新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案48第八章解析幾何第五講橢圓

練案[48]第五講橢圓A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2022·重慶名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率是eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]由題意知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，從而b2＝a2－c2＝2，又焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選A.2．(2023·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為(B)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]不妨設(shè)直線l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0?橢圓中心到l的距離eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選B.3．(2023·安徽六安示范性高中質(zhì)檢)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，且與雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(D)A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,10)＝1 D．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1[解析]由題意c＝2，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左焦點(diǎn)為F1(－2,0)，右焦點(diǎn)為F2(2,0)，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，則2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝2eq\r(10)，所以a＝eq\r(10)，b2＝10－4＝6，所以橢圓的方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.故選D.4．(2022·安徽宣城模擬)設(shè)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，則|PF1|·|PF2|的值是(D)A．14 B．17C．20 D．23[解析]由題意知a＝5，b＝4，∴c＝eq\r(a2－b2)＝3.且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝10，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|·cos∠F1PF2＝9.又62＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|·cos∠F1PF2＝(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|－18＝82－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，∴|PF1|·|PF2|＝23.故選D.5．(2023·遼寧沈陽市郊聯(lián)合體期末)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過M的右焦點(diǎn)F(3,0)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，則橢圓M的方程為(D)A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1[解析]直線AB的斜率k＝eq\f(1－0,2－3)＝－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程可得：eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，相減化為：eq\f(2,a2)－eq\f(1,b2)＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2.聯(lián)立解得a2＝18，b2＝9.可得：橢圓M的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.故選D.6．(2022·四川廣安診斷)已知A，F(xiàn)分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，直線AP與直線l：x＝eq\f(a2,c)相交于點(diǎn)Q.且△AFQ是頂角為120°的等腰三角形，則橢圓的離心率為(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]如圖，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為H，由△AFQ是頂角為120°的等腰三角形，知|FQ|＝|FA|＝a＋c，∠QFH＝60°.于是，在Rt△FQH中|FH|＝eq\f(1,2)|FQ|.而|FH|＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)，故eq\f(b2,c)＝eq\f(a＋c,2).又a2＝b2＋c2得3c2＋ac－2a2＝0，即3e2＋e－2＝0，解得e＝eq\f(2,3).故選C.7．斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析]設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).故選C.8．(2023·河南濮陽摸底)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx(k>0)與C交于M，N兩點(diǎn)(其中M在第一象限)，若M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的取值范圍是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))[解析]由題意及橢圓的對稱性知∠F1MF2＝eq\f(π,2).設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為H，則∠F1HF2>eq\f(π,2)，即∠OHF2>eq\f(π,4)，∴c>b，∴c2>a2－c2，解得e＝eq\f(c,a)>eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)<e<1，故選A.二、多選題9．(2023·山東濟(jì)寧期末)已知P是橢圓C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的動點(diǎn)，Q是圓D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的動點(diǎn)，則(BC)A．C的焦距為eq\r(5) B．C的離心率為eq\f(\r(30),6)C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為eq\f(2\r(5),5)[解析]依題意可得c＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，則C的焦距為2eq\r(5)，e＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).設(shè)P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，則|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))2＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，所以圓D在C的內(nèi)部，且|PQ|的最小值為eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5)，故選BC.10．