理論力學(xué)(哈爾濱工業(yè)大學(xué))課件9.3-考慮摩擦的平衡問題(解析法)

3、考慮摩擦的平衡問題(解析法)滑動摩擦和考慮摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題（解析法）例2

物體重為P，放在傾角為θ的斜面上，已知重物與斜面間的靜滑動摩擦系數(shù)為fs，今在重物上作用一個向右的水平力F，試計算當(dāng)物體靜止時F的大小。分析：由經(jīng)驗已知，當(dāng)F太大時，物塊將上滑；而當(dāng)F太小時，物塊將沿斜面滑下。因此F使物塊平衡時，其大小應(yīng)該介于二者之間，關(guān)鍵是找出這兩個臨界值。yFN解：取重物為研究對象，建立如圖坐標(biāo)系。xF1假設(shè)物塊處于往上滑動的臨界狀態(tài)，此時的水平作用力大小為F1，對應(yīng)的摩擦力為最大靜摩擦力OFmax1max1，方向斜向下，畫出物塊受力。θFP列平衡方程：∑F

cosθ

?

Psinθ

?

F

=

0Fx

=

01max1∑Fy

=

0?

F

sinθ

?

Pcosθ

+

F

=

01N物塊處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動摩擦力，故：F

=

f

Fmax1s

Nsin

θ

+

fs

cosθF1

=P此為力F的最大值！cosθ

?

fs

sin

θ滑動摩擦和考慮摩擦的平衡問題y假設(shè)物塊處于往下滑動的臨界狀態(tài)，此時的水平作用力大小為F2，對應(yīng)的摩擦力為最大靜摩擦力Fmax2，方向斜向上，畫出物塊受力。'NFxFF2列平衡方程：OFmax2ΣF

=0

F

cosθ

?

Psinθ

+

F

=

0θx2max2PΣF

=

0

?

F

sinθ

?

Pcosθ

+

F′

=

0y2N物塊處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動摩擦力，故：F

=

f

F′max2s

Nsinθ

?

fs

cosθF2

=P此為力F的最小值！cosθ

+

fs

sinθ故使物塊保持靜止（平衡）的F大小范圍為：sin

θ

?

fs

cosθcosθ

+

fs

sin

θsin

θ

+

fs

cosθcosθ

?

fs

sin

θP

≤

F

≤P滑動摩擦和考慮摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題（解析法）考慮摩擦的平衡問題的特點仍為平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前面基本相同．幾個新特點1

畫受力圖時，必須考慮摩擦力FS；2

要嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界平衡狀態(tài)；3

因0

≤

Fs

≤

Fmax，問題的解往往在一個范圍內(nèi)。滑動摩擦和考慮摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題（解析法）例3

凸輪挺桿機(jī)構(gòu)滑道尺寸為d，寬度為b，挺桿與滑道間靜滑動摩擦系數(shù)為fs，不計凸輪與挺桿處摩擦，不計挺桿質(zhì)量；求：挺桿不被卡住之尺寸a

值.分析：由經(jīng)驗可知，當(dāng)a太大時，挺桿會被卡住，此時挺桿會在AB兩點與滑道接觸?？扇傄豢ㄗ∵€沒被卡住的臨界平衡狀態(tài)分析，此時對應(yīng)的是最大的a值。dFNAAbFNBBFSBFFSA解：取挺桿為研究對象，系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，分析挺桿受力。列平衡方程：MΣFx

=

0F

?

F

=

0NANBΣF

=

0

?

F

?

F

+

F

=

0eySASBdaΣM

=

0

?

F

b

?

F

d

+

F

(a

+

)

=

0ANBSB2挺桿處于臨界平衡狀態(tài)，摩擦力為最大靜滑動摩擦力，故：F

=

f

FF

=

f

FAs

NABs

NBbba

=故挺桿不被卡住時：a

<2

f2

fss滑動摩擦和考慮摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題（解析法）例4

均質(zhì)木箱重P=5kN，與地面的靜滑動摩擦系數(shù)fs=0.4，木箱尺寸h=2a=2m，在箱子D點作用一斜向上的拉力F，θ=30°。求：(1)當(dāng)拉力F=1kN時，木箱是否平衡？y(2)能保持木箱平衡的最大拉力。Faθ解：

(1)假設(shè)木箱平衡，分析木箱受力。列平衡方程：DdΣF

=

0

F

?

F

cosθ

=

0hxsFNPΣF

=

0

F

?

P

+

F

sinθ

=

0yNaAxΣM

A

=

0hF

cos

θ

+

F

d

?

P

?

=

0N2FsFN

=

4500NF

=

f

F

=

1800N>

Fs而maxs

NFs

=

866N故木箱不會滑動；d

>

0

,又因為木箱平衡d

=

0.171m故木箱不會翻倒。這一類問題，我們稱之為一般平衡問題，即主動力已知，判斷系統(tǒng)是否平衡的問題。通常這類問題的解法是，假設(shè)系統(tǒng)平衡，此時物體所受摩擦力為靜摩擦力，可列平衡方程求解，然后驗證結(jié)果是否與假設(shè)相符，相符的話則假設(shè)正確；不相符則說明假設(shè)有誤，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)，需要按照非平衡態(tài)對應(yīng)的情況來計算?；瑒幽Σ梁涂紤]摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題(2)設(shè)木箱剛好要滑動還未滑動時的拉力為F1，分析受力列平衡方程：（解析法）F1aθDΣF

=

0

F

?

F

cosθ

=

0xmax1d1ΣF

=

0

F

?

P

+

F

sin

θ

=

0yN1hFNF

=

f

Fmaxs

NPfs

PF1

==1876

NAxcosθ

+

fs

sinθFmax設(shè)木箱有翻動趨勢時的拉力為F2，分析受力F2aθ列平衡方程：aDΣM

=0

F

cosθ

?h?P?

=0A22PahF2

==

1443NFN2hcosθPA{

}F

≤

min

F

,Fx最大拉力為1443NFs12這一類問題，我們稱之為臨界平衡問題，即主動力未知，計算系統(tǒng)平衡（不平衡）時，主動力需要滿足何種條件的問題。通常這類問題的解法是，取系統(tǒng)的臨界平衡狀態(tài)（考慮摩擦?xí)r摩擦力對應(yīng)的為最大靜摩擦力），計算此時的主動力大小，得到主動力的邊界值，然后根據(jù)實際情況確定主動力范圍，其解通常是在某個范圍內(nèi)?；瑒幽Σ梁涂紤]摩擦的平衡問題3、考慮摩擦的平衡問題（解析法）