù)；特別地，。的任何一個復(fù)數(shù)根，都是次單位根循環(huán)群的生成元，通過乘方就可以在復(fù)平面上等分單位圓。注意，次分圓多項式不一定是次的。形式上，，則。我們可以求得一些分圓多項式：當(dāng)時，，是本原次單位根，；當(dāng)時，，是本原次單位根，；當(dāng)時，與是本原三次單位根，；當(dāng)時，與是本原四次單位根，；當(dāng)時，、、