(2022·江蘇如皋中學(xué)期初測試)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為6，焦點(diǎn)為F1、F2，長軸的端點(diǎn)為A1、A2，點(diǎn)M是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，橢圓C的離心率為e，則下列說法正確的是(ABD)A．若△MF1F2的周長為16，則橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1B．若△MF1F2的面積最大時(shí)，∠F1MF2＝120°，則e＝eq\f(\r(3),2)C．若橢圓C上存在點(diǎn)M使eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，則e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D．以MF1為直徑的圓與以A1A2為直徑的圓內(nèi)切[解析]對于A選項(xiàng)，△MF1F2的周長為2a＋2c＝2a＋6＝16，則a＝5，∴b＝eq\r(a2－c2)＝4，即橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，所以A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，點(diǎn)M為短軸端點(diǎn)，又∠F1MF2＝120°，所以在△MF1O中，sin60°＝eq\f(|OF1|,|MF1|)＝eq\f(c,a)＝e＝eq\f(\r(3),2)，所以B正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)H為短軸的端點(diǎn)，則∠OHF2≥eq\f(π,4)，即c≥b，∴c2≥a2－c2，解得e＝eq\f(c,a)≥eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，所以C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)MF1的中點(diǎn)為N，設(shè)圓N與圓O的半徑分別為r1、r2，則r2＝a，則兩圓的連心線的距離為|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(2a－|MF1|)＝a－eq\f(1,2)|MF1|＝r2－r1，所以兩圓內(nèi)切，D正確．故選ABD.11．(2023·湖北聯(lián)考)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會圓滿結(jié)束．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓C1：eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和橢圓C2：eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>b2>0)的離心率相同，且a1>a2，則下列正確的是(BCD)A．a(chǎn)eq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)<beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)B．a(chǎn)1－a2>b1－b2C．如果兩個(gè)橢圓C2，C1分別是同一個(gè)矩形(此矩形的兩組對邊分別與兩坐標(biāo)軸平行)的內(nèi)切橢圓(即矩形的四條邊與橢圓C2均有且僅有一個(gè)交點(diǎn))和外接橢圓，則eq\f(a1,a2)＝eq\r(2)D．由外層橢圓C1的左頂點(diǎn)A向內(nèi)層橢圓C2分別作兩條切線(與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫橢圓的切線)與C1交于兩點(diǎn)M，N，C1的右頂點(diǎn)為B，若直線AM與BN的斜率之積為eq\f(8,9)，則橢圓C1的離心率為eq\f(1,3)[解析]選項(xiàng)A：因?yàn)閑q\f(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1),a\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(2,2)－b\o\al(2,2),a\o\al(2,2))，且a1>a2，所以aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)>aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)，即aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)>beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)，故不正確；選項(xiàng)B：由eq\f(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1),a\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(2,2)－b\o\al(2,2),a\o\al(2,2))，得1－eq\f(b\o\al(2,1),a\o\al(2,1))＝1－eq\f(b\o\al(2,2),a\o\al(2,2))，則a2＝eq\f(a1b2,b1)，所以a1－a2＝a1－eq\f(a1b2,b1)＝eq\f(a1,b1)(b1－b2)>b1－b2，故正確；選項(xiàng)C：F(a2，b2)滿足橢圓C1方程eq\f(a\o\al(2,2),a\o\al(2,1))＋eq\f(b\o\al(2,2),b\o\al(2,1))＝1，又因?yàn)閑q\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)，則eq\f(a2,a1)＝eq\f(b2,b1)，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a1)))2＝1，eq\f(a1,a2)＝eq\r(2)，故正確；選項(xiàng)D：由對稱性知，M、N關(guān)于x軸對稱，A(－a1，0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，B(a1,0)，kAM＝eq\f(y0,x0＋a1)，kBN＝eq\f(－y0,x0－a1)，kAMkBN＝eq\f(－y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a\o\al(2,1))＝eq\f(－b\o\al(2,1)＋\f(b\o\al(2,1)x\o\al(2,0),a\o\al(2,1)),x\o\al(2,0)－a\o\al(2,1))＝eq\f(b\o\al(2,1),a\o\al(2,1))＝eq\f(8,9)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b1,a1)))2)＝eq\f(1,3)，故正確．故選BCD.三、填空題12．(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為_8__.[解析]因?yàn)镻，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝8，m2＋n2＝48，所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn，mn＝8，即四邊形PF1QF2面積等于8.13．(2023·廣西柳州摸底)已知A(3,1)，B(－3,0)，P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為_9__.[解析]根據(jù)題意可得：a＝4，b＝eq\r(7)，c＝3，則點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，取橢圓的右焦點(diǎn)F(3,0)，∴|PB|＋|PF|＝8，即|PB|＝8－|PF|，∵eq\f(32,16)＋eq\f(12,7)<1，即點(diǎn)A在橢圓內(nèi)|PA|＋|PB|＝|PA|－|PF|＋8≤|AF|＋8＝9，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF的延長線上時(shí)，等號成立．14．(2022·河北張家口模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝eq\f(π,6)，則橢圓C的離心率是eq\r(3)－1.[解析]設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′.因?yàn)?|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四邊形AFBF′為矩形．在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cos∠BAF＝eq\r(3)c，|BF|＝2c·sin∠BAF＝c.由橢圓的定義可得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝(eq\r(3)＋1)c，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.四、解答題15．(2023·寧夏中衛(wèi)模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，與直線l：x－y＋eq\r(5)＝0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線l2與橢圓E交于兩點(diǎn)A，B，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，求直線l2的方程．[解析](1)由橢圓E的離心率為eq\f(\r(3),2)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，a2＝4b2，故橢圓方程為eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，x2＋4y2－4b2＝0，把y＝x＋eq\r(5)代入并整理，得5x2＋8eq\r(5)x＋20－4b2＝0，因?yàn)镋與l1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ＝80(b2－1)＝0，解得b＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)直線l2的斜率為0時(shí)，則A，B的坐標(biāo)為(－2，0)，(2,0)，不符合eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，故直線l2的斜率不為0，設(shè)直線的方程為x＝ty＋1，代入橢圓方程得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0，則Δ＝4t2＋12(t2＋4)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－eq\f(2t,t2＋4)，y1y2＝－eq\f(3,t2＋4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，由eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，得－y1＝2y2，得y1＝eq\f(－4t,t2＋4)，y2＝eq\f(2t,t2＋4)，從而eq\f(－8t2,t2＋42)＝eq\f(－3,t2＋4)，解得t＝±eq\f(2\r(3),\r(5))，故直線l2的方程為x＝±eq\f(2\r(3),\r(5))y＋1，即eq\r(5)x±2eq\r(3)y－eq\r(5)＝0.B組能力提升1．(2022·云南昆明“三診一模”質(zhì)檢)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a>eq\r(2))，過焦點(diǎn)F的直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AF為直徑的圓上，若|AF|＝2|BF|，則M的方程為(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1[解析]由于坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AF為直徑的圓上，故可設(shè)A為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．則|AF|＝|AF1|＝a，|BF|＝eq\f(1,2)a，|BF1|＝eq\f(3,2)a，cos∠AFF1＝－cos∠BFF1，由余弦定理得eq\f(4c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a))2,2·\f(1,2)a·2c)＝－eq\f(c,a)，a2＝3c2，結(jié)合b2＝2，a2＝b2＋c2解得a2＝3，所以M的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選A.2．(2023·福建龍巖等四地市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足AF1⊥AB，eq\f(|AF1|,|AB|)＝eq\f(4,3)，則該橢圓的離心率是(B)A.eq\f(2,3) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)[解析]如下圖所示：設(shè)|AF1|＝4x，則|AB|＝3x，因?yàn)锳F1⊥AB，則|BF1|＝eq\r(|AB|2＋|AF1|2)＝5x，由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，則x＝eq\f(a,3)，所以|AF1|＝4x＝eq\f(4a,3)，則|AF2|＝2a－eq\f(4a,3)＝eq\f(2a,3)，由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＝4c2，則c＝eq\f(\r(5),3)a，因此，該橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故選B.3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直線l與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq\r(3)，則l的方程為x＋eq\r(2)y－2eq\r(2)＝0.[解析]令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨MA|＝|BN|，所以|ME|＝|NE|，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),6)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),6)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1，兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,6)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,3)＝0，所以eq\f(y1＋y2y1－y2,x1－x2x1＋x2)＝－eq\f(1,2)，即kOE·kAB＝－eq\f(1,2)，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－eq\f(m,k)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,k)，0))，N(0，m)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2k)，\f(m,2)))，即k×eq\f(\f(m,2),－\f(m,2k))＝－eq\f(1,2)，解得k＝－eq\f(\r(2),2)或k＝eq\f(\r(2),2)(舍去)，又|MN|＝2eq\r(3)，即|MN|＝eq\r(m2＋\r(2)m2)＝2eq\r(3)，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直線AB：y＝－eq\f(\r(2),2)x＋2，即x＋eq\r(2)y－2eq\r(2)＝0.4．(2023·浙江溫州適應(yīng)性考試)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2).[解析]|MF1|·|MF2|＝|MF1|(2a－|MF1|)＝－|MF1|2＋2a|MF1|＝－(|MF1